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Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления

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¯®«ãç ¥¬ e = e ~ ª ª ª ¨¬¥îâáï íä䥪⨢­ë¥ ¢ë-

At T ;1 AtT:

ç¨á«¨â¥«ì­ë¥ «£®à¨â¬ë ¯à¨¢¥¤¥­¨ï ª ¤¨ £®­ «ì­®© ä®à¬¥ (®á®¡¥­­®, ¥á«¨ ã ¬ âà¨æë A ­¥â ªà â­ëå ᮡá⢥­­ëå ç¨-

ᥫ), ¤ ­­ë© ᯮᮡ ¯®«ã祭¨ï ¬ âà¨ç­®© íªá¯®­¥­âë ¯à¥¤- áâ ¢«ï¥âáï ¤®áâ â®ç­® 㤮¡­ë¬. à㣮© ᯮᮡ ¢ëç¨á«¥­¨ï ®¯¨à ¥âáï ­ ¯à¨¡«¨¦¥­­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ íªá¯®­¥­âë ¨ ¡ã- ¤¥â à áᬮâ७ ¢ á«¥¤ãî饬 ¯ à £à ä¥.

­ «¨â¨ç¥áª¨¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï ¬ âà¨ç­®© íªá¯®­¥­âë ¬®- £ãâ ¡ëâì ¯®«ã祭ë â ª¦¥ ­ ®á­®¢¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¯« á

[3, 47, 94]. â®â ¬¥â®¤ ®á­®¢ ­ ­ ⮬, ç⮠१®«ì¢¥­â R(s) ¯®áâ®ï­­®© ¬ âà¨æë A ï¥âáï ¨§®¡à ¦¥­¨¥¬ ¯® ¯« áã

¥¥ ¬ âà¨ç­®© íªá¯®­¥­âë: L(eAt ) = ;sIn ; A ;1 (á¬. á­®áªã 10 ­ á. 35). ®í⮬ã í«¥¬¥­âë ¯¥à¥å®¤­®© ¬ âà¨æë ¬®¦­® ­ ©â¨ á ¯®¬®éìî â ¡«¨æ ®¡à â­®£® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¯« á [15, 66, 76, 94, 95].

6.5.2. ਡ«¨¦¥­­ë¥ ¬¥â®¤ë

ਡ«¨¦¥­­ë¥ ¬¥â®¤ë ®á­®¢ ­ë ­ à §«¨ç­ëå ¯¯à®ªá¨¬ - æ¨ïå àï¤ (6.5) ¢ëà ¦¥­¨ï¬¨, ᮤ¥à¦ 騬¨ ª®­¥ç­®¥ ç¨á-

«® á« £ ¥¬ëå. ¨¡®«¥¥ ®ç¥¢¨¤­®© ï¥âáï ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï¥©«®à ¯®à浪 k, ᮣ« á­® ª®â®à®© àï¤ (6.5) ¯à¨¡«¨¦¥­­® § ¬¥­ï¥âáï ª®­¥ç­®© á㬬®©

 

 

(A )2

 

(A )k

 

k

 

(A )i

 

 

eA In + A +

 

+ +

 

 

 

In +

X

 

 

: (6.19)

 

2

 

k!

 

 

i!

 

 

 

i=1

 

¯à¨¬¥à, ¯à¨ k = 1 ¯®«ãç ¥¬ «¨­¥©­®¥ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¥

 

 

 

eA In + A

 

 

 

 

 

 

(6.20)

ª®â®à®¥ ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì

¯¯à®ªá¨¬ 樥© ©«¥à

 

7.

 

 

¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï (6.19) ­¥ ï¥âáï ­ ¨«ãç襩. ® ¬­®£¨å

®â­®è¥­¨ïå ¡®«¥¥ ¯à¥¤¯®çâ¨â¥«ì­ ¡®«¥¥ ®¡é ï

¯¯à®ªá¨-

¬ æ¨ï ¤¥. ਠ⠪®©

¯¯à®ªá¨¬ 樨 íªá¯®­¥­â

ex

¯à¥¤-

áâ ¢«ï¥âáï à 樮­ «ì­®© ä㭪樥© e

x

F (x)

á ç¨á«¨â¥«¥¬

 

G (x)

F

á⥯¥­¨ ¨ §­ ¬¥­ ⥫¥¬ G

á⥯¥­¨

®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¬¨

 

 

 

7

¡®á­®¢ ­¨¥ â ª®£® ­ §¢ ­¨ï á«¥¤ã¥â ¨§ ¯à¨¢¥¤¥­­®© ­¨¦¥ ¢ ¯.

