Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления

.pdf
Скачиваний:
54
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
2.56 Mб
Скачать

­¥®¤­®à®¤­®£® (¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥) ãà ¢­¥­¨ï x(t) = f;x(t) t x(0) = x0 ¯®á«¥ § ¬¥­ë ¯¥à¥¬¥­­ëå ¨ ¯®¤áâ ­®¢ª¨ x0 = x0; x x(t) = x(t) + x x(t) = x(t) + x (t) ¯à¨å®¤¨¬ ª ãà ¢­¥-

­¨î ¢ ®âª«®­¥­¨ïå x(t) = f~; x(t) t ¢ ª®â®à®¬ äã­ªæ¨ï

f~(0 t) = 0 ¤«ï ¢á¥å t:

«¥¤®¢ ⥫쭮, à áᬮâ७­ë¥ § ¤ ç¨ á¢®¤ïâáï ª ¨áá«¥¤®- ¢ ­¨î ­¥¢®§¬ã饭­®£® ¤¢¨¦¥­¨ï ãà ¢­¥­¨ï (11.14) «¨¡® ¡®- «¥¥ ®¡é¥£® ­¥®¤­®à®¤­®£® ãà ¢­¥­¨ï

x(t) = f x(t) t f (0 t) = 0:

ਢ¥¤¥¬ ­¥ª®â®àë¥ ®¯à;

¥¤¥«¥­¨ï [12, 66, 76, 94].

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1. ®«®¦¥­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï ãá⮩稢® (¯® ï-

¯ã­®¢ã) ¯à¨ t ! 1 ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® " > 0 ¬®¦­® 㪠§ âì

â ª®¥ > 0, çâ® ¤«ï ¢á¥å jjx0jj < á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮

jjx(t)jj < " ¤«ï ¢á¥å t > 0:

2

¨á. 11.5. á⮩稢®áâì ¯® ï¯ã­®¢ã.

᫨ ç¥à¥§ S ®¡®§­ ç¨âì ®¡« áâì jjxjj < â® ¤ ­­®¥ ®¯à¥-

¤¥«¥­¨¥ ®§­ ç ¥â, çâ®

«î¡ ï âà ¥ªâ®à¨ï, ­ 稭 îé ïáï ¢

S , ­¥ ¤®á⨣­¥â S":

 

 

. ¯à¨¢¥¤¥­­®¬ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ S S" {

 

¬ ¥ ç

 

­ ¨ ¥

1

áä¥à¨ç¥áª¨¥ ®¡« á⨠(¢ § ¤ ­­®© ­®à¬®© jj jj ¬¥âਪ¥). å

¬®¦­® áç¨â âì ¯à®¨§¢®«ì­ë¬¨ § ¬ª­ãâ묨 ®£à ­¨ç¥­­ë¬¨

®¡« áâﬨ

S

 

S

"

S

= 0 (à¨á. 11.5).

 

 

 

 

6 f g

¬ ¥ ç

 

­ ¨ ¥

2 . ªâ¨ç¥áª¨ â ª®© ¢¨¤ ãá⮩稢®áâ¨

®§­ ç ¥â ­¥¯à¥à뢭ãî § ¢¨á¨¬®áâì à¥è¥­¨© ®â ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨©, à ¢­®¬¥à­ãî ¯® t [12, 79].

 

¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 3 . à® ãá⮩稢®áâì ¯® ï¯ã­®¢ã

¨­®£¤

£®¢®àïâ, çâ® íâ® "ãá⮩稢®áâì ¢ ¬ «®¬". ¡« áâì

 

262

S ®¡¥á¯¥ç¨¢ îé ï § ¤ ­­ë¥ ®£à ­¨ç¥­­ë¥ ®âª«®­¥­¨ï ®â á®áâ®ï­¨ï à ¢­®¢¥á¨ï, ¬®¦¥â ¨¬¥âì ¬ «ë¥ à §¬¥àë. ¦­®, çâ® ®­ ­¥­ã«¥¢ ï. ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à , ¬®¦­® à áᬮâà¥âì "®¡à 饭­ë© ¬ ïâ­¨ª" á áã娬 â७¨¥¬. ¬¥¥âáï ª®­¥ç­ ï (¯ãáâì ­¥¡®«ìè ï) ®¡« áâì ­ ç «ì­ëå á®áâ®ï­¨©, ¢ ª®â®à®¬ ¥£® ¢¥à⨪ «ì­®¥ ¯®«®¦¥­¨¥ ãá⮩稢®.

¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 4 . ®«®¦¥­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï ãá⮩稢ëå «¨­¥©­ëå á¨á⥬ ãá⮩稢® ¯® ï¯ã­®¢ã. ®«®¦¥­¨¥ à ¢- ­®¢¥á¨ï ¨ ¯à¥¤¥«ì­ë© 横« ¢â®ª®«¥¡ ⥫ì­ëå ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ­¥ãáâ®©ç¨¢ë ¯® ï¯ã­®¢ã.

