Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления

¯®«ãç ¥¬ e = e ~ ª ª ª ¨¬¥îâáï íä䥪⨢­ë¥ ¢ë-

At T ;1 AtT:

ç¨á«¨â¥«ì­ë¥ «£®à¨â¬ë ¯à¨¢¥¤¥­¨ï ª ¤¨ £®­ «ì­®© ä®à¬¥ (®á®¡¥­­®, ¥á«¨ ã ¬ âà¨æë A ­¥â ªà â­ëå ᮡá⢥­­ëå ç¨-

ᥫ), ¤ ­­ë© ᯮᮡ ¯®«ã祭¨ï ¬ âà¨ç­®© íªá¯®­¥­âë ¯à¥¤- áâ ¢«ï¥âáï ¤®áâ â®ç­® 㤮¡­ë¬. à㣮© ᯮᮡ ¢ëç¨á«¥­¨ï ®¯¨à ¥âáï ­ ¯à¨¡«¨¦¥­­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ íªá¯®­¥­âë ¨ ¡ã- ¤¥â à áᬮâ७ ¢ á«¥¤ãî饬 ¯ à £à ä¥.

­ «¨â¨ç¥áª¨¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï ¬ âà¨ç­®© íªá¯®­¥­âë ¬®- £ãâ ¡ëâì ¯®«ã祭ë â ª¦¥ ­ ®á­®¢¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¯« á

[3, 47, 94]. â®â ¬¥â®¤ ®á­®¢ ­ ­ ⮬, ç⮠१®«ì¢¥­â R(s) ¯®áâ®ï­­®© ¬ âà¨æë A ï¥âáï ¨§®¡à ¦¥­¨¥¬ ¯® ¯« áã

¥¥ ¬ âà¨ç­®© íªá¯®­¥­âë: L(eAt ) = ;sIn ; A ;1 (á¬. á­®áªã 10 ­ á. 35). ®í⮬ã í«¥¬¥­âë ¯¥à¥å®¤­®© ¬ âà¨æë ¬®¦­® ­ ©â¨ á ¯®¬®éìî â ¡«¨æ ®¡à â­®£® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¯« á [15, 66, 76, 94, 95].

6.5.2. ਡ«¨¦¥­­ë¥ ¬¥â®¤ë

ਡ«¨¦¥­­ë¥ ¬¥â®¤ë ®á­®¢ ­ë ­ à §«¨ç­ëå ¯¯à®ªá¨¬ - æ¨ïå àï¤ (6.5) ¢ëà ¦¥­¨ï¬¨, ᮤ¥à¦ 騬¨ ª®­¥ç­®¥ ç¨á-

«® á« £ ¥¬ëå. ¨¡®«¥¥ ®ç¥¢¨¤­®© ï¥âáï ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï¥©«®à ¯®à浪 k, ᮣ« á­® ª®â®à®© àï¤ (6.5) ¯à¨¡«¨¦¥­­® § ¬¥­ï¥âáï ª®­¥ç­®© á㬬®©

6.10.2. ­ «®£¨¨ á ç¨á«¥­­ë¬ à¥è¥­¨¥¬ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ëå ãà ¢­¥­¨©.

142

( ).

ਢ¥¤¥¬ ­¥ª®â®àë¥ ç áâ­ë¥ á«ãç ¨ (6.22). ०¤¥ ¢á¥£® ®â¬¥â¨¬, çâ® ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï ¥©«®à (6.19) ï¥âáï ç áâ- ­ë¬ á«ãç ¥¬ (6.22) ¯à¨ = 0: «¥¤®¢ ⥫쭮, ä®à¬ã« ¬¥-

¨ ¢ ¤ «ì­¥©è¥¬ ¡ã¤¥â ­ §ë¢ âìáï ­¥ï¢­ë¬ ¬¥â®¤®¬ ©«¥à .

¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï ¤¥ (1 1) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¬¥â®¤ã á⨭ (á¬. â ª¦¥ á. 153) ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®©

®à¬ã« ¤¥ (2 2) ¤ ¥â ¢ëà ¦¥­¨¥

eA ;12In + 6A + (A )2 ;12In ; 6A + (A)2 ;1: (6.25)