6.10.2. ­ «®£¨¨ á ç¨á«¥­­ë¬ à¥è¥­¨¥¬ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ëå ãà ¢­¥­¨©.

142

ä®à¬ã« ¬¨

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (x) = 1 +

 

x +

 

(

; 1)

 

x2

+

 

( +

)1!

( + )(

+ ; 1)2!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

( ; 1)

 

2 1

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

+ )( + ;

1) ( + 1) !

 

 

 

(6.21)

 

 

 

 

 

G (x) = 1

;

 

 

x +

 

(

; 1)

 

x2

+

 

( + )1!

( + )(

+ ; 1)2!

+ (

;

1)

 

 

(

;

1) 2

1

 

x :

 

 

 

 

 

 

 

; 1)

 

 

 

 

 

 

 

( + )( +

( + 1) !

 

 

 

 

®®â¢¥âá⢥­­®, ¤«ï ¬ âà¨ç­®£®

à£ã¬¥­â x = A § ¯¨è¥¬

 

 

 

 

 

eA F (A )G;1(A)

 

 

 

 

(6.22)

£¤¥ F (A ) G (A ) { ¬ âà¨ç­ë¥ ¬­®£®ç«¥­ë ¢¨¤ (6.21).

¤ «ì­¥©è¥¬ (6.22) ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì

¯¯à®ªá¨¬ 樥© ¤¥

( ).

ਢ¥¤¥¬ ­¥ª®â®àë¥ ç áâ­ë¥ á«ãç ¨ (6.22). ०¤¥ ¢á¥£® ®â¬¥â¨¬, çâ® ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï ¥©«®à (6.19) ï¥âáï ç áâ- ­ë¬ á«ãç ¥¬ (6.22) ¯à¨ = 0: «¥¤®¢ ⥫쭮, ä®à¬ã« ¬¥-

⮤ ©«¥à (6.20) ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯¯à®ªá¨¬ 樥© ¤¥

(1 0).

¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï ¤¥ (0 1) ¨¬¥¥â ¢¨¤

 

eA (In ; A );1

(6.23)

¨ ¢ ¤ «ì­¥©è¥¬ ¡ã¤¥â ­ §ë¢ âìáï ­¥ï¢­ë¬ ¬¥â®¤®¬ ©«¥à .

¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï ¤¥ (1 1) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¬¥â®¤ã á⨭ (á¬. â ª¦¥ á. 153) ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®©

eA (In + A=2) (In ; A=2);1

(6.24)

®à¬ã« ¤¥ (2 2) ¤ ¥â ¢ëà ¦¥­¨¥

eA ;12In + 6A + (A )2 ;12In ; 6A + (A)2 ;1: (6.25)

ª®­¥æ, ä®à¬ã« ¤¥ (3 3) ¯à¨¢®¤¨â ª ᮮ⭮襭¨î (6.22), £¤¥

F3 3 (A ) = 120In + 60A + 12(A)2 + (A )3

 

G3 3 (A) = 120In ; 60A + 12(A )2 ; (A )3:

(6.26)

143

 

¤­¨¬ ¨§ ¯à¥¨¬ãé¥áâ¢

¯¯à®ªá¨¬ 権 ¤¥ ï¥âáï ¨å

¡®«¥¥

¢ë᮪ ï â®ç­®áâì,

祬 ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å (¯à¨ k =

max( )) ¯¯à®ªá¨¬ 権 ¥©«®à . 訡ª

¯¯à®ªá¨¬ 樨

(6.19)

¨¬¥¥â ¯®à冷ª ¬ «®á⨠O( k ) ®è¨¡ª

"¤¨ £®­ «ì-

­ëå"

¯¯à®ªá¨¬ 権 (6.22) ( ) ¯à¨ = { ¯®à冷ª ¬ «®-

á⨠O( 2 +1): à㣨¬ ¤®á⮨­á⢮¬ ä®à¬ã«ë ¤¥ ¯à¨ = 0

 

 

 

 

6

ï¥âáï á®åà ­¥­¨¥ ᢮©á⢠ãá⮩稢®á⨠­¥¯à¥à뢭®© á¨-

áâ¥¬ë ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ª ¤¨áªà¥â­®© ¬®¤¥«¨.