¨á. 11.6. ᨬ¯â®â¨ç¥áª ï ãá⮩稢®áâì ¯® ï¯ã­®¢ã.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2. ®«®¦¥­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ãá⮩稢®, ¥á«¨: 1) ®­® ãá⮩稢® ¯® ï¯ã­®¢ã\ 2) áãé¥-

áâ¢ã¥â > 0 â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® jjx0jj < ¢ë¯®«­¥­®

limt!1 x(t) = 0 (à¨á. 11.6).

 

¡« áâì

S ­ §ë¢ ¥âáï ®¡« áâìî ¯à¨â殮­¨ï, ¨«¨ ®¡« -

áâìî ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© ãá⮩稢®áâ¨, â®çª x0 = 0 { ¯à¨-

â¢ î饩 S ):

2

 

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 3. ®«®¦¥­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨

ãá⮩稢®

¢ 楫®¬

(£«®¡ «ì­®

ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ãá⮩稢®),

¥á«¨ ¢ ãá«®¢¨ïå ¯à¥¤¥«¥­¨ï 2,

S = X { ¢á¥ ¯à®áâà ­á⢮

á®áâ®ï­¨©.

2

 

 

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 4.

®«®¦¥­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï ­¥ãá⮩稢® (¯®

ï¯ã­®¢ã), ¥á«¨ ¤«ï ¢á¥å > 0 ­ ©¤¥âáï x0 2 S ) â ª®¥, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 à¥è¥­¨¥ § ª®­¥ç­®¥ ¢à¥¬ï ¤®á⨣­¥â £à -

­¨æ ®¡« á⨠S" (à¨á. 11.7).

2

 

¬¥â¨¬, ç⮠ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ãáâ®©ç¨¢ë¥ «¨­¥©­ë¥ á¨áâ¥- 263

¬ë £«®¡ «ì­® ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ãá⮩稢ë. ª¦¥ ®â¬¥â¨¬, çâ®, å®âï ã «¨­¥©­®© á¨á⥬ë, ä §®¢ë© ¯®àâà¥â ª®â®à®© ¨¬¥- ¥â ¢¨¤ 㧫 , ¨¬¥îâáï ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ áâ६ï騥áï ª á®áâ®- ï­¨î à ¢­®¢¥á¨ï âà ¥ªâ®à¨¨, â ª ï á¨á⥬ ­¥ãá⮩稢 ¯®ï¯ã­®¢ã.

¨á. 11.7. ¥ãá⮩稢®áâì ¯® ï¯ã­®¢ã.

11.4.2. á⮩稢®áâì ¬­®¦¥á⢠¨ ç áâ¨ç­ ï ãá⮩稢®áâì

«ï à áè¨à¥­¨ï ª« áá à áᬠâਢ ¥¬ëå § ¤ ç ¨á¯®«ì§ã- îâáï ¨ ¤à㣨¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ãá⮩稢®áâ¨. ­®£¨¥ ¨§ ­¨å á¢ï§ ­ë á ¯¥à¥å®¤®¬ ®â ãá⮩稢®á⨠â®çª¨ ¨«¨ ª®­ªà¥â­®© âà ¥ªâ®à¨¨ ª ãá⮩稢®á⨠¬­®¦¥áâ¢.

¯à¨¬¥à, ¤«ï ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ¢â®ª®«¥¡ ⥫ì­ëå á¨á⥬ ¨ ¤¢¨¦ãé¨åáï ¯® § ¬ª­ãâë¬ âà ¥ªâ®à¨ï¬ ®¡ê¥ªâ®¢, ¢¢®¤¨âáï

¯®­ï⨥ ®à¡¨â «ì­®©

ãá⮩稢®áâ¨. «ï ­¥£® ¨á¯®«ì§ã¥âáï

à ááâ®ï­¨¥ (x

G

)

 

 

 

 

G

®¯à¥-

 

¬¥¦¤ã â®çª®© x ¨ ¬­®¦¥á⢮¬

 

¤¥«ï¥¬®¥, ª ª (x

 

G) = infxz2G jjx ; xzjj:

 

 

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 5.

à ¥ªâ®à¨ï

G ®à¡¨â «ì­® ãá⮩稢 ,

¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® " > 0 ¬®¦­® 㪠§ âì â ª®¥ > 0, çâ® ¤«ï

¢á¥å x0 â ª¨å, çâ®

(x0 G) <

á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮

(x(t) G) < " ¤«ï ¢á¥å t > 0:

2

 

 

 

­ «®£¨ç­®, ¬®¦­® ¤ âì ¨ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© ®à¡¨â «ì­®© ãá⮩稢®áâ¨, £«®¡ «ì­®© ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© ®à- ¡¨â «ì­®© ãá⮩稢®á⨠¨ â.¤. ¤ ­­®¬ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ à á- ᬠâਢ ¥âáï ¡«¨§®áâì à¥è¥­¨ï ª ¯à®æ¥ááã, ª ª ª ­¥ª®â®à®-

¬ã ¬­®¦¥áâ¢ã â®ç¥ª. ®í⮬ã à ááâ®ï­¨ï ¬¥¦¤ã â®çª ¬¨ ¢®§¬ã饭­®£® ¨ ­¥¢®§¬ã饭­®£® ¤¢¨¦¥­¨© ¢ ª ¦¤ë© ¤ ­­ë©

264

¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ ¬®£ãâ ®ª § âìáï ¡®«ì訬¨, ­® âà ¥ªâ®à¨¨ ®áâ îâáï ¡«¨§ª¨¬¨ (à¨á. 11.8).