ª®­¥æ, ä®à¬ã« ¤¥ (3 3) ¯à¨¢®¤¨â ª ᮮ⭮襭¨î (6.22), £¤¥

­¥ï¢­ëå ¬¥â®¤®¢ ï¥âáï ­¥®¡å®¤¨¬®áâì ®¡à 饭¨ï ¬ âà¨-

æë G (A) ¨ á¢ï§ ­­ ï á í⨬ ¯à®¡«¥¬ ¥¥ ¢ë஦¤¥­­®áâ¨.«¥¤ã¥â, ®¤­ ª®, ¨¬¥âì ¢ ¢¨¤ã, çâ® áãé¥áâ¢ãîâ ¤®áâ â®ç- ­® íä䥪⨢­ë¥ «£®à¨â¬ë ®¡à 饭¨ï ¬ âà¨æ ¨ ¢®§­¨ª î- 騥 §¤¥áì ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë¥ ¢ëç¨á«¨â¥«ì­ë¥ § âà âë ®¡ëç­® ®¯à ¢¤ ­ë. â® ¦¥ ª á ¥âáï ¢®§¬®¦­®© ¢ë஦¤¥­­®á⨠¬ - âà¨æë G â® § ¬¥â¨¬, çâ® ®­ ¨¬¥¥â ¬¥áâ®, ¥á«¨ ã ¬ âà¨æë

A ¥áâì ᮡá⢥­­ë¥ ç¨á« , ᮢ¯ ¤ î騥 á ª®à­ï¬¨ j ¬­®£®- ç«¥­ G ( ): § (6.21) ¬®¦­® ¢ë¢¥áâ¨, çâ® ¯à¨ = ¢ë¯®«- ­¥­® Re j > 0 j = 1 : : : : «¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï ãá⮩稢ëå ­¥¯à¥à뢭ëå á¨á⥬ ¢á¥£¤ ¢ë¯®«­¥­® detG (A) 6= 0: ᫨ ¦¥ á¨á⥬ ­¥ãá⮩稢 , â® ¯à¨ ¢ë஦¤¥­­®á⨠¬ âà¨æë G

á«¥¤ã¥â ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯¯à®ªá¨¬ æ¨î á ¤à㣨¬¨ ¯ à ¬¥âà - ¬¨ «¨¡® ­¥áª®«ìª® ¨§¬¥­¨âì §­ 祭¨¥ : ¬¥â¨¬ çâ®

!0 G (A ) ! In á«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ë¡®à ¤®áâ â®ç­®

¬«®£® £ à ­â¨àã¥â det G (A) =6 0:

ਠ¢ëç¨á«¥­¨¨ ¬ âà¨ç­®© íªá¯®­¥­âë ¬®¦¥â ®ª § âìáï

¯®«¥§­ë¬ ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì­®¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¥¥ ­ ¬ «®¬ ¨­â¥à-

¢ «¥ ¯® ä®à¬ã« ¬ (6.19) ¨«¨ (6.22) (çâ® ¤ ¥â ¢ë᮪ãî â®ç- ­®áâì) á ¯®á«¥¤ãî騬 ४ãà७â­ë¬ ¢®§¢¥¤¥­¨¥¬ ¢ á⥯¥­ì ¯®«ã祭­®£® १ã«ìâ â (¬¥â®¤ ª¨â᪮£®) [72]. ¤¥áì ¨á-

¯®«ì§ã¥âáï ᢮©á⢮ eAT0 = ;eA k ¯à¨ T0 = k :

।« £ ¥âáï â ª¦¥ ¯à¨ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ ¢ë᮪¨å á⥯¥­¥© ¬ âà¨æë A ¯®«ì§®¢ âìáï ⥮६®© í«¨{ ¬¨«ìâ®­ [53], á®-

8 ®«¥¥ ¯®¤à®¡­® íâ®â ¢®¯à®á ®¡á㦤 ¥âáï ­¨¦¥ ¢ ¯. 6.10.

144

¯à¨¢¥¤¥­­ëå ᮮ⭮襭¨© ¡ã¤ãâ à áᬮâà¥­ë ­¨¦¥ ¢ ¯.¯. 6.7. 6.10. ¥©ç á ¡®«¥¥ ¯®¤à®¡­® à áᬮâਬ ¢®¯à®á ¢ëç¨á«¥- ­¨ï ¬ âà¨æë Q ¢ (6.14), ®¡à é ï ¢­¨¬ ­¨¥ ­ ¢®§¬®¦­®áâì det A = 0:

6.6. ëç¨á«¥­¨¥ ¬ âà¨æë Q ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥

6

¢ëç¨á«¥­¨¥¬ Q ¯à¨ ¢ë஦¤¥­­®© ¬ âà¨æ¥ A, ¬®¦­® ¨§¡¥-

¦ âì, ¥á«¨ ¯à¨ ä®à¬ «ì­®© ¯®¤áâ ­®¢ª¥ ¢ëà ¦¥­¨ï ¤«ï P = eAT0 ¯®«ã祭­®£® ¨§ ¯¯à®ªá¨¬ 権 ¥©«®à (6.19) ¨«¨ ¤¥