8

¥¤®áâ ⪮¬

­¥ï¢­ëå ¬¥â®¤®¢ ï¥âáï ­¥®¡å®¤¨¬®áâì ®¡à 饭¨ï ¬ âà¨-

æë G (A) ¨ á¢ï§ ­­ ï á í⨬ ¯à®¡«¥¬ ¥¥ ¢ë஦¤¥­­®áâ¨.«¥¤ã¥â, ®¤­ ª®, ¨¬¥âì ¢ ¢¨¤ã, çâ® áãé¥áâ¢ãîâ ¤®áâ â®ç- ­® íä䥪⨢­ë¥ «£®à¨â¬ë ®¡à 饭¨ï ¬ âà¨æ ¨ ¢®§­¨ª î- 騥 §¤¥áì ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë¥ ¢ëç¨á«¨â¥«ì­ë¥ § âà âë ®¡ëç­® ®¯à ¢¤ ­ë. â® ¦¥ ª á ¥âáï ¢®§¬®¦­®© ¢ë஦¤¥­­®á⨠¬ - âà¨æë G â® § ¬¥â¨¬, çâ® ®­ ¨¬¥¥â ¬¥áâ®, ¥á«¨ ã ¬ âà¨æë

A ¥áâì ᮡá⢥­­ë¥ ç¨á« , ᮢ¯ ¤ î騥 á ª®à­ï¬¨ j ¬­®£®- ç«¥­ G ( ): § (6.21) ¬®¦­® ¢ë¢¥áâ¨, çâ® ¯à¨ = ¢ë¯®«- ­¥­® Re j > 0 j = 1 : : : : «¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï ãá⮩稢ëå ­¥¯à¥à뢭ëå á¨á⥬ ¢á¥£¤ ¢ë¯®«­¥­® detG (A) 6= 0: ᫨ ¦¥ á¨á⥬ ­¥ãá⮩稢 , â® ¯à¨ ¢ë஦¤¥­­®á⨠¬ âà¨æë G

á«¥¤ã¥â ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯¯à®ªá¨¬ æ¨î á ¤à㣨¬¨ ¯ à ¬¥âà - ¬¨ «¨¡® ­¥áª®«ìª® ¨§¬¥­¨âì §­ 祭¨¥ : ¬¥â¨¬ çâ®

!0 G (A ) ! In á«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ë¡®à ¤®áâ â®ç­®

¬«®£® £ à ­â¨àã¥â det G (A) =6 0:

ਠ¢ëç¨á«¥­¨¨ ¬ âà¨ç­®© íªá¯®­¥­âë ¬®¦¥â ®ª § âìáï

¯®«¥§­ë¬ ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì­®¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¥¥ ­ ¬ «®¬ ¨­â¥à-

¢ «¥ ¯® ä®à¬ã« ¬ (6.19) ¨«¨ (6.22) (çâ® ¤ ¥â ¢ë᮪ãî â®ç- ­®áâì) á ¯®á«¥¤ãî騬 ४ãà७â­ë¬ ¢®§¢¥¤¥­¨¥¬ ¢ á⥯¥­ì ¯®«ã祭­®£® १ã«ìâ â (¬¥â®¤ ª¨â᪮£®) [72]. ¤¥áì ¨á-

¯®«ì§ã¥âáï ᢮©á⢮ eAT0 = ;eA k ¯à¨ T0 = k :

।« £ ¥âáï â ª¦¥ ¯à¨ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ ¢ë᮪¨å á⥯¥­¥© ¬ âà¨æë A ¯®«ì§®¢ âìáï ⥮६®© í«¨{ ¬¨«ìâ®­ [53], á®-

£« á­® ª®â®à®© ª ¦¤ ï ª¢ ¤à â­ ï ¬ âà¨æ 㤮¢«¥â¢®àï¥â

᢮¥¬ã å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¬ã ãà ¢­¥­¨î. ®í⮬ã

An = ;

;

a1An;1 + a2An;2

+ + anIn

 

 

£¤¥ ai { ª®íää¨æ¨¥­âë å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ¬­®£®ç«¥­

det( In

; A) = n+ a1 n;1+ a2 n;2 +

+an:

¢®©á⢠¤¨áªà¥â­ëå ¬®¤¥«¥©, ®á­®¢ ­­ëå ­ ¯à¨¡«¨¦¥­-

­ëå ¬¥â®¤ å ¢ëç¨á«¥­¨© eA

â ª¦¥ ­¥ª®â®àë¥ ¯à¨¬¥­¥­¨ï

8 ®«¥¥ ¯®¤à®¡­® íâ®â ¢®¯à®á ®¡á㦤 ¥âáï ­¨¦¥ ¢ ¯. 6.10.