¨á. 11.8. à¡¨â «ì­ ï ᨬ¯â®â¨ç¥áª ï ãá⮩稢®áâì.

㤥¬ ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨ï (11.14) ®¯à¥-

¤¥«¥­ë ­ ¡¥áª®­¥ç­®¬ ¨­â¥à¢ «¥ ¢à¥¬¥­¨ 0 t < +1: à -

¥ªâ®à¨¨, ¯à®¤®«¦¥­­ë¥ ­

¢¥áì íâ®â ¨­â¥à¢ «, ­ §ë¢ îâáï

楫묨 âà ¥ªâ®à¨ï¬¨.

¬¥â¨¬, çâ® ¤¢¨¦¥­¨¥ ¨§®¡à ¦ -

î饩 â®çª¨, ­ 稭 î饥áï ¢ ¯®«®¦¥­¨¨ à ¢­®¢¥á¨ï, ¨«¨ ­ § ¬ª­ã⮩ âà ¥ªâ®à¨¨, ¡ã¤¥â ®áâ ¢ âìáï â ¬ ¤«ï ¢á¥å ¬®¬¥­- ⮢ ¢à¥¬¥­¨. ®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ¬­®¦¥á⢠â®ç¥ª ®¡à §ãîâ

¨­¢ ਠ­â­ë¥ ¬­®¦¥á⢠¢ ¯à®áâà ­á⢥ á®áâ®ï­¨© [34, 94].

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 6. ­¢ ਠ­â­ë¬ ¬­®¦¥á⢮¬ M ­ §ë¢ - ¥âáï ¬­®¦¥á⢮ fxg â®ç¥ª â ª¨å, çâ® ¨§ x(t0) 2 M ¤«ï ­¥ª®â®- ண® t0 á«¥¤ã¥â, çâ® x(t) 2 M ¤«ï ¢á¥å ;1 < t < +1:

᫨ íâ® ¬­®¦¥á⢮ ¢ª«îç ¥â ¢á¥ ¢®§¬®¦­ë¥ §­ 祭¨ï

x(t0) ¤«ï ª®â®àëå ¢ë¯®«­¥­® 㪠§ ­­®¥ ãá«®¢¨¥, â® ®­® ­ -

§ë¢ ¥âáï ­ ¨¡®«ì訬 ¨­¢ ਠ­â­ë¬ ¬­®¦¥á⢮¬.

2

¬¥¥âáï á«¥¤ãî饥 ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ãá⮩稢®á⨠¨­¢ à¨- ­â­®£® ¬­®¦¥á⢠, ®¡®¡é î饥 ¯®­ïâ¨ï ®à¡¨â «ì­®© ãá⮩-

稢®á⨠¨ ãá⮩稢®á⨠¯®«®¦¥­¨ï à ¢­®¢¥á¨ï [28, 86].

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 7. ­¢ ਠ­â­®¥ ¬­®¦¥á⢮

M ãá⮩稢®

(®â­®á¨â¥«ì­® á¨á⥬ë (11.14)), ¥á«¨ ¤«ï ¢á¥å

" > 0 ¬®¦­®

㪠§ âì â ª®¥ > 0, çâ® ¤«ï ¢á¥å x0

â ª¨å, çâ® (x0 M) <

¢ë¯®«­¥­® (x M) < " ¤«ï ¢á¥å t >

0:

2

 

­ «®£¨ç­® ¤ ¥âáï ¨ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥

ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© ãá⮩-

稢®á⨠¨­¢ ਠ­â­®£® ¬­®¦¥á⢠.

 

 

 

265

 

 

 

á⮩稢®áâì ¬­®¦¥á⢠®â­®á¨âáï ª ª« ááã ᢮©á⢠ç - áâ¨ç­®© ãá⮩稢®á⨠á¨á⥬. à㣨¬ ¯®¤®¡­ë¬ ᢮©á⢮¬

ï¥âáï ãá⮩稢®áâì ¯® ®â­®è¥­¨î ª ä㭪樨.

áᬮ-

âਬ á¨á⥬ã á ¢ë室®¬

 

 

 

x

=

f(x)

(11.15)

 

=

h(x)

(11.16)

£¤¥ x 2 Rn, 2 Rnu , nu n, f(x) ¨ h(x) { ­¥¯à¥àë¢­ë¥ ¢¥ªâ®à- ä㭪樨. ãáâì á¨á⥬ (11.15) ¨¬¥¥â à ¢­®¢¥á¨¥ x = x (®¡- 騩 á«ãç © ᢮¤¨âáï ª í⮬㠧 ¬¥­®© ª®®à¤¨­ â ¨ à áᬮ-

â७¨¥¬ ãà ¢­¥­¨© ¢®§¬ã饭­®£® ¤¢¨¦¥­¨ï).