(6.22), ¢ (6.17) ¯à®¨§¢¥á⨠"᮪à 饭¨¥" ¬ âà¨æë A: ®£¤ ¢

ï­¨ï ¨á室­®© á¨á⥬ë (6.13). 室­®© ¯à®æ¥áá u(t) ¯à¨ tk t < tk+1 à áᬠâਢ ¥âáï ª ª à¥è¥­¨¥ ­¥ª®â®à®£® ®¤­®- த­®£® ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®£® ãà ¢­¥­¨ï. ®£¤ à áè¨à¥­­ ï á¨á⥬ ⮦¥ ï¥âáï ®¤­®à®¤­®© ¨ ¢ ¢ëç¨á«¥­¨¨ ¯® (6.17) ­¥â ­¥®¡å®¤¨¬®áâ¨. ᪮¬ë¥ ¬ âà¨æë P ¨ Q ¯®«ãç îâáï ª ª ¯®¤¬ âà¨æë "à áè¨à¥­­®©" ¬ âà¨ç­®© íªá¯®­¥­âë.

த¥¬®­áâà¨à㥬 íâ®â ¯®¤å®¤ ¤«ï áâ㯥­ç ⮣® ¢å®¤­®- £® ¯à®æ¥áá u(t) = u(tk) ¯à¨ tk t < tk+1: «ï 㪠§ ­­®£® ¯à®- ¬¥¦ã⪠¢à¥¬¥­¨ ãà ¢­¥­¨¥ (6.13) § ¯¨è¥¬ ¢ ¢¨¤¥

¢¥¤¥¬ à áè¨à¥­­ë© (n +m)-¬¥à­ë© ¢¥ªâ®à á®áâ®ï­¨ï x(t) = colfx(t) u(t)g ¨ (n + m) (n + m)- ¬ âà¨æã

⬥⨬ â ª¦¥, çâ® ¯à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¨ ®¯¨á ­­ëå ¢ ¯. 6.5.1. ­ «¨â¨ç¥áª¨å ¬¥â®¤®¢, ®á­®¢ ­­ëå ­ ¯à¨¢¥¤¥­¨¨ ¬ - âà¨æë A ª ª ­®­¨ç¥áª®© ¦®à¤ ­®¢®© ä®à¬¥, ¢ ¢ëç¨á«¥­¨¨ Q ¯® ä®à¬ã«¥ (6.17) ­¥â ­¥®¡å®¤¨¬®áâ¨. í⮬ á«ãç ¥ ¨­-

â¥£à « ®â ¬ âà¨ç­®© íªá¯®­¥­âë ¢ (6.9) ¬®¦¥â ¡ëâì ­ ©¤¥­ ­ «¨â¨ç¥áª¨ ¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥­ í«¥¬¥­â à­ë¬¨ äã­ªæ¨ï¬¨.

6.7.¨áªà¥â­ë¥ ¬®¤¥«¨ ¤«ï à §«¨ç­ëå ¢¨¤®¢ ¢å®¤­®£® ¯à®æ¥áá

ëè¥ ®á­®¢­ë¥ १ã«ìâ âë ¯® ¯¥à¥å®¤ã ª ¤¨áªà¥â­ë¬ ¬®¤¥- «ï¬ ¯®«ãç¥­ë ¤«ï á¨á⥬ á íªáâà ¯®«ïâ®à®¬ ­ã«¥¢®£® ¯®- à浪 . «ï â ª¨å á¨á⥬ ¢ë¯®«­¥­® (6.15). áᬮâਬ ­¥ª®â®àë¥ ®¡®¡é¥­¨ï १ã«ìâ ⮢ ¯. 6.4.2. ¤«ï ¤àã£¨å ¢¨- ¤®¢ ¢å®¤­®£® ¯à®æ¥áá . ॡ®¢ ­¨¥ ®¤­®§­ ç­®á⨠®¯à¥¤¥-

«¥­¨ï ¯à®æ¥áá u(t) ¯® ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠fu(ti )g k0;1 ¡ã¤¥¬ ¯®-¯à¥¦­¥¬ã áç¨â âì ¢ë¯®«­¥­­ë¬.