144

¯à¨¢¥¤¥­­ëå ᮮ⭮襭¨© ¡ã¤ãâ à áᬮâà¥­ë ­¨¦¥ ¢ ¯.¯. 6.7. 6.10. ¥©ç á ¡®«¥¥ ¯®¤à®¡­® à áᬮâਬ ¢®¯à®á ¢ëç¨á«¥- ­¨ï ¬ âà¨æë Q ¢ (6.14), ®¡à é ï ¢­¨¬ ­¨¥ ­ ¢®§¬®¦­®áâì det A = 0:

6.6. ëç¨á«¥­¨¥ ¬ âà¨æë Q ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥

¯®¬­¨¬, çâ® ä®à¬ã«

(6.17) ¤«ï ¢ëç¨á«¥­¨ï ¬ âà¨æë Q

¯à¨¬¥­¨¬ , ¥á«¨ det A

= 0 : à㤭®á⥩, á¢ï§ ­­ëå á

6

¢ëç¨á«¥­¨¥¬ Q ¯à¨ ¢ë஦¤¥­­®© ¬ âà¨æ¥ A, ¬®¦­® ¨§¡¥-

¦ âì, ¥á«¨ ¯à¨ ä®à¬ «ì­®© ¯®¤áâ ­®¢ª¥ ¢ëà ¦¥­¨ï ¤«ï P = eAT0 ¯®«ã祭­®£® ¨§ ¯¯à®ªá¨¬ 権 ¥©«®à (6.19) ¨«¨ ¤¥

(6.22), ¢ (6.17) ¯à®¨§¢¥á⨠"᮪à 饭¨¥" ¬ âà¨æë A: ®£¤ ¢

¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï Q ¬ âà¨æ

A;1 ¢å®¤¨âì ­¥ ¡ã¤¥â. ¯à¨¬¥à,

¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï ¯® ¬¥â®¤ã ©«¥à (6.20) P = In + AT0 ¯à¨¢®-

¤¨â ª ä®à¬ã«¥ Q = BT0

¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï ¤¥ (1 1) (6.24)

("¬¥â®¤ á⨭ ") { ª ä®à¬ã«¥ Q = (In ; AT0=2);1BT0:

à㣮© ᯮᮡ á®á⮨â

¢ à áè¨à¥­¨¨ ãà ¢­¥­¨© á®áâ®-

ï­¨ï ¨á室­®© á¨á⥬ë (6.13). 室­®© ¯à®æ¥áá u(t) ¯à¨ tk t < tk+1 à áᬠâਢ ¥âáï ª ª à¥è¥­¨¥ ­¥ª®â®à®£® ®¤­®- த­®£® ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®£® ãà ¢­¥­¨ï. ®£¤ à áè¨à¥­­ ï á¨á⥬ ⮦¥ ï¥âáï ®¤­®à®¤­®© ¨ ¢ ¢ëç¨á«¥­¨¨ ¯® (6.17) ­¥â ­¥®¡å®¤¨¬®áâ¨. ᪮¬ë¥ ¬ âà¨æë P ¨ Q ¯®«ãç îâáï ª ª ¯®¤¬ âà¨æë "à áè¨à¥­­®©" ¬ âà¨ç­®© íªá¯®­¥­âë.