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 8. ¥è¥­¨¥ x = x á¨á⥬ë (11.15) ­ §ë¢ - ¥âáï ãáâ®©ç¨¢ë¬ ¯® ®â­®è¥­¨î ª ä㭪樨 h(x), ¥á«¨ ¤«ï «î- ¡®£® " > 0 ­ ©¤¥âáï (") > 0, â ª®¥, çâ® ¤«ï ¢á¥å ­ ç «ì­ëå

§­ 祭¨© x0, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãá«®¢¨î jx0 ; x j

< à¥è¥-

­¨¥ x(t) á ­ ç «ì­ë¬ ãá«®¢¨¥¬ x(0) = x0 ®¯à¥¤¥«¥­® ¯à¨ ¢á¥å

t 0 ¨ ¢ë¯®«­ï¥âáï ­¥à ¢¥­á⢮

 

jh(x(t)) ; h(x )j < " ¤«ï ¢á¥å t 0:

(11.17)

᫨ à¥è¥­¨¥ x = x ãá⮩稢® ¯® ®â­®è¥­¨î ª h(x) ¨, ªà®¬¥ ⮣®, ¢ë¯®«­ï¥âáï ãá«®¢¨¥ ââà ªâ¨¢­®áâ¨

lim h(x(t)) = h(x )

(11.18)

t!1

 

â® à¥è¥­¨¥ x ­ §ë¢ ¥âáï ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ãáâ®©ç¨¢ë¬ ¯®

®â­®è¥­¨î ª ä㭪樨 h(x).

᫨ à¥è¥­¨¥ x = x ãá⮩稢® ¯® ®â­®è¥­¨î ª ä㭪樨 h(x), ¢á¥ à¥è¥­¨ï á¨á⥬ë (11.15) ®¯à¥¤¥«¥­ë ¯à¨ ¢á¥å t 0 ¨ ãá«®¢¨¥ ââà ªâ¨¢­®á⨠(11.18) ¢ë¯®«­ï¥âáï ¤«ï «î¡ëå ­ - ç «ì­ëå ãá«®¢¨© x0, â® à¥è¥­¨¥ x = x (¨ á¨á⥬ (11.15))

­ §ë¢ ¥âáï £«®¡ «ì­® ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ãá⮩稢®© ¯® ®â­®-

襭¨î ª ä㭪樨 h(x).

祢¨¤­®, ¯à¨ nu = n ¨ h(x) = x ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ 8 ᮢ¯ ¤ ¥â á® áâ ­¤ àâ­ë¬¨ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï¬¨ ãá⮩稢®á⨠¯® ï¯ã­®¢ã ¨ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© ãá⮩稢®áâ¨. ¬ . . ï¯ã­®¢ § - ­¨¬ «áï ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï¬¨ ¨¬¥­­® í⮣® ç áâ­®£® á«ãç ï. 1957 £. . . ã¬ï­æ¥¢ áä®à¬ã«¨à®¢ « ªà¨â¥à¨¨ ãá⮩ç¨- ¢®á⨠¯® ®â­®è¥­¨î ª ç á⨠¯¥à¥¬¥­­ëå, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 á«ãç î x = colfy zg h(x) = y. ®¤à®¡­¥¥ ® ᢮©áâ¢ å ¨ ãá«®-

¢¨ïå ç áâ¨ç­®© ãá⮩稢®á⨠á¬. ¢ [28, 29, 64, 86]. ⬥⨬, 266

h(x1 x2) =

çâ® ãá⮩稢®áâì ¯® ®â­®è¥­¨î ª ä㭪樨 h(x) ­¥ ᢮¤¨âáï ª ãá⮩稢®á⨠¬­®¦¥á⢠fx:h(x) = h(x )g, ª ª ¯®ª §ë¢ ¥â á«¥¤ãî騩 ¯à¨¬¥à.

ਬ¥à. áᬮâਬ á¨á⥬ã 2-£® ¯®à浪

x1

= x1

2x2

 

 

(11.19)

x2

= ;1+x12 :

 

 

ਠ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨ïå x1 (0) = 1, x2(0) = a á¨á⥬

¨¬¥¥â

à¥è¥­¨¥

 

 

 

 

 

x1(t) = et x2(t) = a(1 + e;2t)

:

(11.20)

 

2

 

 

áᬮâਬ äã­ªæ¨î ¢ë室

x22

1 + x21

¨ ¢ëç¨á«¨¬ ᪮à®áâì ¥¥ ¨§¬¥­¥­¨ï ¢¤®«ì à¥è¥­¨© á¨á⥬ë:

_

 

4x22

 

x22x12

 

 

x12

 

h(x1

x2) = ;1 + x12

+

(1 + x12)2

= ;4h(x1 x2) 1

; 4(1 + x12) :

«¥¤®¢ ⥫쭮, ;4h h_ ;3h 0 ¨, §­ ç¨â, h(x1 (t)x2(t)) ! 0 ¨ h_ (x1(t) x2(t)) ! 0 ¯à¨ t ! 1. ¤­ ª®, ­¨ª ª®¥ à¥è¥­¨¥ (11.19) á ­ ç «ì­ë¬ ãá«®¢¨¥¬ x2(0) = a 6= 0 ­¥ áâ६¨âáï ª ¬­®¦¥áâ¢ã S = f(x1 x2): h(x1 x2) = 0g = f(x1 x2): x2 = 0g. â® «¥£ª® ¢¨¤­® ¨§ (11.20). 2

ਠ¨áá«¥¤®¢ ­¨¨ á¨á⥬, ¯®¤¢¥à¦¥­­ëå ®£à ­¨ç¥­­ë¬ ¢®§¬ã饭¨ï¬, ®ª §ë¢ îâáï ¯®«¥§­ë¬¨ á«¥¤ãî騥 ¤¢ ®¯à¥- ¤¥«¥­¨ï [34, 64].