6.7.1. ¬¥é¥­­®¥ z-¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥

à拉 ¯à¨«®¦¥­¨© ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¨­â¥à¥á ¯®«ã祭¨¥ ¤¨á-

ªà¥â­®© ¬®¤¥«¨ á¨á⥬ë, ¢ ª®â®à®© §­ 祭¨ï x[k] y[k] á®- ®â¢¥âáâ¢ãîâ á®áâ®ï­¨î ¨ ¢ë室㠭¥¯à¥à뢭®© á¨áâ¥¬ë ­¥ ¢ ¬®¬¥­âë ¢à¥¬¥­¨ tk = kT0 (ª ª 㪠§ ­® ¢ 6.4.1.), ¢ ¬®¬¥­âë

9 O⬥⨬, çâ® ¤ ­­ë© ¬¥â®¤ ¢ëç¨á«¥­¨© ॠ«¨§®¢ ­ ¢ ¯à®£à ¬¬¥ c2d âã«¡®ªá CONTROL SYSTEMS ¯ ª¥â MATLAB [139].

146

tk " = (k + ")T0 0 " < 1: 10 â ª, ¯®« £ ï, ª ª ¨ à ­¥¥, ¢å®¤- ­®¥ ¢®§¤¥©á⢨¥ ªãá®ç­®-¯®áâ®ï­­ë¬ ¢¨¤ (6.15), ¯®«ã稬 à §­®áâ­ë¥ ãà ¢­¥­¨ï, ®¯¨áë¢ î騥 ¯¥à¥å®¤ ®â á®áâ®ï­¨ï x(tk ") ª á®áâ®ï­¨î x(tk+1 ") ¯à¨ ¨§¢¥áâ­®¬ u(t) tk " t < tk+1 ":«ï í⮣®, ª ª ¨ ¢ 6.4.2., ¯à®¨­â¥£à¨à㥬 ãà ¢­¥­¨¥ (6.13) ­

¨­â¥à¢ «¥ [tk " tk+1 "] ¯® ä®à¬ã«¥ (6.9). ®«ã稬

ëç¨á«ïï ¨­â¥£à «ë, ¯®«ãç ¥¬ ­ «®£¨ç­®¥ (6.16) ãà ¢­¥- ­¨¥

x(tk+1 ") = P x(tk ") + Q1u(tk) + Q2u(tk+1) y(tk ") = Cx(tk ") + Du(tk )

£¤¥ ¯®-¯à¥¦­¥¬ã P = eAT0\ ¬ âà¨æë Q1 Q2 ¯à¨ det A 6= 0 ®¯а¥- ¤¥«повбп б®®в­®и¥­¨п¬¨

Q1 = A;1 (P ; P") Q2 = A;1 (In ; P") P" = eAT0":

㤮¡á⢠¢ë¯®«­¨¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ (6.31) ª ¢¨¤ã (6.14). ¡®-

§­ 稢 x~[k] = x[k] ; Q2u[k] ¯®«ã稬 x[k] = x~[k] + Q2u[k] ¨

10 áᬮâ७­ ï ¢ 6.4.1. § ¤ ç ï¥âáï ç áâ­ë¬ á«ãç ¥¬ ¤ ­­®© ¯à¨ " = 0: ¡ëç­® ¤ ­­ ï § ¤ ç ­ §ë¢ ¥âáï ®¯à¥¤¥«¥­¨¥¬ "ᬥ饭­®£®

z-¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï".

147

¢ «¥ [tk tk+1] ¯à¨ ­ ç «ì­®¬ §­ 祭¨¨ x(tk ) ¯®«ã祭­®¬ ­

11 室­®© ¯à®æ¥áá ¢¨¤ (6.15), à áᬮâ७­ë© ¢ 6.4.2. ï¥âáï ç áâ- ­ë¬ á«ãç ¥¬ (6.32) ¯à¨ = 1:

148

6.7.3. ªá¯®­¥­æ¨ «ì­ë¥ ¨¬¯ã«ìáë

®«ã稬 ¤¨áªà¥â­ãî ¬®¤¥«ì á¨áâ¥¬ë ¯à¨ ¢å®¤­®¬ ¢®§¤¥©- á⢨¨ ¢¨¤

u(t) = u(tk )e; (t;tk ) ¯à¨ tk t < tk+1 k = 0 1 2 : : : (6.34)

£¤¥ { ¯ à ¬¥âà íªáâà ¯®«ïâ®à . ª ¨ ¢ 6.6., ¯®«ã稬 ãà ¢- ­¥­¨ï à áè¨à¥­­®© á¨á⥬ë, ª®â®àë¥ ¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ ¯à¨- ­¨¬ îâ ¢¨¤

à¨à ¢­¨¢ ï P = P0 Q = Q0 ¯®«ãç ¥¬ ¨áª®¬ë¥ ¬ âà¨æë ¤¨áªà¥â­®© ¬®¤¥«¨ (6.14).