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 9. ¨á⥬ ­ §ë¢ ¥âáï ãá⮩稢®© ¯® - £à ­¦ã, ¥á«¨ ª ¦¤®¥ ¥¥ à¥è¥­¨¥ ­¥®£à ­¨ç¥­­® ¯à®¤®«¦ ¥¬®

¢¯à ¢®, â.¥. ¨¬¥¥â á¬ëá« ¯à¨ 0

t 1 ¨ ¢á¥ ä §®¢ë¥ âà ¥ª-

â®à¨¨ ®£à ­¨ç¥­ë ­ [0 1) (à¨á. 11.9).

2

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 10. ¨á⥬ ­ §ë¢ ¥âáï ¯à¥¤¥«ì­® ®£à ­¨ç¥­- ­®© (¤¨áᨯ ⨢­®© ¯® ¥¢¨­á®­ã), ¥á«¨ áãé¥áâ¢ãîâ ®¡« áâ¨

S , S â ª¨¥, çâ® S S ¨ ¤«ï ¢á¥å x0 2 S áãé¥áâ¢ã¥â ¬®-

¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ t <

1

(¢®§¬®¦­®, § ¢¨áï騩 ®â x0), çâ® ¯à¨

¢á¥å t t

 

 

 

2

 

¢ë¯®«­¥­® x0 2 S .

 

¤ ­­®¬ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ S ­ §ë¢ îâ ¨­®£¤ ®¡« áâìî ¤¨á-

ᨯ 樨,

 

S { ¯à¥¤¥«ì­ë¬ ¬­®¦¥á⢮¬.

 

 

 

 

 

267

¯à¥-

¨á. 11.9. á⮩稢®áâì ¯® £à ­¦ã.

¨á. 11.10. ¨áᨯ ⨢­®áâì ¢ 楫®¬.

᫨ S { ¢á¥ ¯à®áâà ­á⢮, â® á¨á⥬ ­ §ë¢ ¥âáï

¤¥«ì­® ®£à ­¨ç¥­­®© ¢ 楫®¬ (à¨á. 11.10).

­­л¥ ®¯а¥¤¥«¥­¨п п¢«повбп ­ ¨¡®«¥¥ а б¯а®бва ­¥­- ­л¬¨, е®вп ¯а¥¤бв ¢«пов б®¡®© ¬ «го з бвм ®¯а¥¤¥«¥­¨© гбв®©з¨¢®бв¨, ¨б¯®«м§г¥¬ле ¢ в¥®а¨¨ б¨бв¥¬.

11.4.3. 㭪樨 ï¯ã­®¢

¥à¥©¤¥¬ ⥯¥àì ­¥¯®á।á⢥­­® ª ¨§«®¦¥­¨î ®á­®¢­ëå ¨¤¥© ¨ ­¥ª®â®àëå १ã«ìâ ⮢ ¬¥â®¤ ä㭪権 ï¯ã­®¢ .

ç­¥¬ à áᬮâ७¨¥ á® á«¥¤ãî饣® ¯à¨¬¥à .

áᬮâਬ á¨á⥬㠯¥à¢®£® ¯®à浪 , n = 1 ãà ¢­¥­¨¥ 268

¢¥¤¥¬ ¢á¯®¬®£ ⥫ì­ãî äã­ªæ¨î V (x) =

ª®â®à®© ¨¬¥¥â ¢¨¤

x(t) = f (x) f (0) = 0:

(11.21)

ãáâì äã­ªæ¨ï f(x) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¤®¯®«­¨â¥«ì­®¬ã ãá«®- ¢¨î xf (x) < 0 ¯à¨ x 6= 0 â.¥. ¥¥ £à 䨪 «¥¦¨â 楫¨ª®¬ ¢® ¢â®à®¬ ¨ ç¥â¢¥à⮬ ª¢ ¤à ­â å, ¯à¨ç¥¬ f (x) = 0 ⮫쪮 ¢

â®çª¥ x = 0: à㣮© ¨­ä®à¬ 樨 ® ¢¨¤¥ í⮩ ä㭪樨 ­¥â.ॡã¥âáï ¨áá«¥¤®¢ âì ãá⮩稢®áâì á®áâ®ï­¨ï à ¢­®¢¥á¨ï á¨á⥬ë (11.21).

12x2: ¬¥â¨¬, çâ® V (0) = 0 ¨ V (x) > 0 ¯à¨ x =6 0: ­ 祭¨ï x = x(t) ¬¥­повбп ¢ б®®в¢¥вбв¢¨¨ б га ¢­¥­¨¥¬ (11.21). «¥¤®¢ в¥«м­®, ¢ б¨«г

нв®£® га ¢­¥­¨п ¡г¤гв в ª¦¥ ¨§¬¥­пвмбп ¨ §­ з¥­¨п дг­ªж¨¨

;

 

 

V (x) = V x(t)

 

: ©¤¥¬ ¯à®¨§¢®¤­ãî í⮩ ä㭪樨 ¯® ¢à¥-

¬¥­¨ ¢ ᨫã ãà ¢­¥­¨ï (11.21). ® ¯à ¢¨«ã ¤¨ää¥à¥­æ¨à®-

¢ ­¨ï á«®¦­®© ä㭪樨 ¯®«ãç ¥¬ V_ (x) = x(t)x(t) = xf(x),

 

 

_

â.¥. ¤«ï ª ¦¤®£® ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ §­ 祭¨¥ V (x) ®¯à¥¤¥«ï-

¥âáï ¢ ª ¦¤®© â®çª¥ ¯à®áâà ­á⢠á®áâ®ï­¨© ¯® ª®®à¤¨­ â ¬

í⮩

_â®çª¨ ¨ §­ 祭¨î ä㭪樨 f (x): ®í⮬㠤«ï ­ 宦¤¥-

­¨ï V (x) ­¥ âॡã¥âáï ¯®«ãç âì à¥è¥­¨ï (11.21)._

 

 

«¥¥ § ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨ ¢á¥å x = 0 ¢ë¯®«­¥­® V (x) < 0 §­ -

 

 

 

 

6

 

 

 

ç¨â, äã­ªæ¨ï V (t) ¬®­®â®­­® ã¡ë¢ ¥â, áâ६ïáì ¯à¨ t ! 1 ª

­ã«î. «¥¤®¢ ⥫쭮, ¢¥«¨ç¨­

jx(t)j

â ª¦¥ ¡ã¤¥â ¬®­®â®­­®

ã¡ë¢ âì (çâ® á«¥¤ã¥â ¨§ ¢¨¤

ä㭪樨 V (x)) ¨ x(t)

! 0 ¯à¨

t

! 1

) ®í⮬㠬®¦­® ᤥ« âì ¢ë¢®¤, çâ® á¨á⥬

(11.21)

 

 

 

13

«¥¤ã¥â ®¡à â¨âì

 

ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ãá⮩稢 ¢ 楫®¬.

 

¢­¨¬ ­¨¥ ­ â®, çâ® ¢ë¢®¤ ®¡ ãá⮩稢®á⨠á®áâ®ï­¨ï à ¢- ­®¢¥á¨ï ¯®«ã祭 ¡¥§ à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨ï (11.21), ¡®«¥¥ ⮣®,

{¯à¨ á ¬ëå ®¡é¨å ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨ïå ® ¢¨¤¥ ä㭪樨 f (x).

­­ë© ¯à¨¬¥à ®â­®á¨«áï ª á¨á⥬¥ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 . §-

« £ ¥¬ë¥ ­¨¦¥ â¥®à¥¬ë «ï¯ã­®¢áª®£® ⨯ ¯à¨¬¥­¨¬ë ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì­®£® n:

áᬮâ७­ ï ¢ ¤ ­­®¬ ¯à¨¬¥à¥ äã­ªæ¨ï ï¥âáï ¯à¥¤- áâ ¢¨â¥«¥¬ ä㭪権 ï¯ã­®¢ . ¬¥¥âáï ­¥áª®«ìª® ®¯à¥¤¥«¥- ­¨© íâ¨å ä㭪権. ®í⮬ã 㬥áâ­® ®¡à â¨âìáï ª à §êïá­¥- ­¨î, ¤ ­­®¬ã á ¬¨¬ . . ï¯ã­®¢ë¬ ¢ ¥£® ®á­®¢®¯®« £ î-

饬 âà㤥 1892 £. [60].

13 ë §¤¥áì ®¯¨áë¢ ¥¬ á奬㠨ᯮ«ì§®¢

­¨ï ¬¥â®¤ ï¯ã­®¢ . ®ª § -

⥫ìá⢠¯à¨¢¥¤¥­­ëå ¯®«®¦¥­¨© ᮤ¥à¦

âáï, ­ ¯à¨¬¥à, ¢ [12, 34, 79, 97].

269

" ¤à㣮¬ã [¬¥â®¤ã] ¬ë ¯à¨ç¨á«¨¬ ¢á¥ â¥, ª®â®àë¥ ®á­®- ¢ë¢ îâáï ­ ¯à¨­æ¨¯ å, ­¥ § ¢¨áïé¨å ®â à §ë᪠­¨ï ª ª¨å- «¨¡® à¥è¥­¨© ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ëå ãà ¢­¥­¨© ¢®§¬ã饭­®£® ¤¢¨¦¥­¨ï. ... \ ¨ ¢®®¡é¥ ¢ ®á­®¢ ­¨¨ ¢á¥å â¥å ¨§ ­¨å, á ª®â®àë- ¬¨ ¢áâà¥â¨¬áï ¤ «¥¥, ¢á¥£¤ ¡ã¤¥â «¥¦ âì à §ë᪠­¨¥ äã­ª- 権 ¯¥à¥¬¥­­ëå x1 x2 : : : xn t ¯® ­¥ª®â®àë¬ ¤ ­­ë¬ ãá«®¢¨- ï¬, ª®â®àë¬ ¤®«¦­ë 㤮¢«¥â¢®àïâì ¨å ¯®«­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ¯® t á®áâ ¢«¥­­ë¥ ¢ ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨¨, çâ® x1 x2 : : : xn áãâì ä㭪樨 t, 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãà ¢­¥­¨ï¬."