6.7.4. à¥ã£®«ì­ë¥ ¨¬¯ã«ìáë

áᬮâਬ ⥯¥àì ¢å®¤­®© ¯à®æ¥áá, ¨¬¥î騩 ¢¨¤ ¯àאַ- 㣮«ì­ëå âà¥ã£®«ì­¨ª®¢ á ¢ëá®â®© u(tk) ¨ ®á­®¢ ­¨¥¬ T0 :­ ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬

á।á⢥­­®, ¨­â¥£à¨àãï (6.13) á ãç¥â®¬ (6.36)\ ®¤­ ª® çâ®¡ë ¨§¡¥¦ âì ®¡à 饭¨ï ¬ âà¨æë A ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ®¯¨á ­­ë¬ ¢ 6.6. ¯à¨¥¬®¬.

«ï tk t tk § ¯¨è¥¬ (6.36) ¢ ¢¨¤¥

®áâã¯ ï ­ «®£¨ç­® ¯.¯. 6.6. 6.7.2. ¢¢¥¤¥¬ à áè¨à¥­­ë©

ãà ¢­¥­¨¥ ¤«ï x[k] ¢¨¤ (6.14), £¤¥ ¬ âà¨æë

P = eAT0 Q = P1; Q :

à ¡®â¥ [76] ¯®ª § ­® ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ä®à¬ã«ë ®è¨ ¯à¨ ¯®- áâ஥­¨¨ ¤¨áªà¥â­ëå ¬®¤¥«¥© ¤«ï á¨á⥬ á ¯à®¨§¢®«ì­® § - ¤ ­­®© ä®à¬®© ¨¬¯ã«ìá . ¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ á¢®¤¨âáï ª ¢ëç¨á- «¥­¨î ¬ âà¨ç­®© íªá¯®­¥­âë eAT0 ¨ ¨­â¥£à «

R0T0 eA(T0; ) ( )d £¤¥ äã­ªæ¨ï ( ) ®¯à¥¤¥«ï¥â ¢¨¤ ¨¬¯ã«ìᮢ, ®¡à §ãîé¨å ¢å®¤­®© ¯à®æ¥áá.

6.8.®¤áâ ­®¢®ç­ë¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï ¢ëç¨á«¥­¨ï ¯¥à¥¤ - â®ç­®© ä㭪樨 ¤¨áªà¥â­®© ¬®¤¥«¨

ëè¥, ¢ 6.4.2. ¯à¨¢¥¤¥­ ä®à¬ã« (6.18), ¯®§¢®«ïîé ï ¢ëç¨- ᫨âì ¯¥à¥¤ â®ç­ãî äã­ªæ¨î ¤¨áªà¥â­®© á¨áâ¥¬ë ¯® à §­®á- â­®¬ã ãà ¢­¥­¨î (6.14), ¯®«ã祭­®¬ã ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥¬ ãà ¢- ­¥­¨© á®áâ®ï­¨ï ­¥¯à¥à뢭®© á¨á⥬ë (6.13). ᫨ ¨á室­ ï á¨á⥬ § ¤ ­ ¯¥à¥¤ â®ç­®© ä㭪樥© W(s) â® â ª®© ¯®¤å®¤

150

¯à¥¤¯®« £ ¥â ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì­®¥ ¯à¨¢¥¤¥­¨¥ W(s) ª ãà ¢­¥­¨- ï¬ á®áâ®ï­¨ï. «ï í⮣® ¬®¦­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ®¯¨á ­­ë¥ ¢ 4. ¯à®æ¥¤ãàë. ¤­ ª® ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì ¯à¨¡«¨¦¥­­®¥ à¥è¥­¨¥

â¥à¢ «®¬ T0 ¨ ­ ¨¬¥­ì襩 ¯®áâ®ï­­®© ¢à¥¬¥­¨ ­¥¯à¥à뢭®©

á¨á⥬ë W(s). à¨ à §ã¬­®¬ ¢ë¡®à¥ T0 â®ç­®áâì ¬®¦¥â ®ª - § âìáï ¤®áâ â®ç­® ¢ë᮪®©. ஬¥ ⮣®, ª ª ¡ã¤¥â ¯®ª § ­® ¢ ¯. 6.10. ä®à¬ã«ë (6.39) ¨ (6.40) á®åà ­ïîâ ᢮©á⢮ ãá⮩ç¨- ¢®á⨠¬®¤¥«¨ ¯à¨ «î¡®¬ ( ­¥ ⮫쪮 ¯à¨ ¤®áâ â®ç­® ¬ «®¬)

T0 > 0:

151