¬ . . ï¯ã­®¢ ¯à¨¬¥­ï« à §à ¡®â ­­ë© ¨¬ ¬¥â®¤ ª

§¤ ç ¬ ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ãá⮩稢®á⨠á¨á⥬. ¤­ ª® ¢® ¢â®- ன ¯®«®¢¨­¥ XX ¢. ¢ëïá­¨«®áì, çâ® íâ®â ¯®¤å®¤ á ãᯥ宬 à ¡®â ¥â ¨ ¤«ï ­ «¨§ ª ç¥á⢠á¨á⥬, ãá⮩稢®á⨠¬­®- ¦¥áâ¢, ª®«¥¡ ⥫쭮á⨠¨ ¤àã£¨å ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å ᢮©á⢠­¥-

«¨­¥©­ëå á¨á⥬, â ª¦¥ ¤«ï à¥è¥­¨ï § ¤ ç ᨭ⥧ . â® ¯à¨¢¥«® ª ¯®­¨¬ ­¨î ¬¥â®¤ ä㭪権 ï¯ã­®¢ ª ª ¢¥¤ãé¥- £® ¬¥â®¤ ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬.

¤ ­­®© £« ¢¥ ¬ë à áᬮâਬ «¨èì ®á­®¢­ë¥ ⥮६ë

¬¥â®¤

ä㭪権 ï¯ã­®¢ , â ª¦¥ ⨯¨ç­ë¥ ¯à¨¬¥àë ¨å

¯à¨¬¥­¥­¨ï ¤«ï ­ «¨§ ãá⮩稢®á⨠á¨á⥬.

11.4.4.

á⮩稢®áâì ­¥¯à¥à뢭ëå á¨á⥬

㤥¬ à áᬠâਢ âì ä㭪樨 V (x) 㤮¢«¥â¢®àïî騥 á«¥-

¤ãî騬 âॡ®¢ ­¨ï¬: 1) V (x) ­¥¯à¥à뢭 ¨ ­¥¯à¥à뢭®-¤¨ä- ä¥à¥­æ¨à㥬 ¯® x ¢ ­¥ª®â®à®© ®¡« á⨠X, ᮤ¥à¦ 饩 ­ ç «® ª®®à¤¨­ â\ 2) V (x) ®¡à é ¥âáï ¢ ­®«ì ¢ ­ ç «¥ ª®®à- ¤¨­ â: V (0) = 0\ 3) V (x) ¯®«®¦¨â¥«ì­® ®¯à¥¤¥«¥­ , â.¥. ¯®- «®¦¨â¥«ì­ ¢áî¤ã, ªà®¬¥ ­ ç « ª®®à¤¨­ â: V (x) > 0 ¯à¨

x = 0:

2

6 ã­ªæ¨ï W (x) ­ §ë¢ ¥âáï ®âà¨æ ⥫쭮 ®¯à¥¤¥«¥­­®©, ¥á«¨

;W (x) ¯®«®¦¨â¥«ì­® ®¯à¥¤¥«¥­ .

᫨ ­¥®âà¨æ â¥«ì­ ï äã­ªæ¨ï ¬®¦¥â ®¡à é âìáï ¢ ­®«ì ­¥ ⮫쪮 ¯à¨ x = 0 â® ®­ ­ §ë¢ ¥âáï ­¥®âà¨æ ⥫쭮 ®¯à¥-

¤¥«¥­­®© (§­ ª®¯®«®¦¨â¥«ì­®©).

«ï ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ ¤ «ì­¥©è¨å १ã«ìâ ⮢ ¯®­ ¤®¡¨âáï ¯à®¨§¢®¤­ ï ¯® ¢à¥¬¥­¨ ä㭪樨 ï¯ã­®¢ ¢ ᨫã á¨c⥬ë (10.12) (ãà ¢­¥­¨ï ª®â®à®© ¯à¨ n = 1 ᮢ¯ ¤ îâ á (11.14)).

ᯮ«ì§ãï ¯à ¢¨«® ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨ï á«®¦­®© ä㭪樨 ¨ ®¯¥à æ¨î ¢ëç¨á«¥­¨ï ¯à®¨§¢®¤­®© ᪠«ïà­®© ä㭪樨 ¯®

270

¢¥ªâ®à­®¬ã à£ã¬¥­âã ¯®«ã稬 14

V_

(x)=rxV (x)f (x)=

@V

 

@V

(x)+ +

@V

@x1 f1

(x)+

@x2 f2

@xn fn(x):(11.22)

ਢ¥¤¥¬ ⥯¥àì ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ ­¥ª®â®àëå ⥮६.¥®à¥¬ 1. ¡ ãá⮩稢®á⨠( . . ï¯ã­®¢).

᫨ ¯à¨ x 2 áãé¥áâ¢ã¥â ¯®«®¦¨â¥«ì­®-®¯à¥¤¥«¥­­ ï äã­ªæ¨ï V (x) â ª ï, çâ® ¥¥ ¯à®¨§¢®¤­ ï ¢ ᨫã á¨á⥬ë (10.12) §­ ª®®âà¨æ â¥«ì­ , â® á®áâ®ï­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï ãá⮩ç¨- ¢® ¯® ï¯ã­®¢ã.

¥®à¥¬ 2. ¡ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© ãá⮩稢®á⨠( . . ï- ¯ã­®¢).

᫨ ¯à¨ x 2 áãé¥áâ¢ã¥â ¯®«®¦¨â¥«ì­®-®¯à¥¤¥«¥­­ ï äã­ªæ¨ï V (x) â ª ï, çâ® ¥¥ ¯à®¨§¢®¤­ ï ¢ ᨫã á¨á⥬ë (10.12) ®âà¨æ ⥫쭮 ®¯à¥¤¥«¥­ , â® á®áâ®ï­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ãá⮩稢® ¯® ï¯ã­®¢ã.

¥®à¥¬ 3. ¡ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© ãá⮩稢®á⨠¢ ®¡« á⨠S ( ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© ãá⮩稢®á⨠"¢ ¡®«ì讬") [93, 94].

᫨ ¯à¨ ¢ë¯®«­¥­¨¨ ãá«®¢¨© ⥮६ë 2 ¤«ï ­¥ª®â®à®£®

C > 0 ­¥à ¢¥­á⢮ V (x) C ¢ë¯®«­¥­® ¢ § ¬ª­ã⮩ ®ªà¥áâ- ­®á⨠­ ç « ª®®à¤¨­ â S f0g 2 S â® á®áâ®ï­¨¥ à ¢­®¢¥- á¨ï f0g ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ãá⮩稢® á ®¡« áâìî ¯à¨â殮­¨ï S (á¬. ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2, á. 263).

¥®à¥¬ 4. ¡ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© ãá⮩稢®á⨠¢ 楫®¬

(⥮६ ࡠ設 { à ᮢ᪮£®).

᫨ ¢ ãá«®¢¨ïå ¥®à¥¬ë 2 ¬­®¦¥á⢮ ᮢ¯ ¤ ¥â á® ¢á¥¬ ¯à®áâà ­á⢮¬, â.¥. = X, V (x) ! 1 ¯à¨ kxk ! 1 â® á¨á- ⥬ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ãá⮩稢 ¢ 楫®¬.

ã­ªæ¨ï ï¯ã­®¢ , 㤮¢«¥â¢®àïîé ï ¯à¨¢¥¤¥­­®¬ã ¢ ¤ ­- ­®© ⥮६¥ ãá«®¢¨î à®áâ , ¨­®£¤ ­ §ë¢ ¥âáï à ¤¨ «ì­® ­¥-

®£à ­¨ç¥­­®© [64, 93]. à® äã­ªæ¨î V (x t) § ¢¨бпйго п¢-

14 ®«¥§­® ¨¬¥âì ¢ ¢¨¤ã á«¥¤ãî騥 ¯à ¢¨« ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨ï [23]: ¯à®¨§¢®¤­ ï ᪠«ïà­®© ä㭪樨 V (x) ¯® ¢¥ªâ®àã x 2 Rn ï¥âáï 1 n-

¬ âà¨æ¥© ç áâ­ëå

¯à®¨§¢®¤­ëå (â.¥.

âà ­á¯®­¨à®¢ ­­®© ª ¢¥ªâ®àã-

 

 

@V

 

 

 

T

 

á⮫¡æã £à ¤¨¥­â

V ¯® x):

(rxV

 

 

 

@xi

=

(x))

= ¯à®¨§¢®¤­ ï ¢¥ªâ®à-

ä㭪樨 f(x) 2 Rm ¯® ¢¥ªâ®àã x 2 Rn ï¥âáï m n-¬ âà¨æ¥©, í«¥¬¥­â -

¬¨ ª®в®а®© п¢«повбп з бв­л¥ ¯а®¨§¢®¤­л¥

@fj = ¯à®¨§¢®¤­ ï ᪠«ïà­®©

 

 

 

 

 

@xi

 

ä㭪樨 V ¯® m n-¬ âà¨æ¥ A = faijg ï¥âáï m n-¬ âà¨æ¥©, í«¥¬¥­-

в ¬¨ ª®в®а®© п¢«повбп з бв­л¥ ¯а®¨§¢®¤­л¥

@V

= ¯à®¨§¢®¤­ ï ª¢ ¤à -

@aij

 

 

 

 

 

 

 

â¨ç­®© ä®à¬ë xT Hx ¯® ¢¥ªâ®àã x2Rn à ¢­

2xT H xT H + HxT :

 

 

 

271