த¥¬®­áâà¨à㥬 íâ®â ¯®¤å®¤ ¤«ï áâ㯥­ç ⮣® ¢å®¤­®- £® ¯à®æ¥áá u(t) = u(tk) ¯à¨ tk t < tk+1: «ï 㪠§ ­­®£® ¯à®- ¬¥¦ã⪠¢à¥¬¥­¨ ãà ¢­¥­¨¥ (6.13) § ¯¨è¥¬ ¢ ¢¨¤¥

x(t) = Ax(t) + Bu(t)

x(tk ) = x[k]

tk t < tk+1

(6.27)

u(t) = 0

u(tk ) = u[k]:

 

 

¢¥¤¥¬ à áè¨à¥­­ë© (n +m)-¬¥à­ë© ¢¥ªâ®à á®áâ®ï­¨ï x(t) = colfx(t) u(t)g ¨ (n + m) (n + m)- ¬ âà¨æã

 

A

B

:

 

 

A

= 0m n

0m m

 

 

à ¢­¥­¨¥ (6.27) ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥

 

 

 

 

 

 

 

t < tk+1:

(6.28)

x(t) = Ax(t) x(tk ) = colfx[k] u[k]g tk

®®â¢¥âáâ¢ãîé ï ¤¨áªà¥â­ ï ¬®¤¥«ì ( ­ «®£¨ç­® (6.14)) ¯à¨-

­¨¬ ¥â ¢¨¤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.29)

 

x[k + 1] = P x[k]

 

 

 

145

 

 

 

£¤¥ P = e

 

: ç¨âë¢ ï áâàãªâãàã ¬ âà¨æë A ¨ ä®à¬ã«ã (6.5)

 

AT0

 

 

 

 

 

 

­¥¯®á।á⢥­­® ã¡¥¦¤ ¥¬áï, çâ® ¬ âà¨æ

 

¨¬¥¥â

¤«ï P

P

б«¥¤гойго ¡«®з­го бвагªвгаг:

 

 

 

 

 

 

 

P0

Q0

 

 

 

 

 

P

= 0

Im :

 

 

ãç¥â®¬ í⮣® ¨§ (6.29) ­ 室¨¬, çâ®

 

 

 

 

 

x[k + 1] = P 0x[k] + Q0u[k]:

 

(6.30)

à ¢­¨¢ ï (6.30) á (6.14), ¢¨¤¨¬, çâ® ¬ âà¨æë P Q ¢ (6.14)

ᮢ¯ ¤ îâ á P0 Q0: ®í⮬㠮­¨ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®«ã祭ë, 9

ª ª

 

 

 

 

AT0

:

 

ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¯®¤¬ âà¨æë ¬ âà¨æë P = e

 

 

⬥⨬ â ª¦¥, çâ® ¯à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¨ ®¯¨á ­­ëå ¢ ¯. 6.5.1. ­ «¨â¨ç¥áª¨å ¬¥â®¤®¢, ®á­®¢ ­­ëå ­ ¯à¨¢¥¤¥­¨¨ ¬ - âà¨æë A ª ª ­®­¨ç¥áª®© ¦®à¤ ­®¢®© ä®à¬¥, ¢ ¢ëç¨á«¥­¨¨ Q ¯® ä®à¬ã«¥ (6.17) ­¥â ­¥®¡å®¤¨¬®áâ¨. í⮬ á«ãç ¥ ¨­-

â¥£à « ®â ¬ âà¨ç­®© íªá¯®­¥­âë ¢ (6.9) ¬®¦¥â ¡ëâì ­ ©¤¥­ ­ «¨â¨ç¥áª¨ ¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥­ í«¥¬¥­â à­ë¬¨ äã­ªæ¨ï¬¨.

6.7.¨áªà¥â­ë¥ ¬®¤¥«¨ ¤«ï à §«¨ç­ëå ¢¨¤®¢ ¢å®¤­®£® ¯à®æ¥áá

ëè¥ ®á­®¢­ë¥ १ã«ìâ âë ¯® ¯¥à¥å®¤ã ª ¤¨áªà¥â­ë¬ ¬®¤¥- «ï¬ ¯®«ãç¥­ë ¤«ï á¨á⥬ á íªáâà ¯®«ïâ®à®¬ ­ã«¥¢®£® ¯®- à浪 . «ï â ª¨å á¨á⥬ ¢ë¯®«­¥­® (6.15). áᬮâਬ ­¥ª®â®àë¥ ®¡®¡é¥­¨ï १ã«ìâ ⮢ ¯. 6.4.2. ¤«ï ¤àã£¨å ¢¨- ¤®¢ ¢å®¤­®£® ¯à®æ¥áá . ॡ®¢ ­¨¥ ®¤­®§­ ç­®á⨠®¯à¥¤¥-

«¥­¨ï ¯à®æ¥áá u(t) ¯® ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠fu(ti )g k0;1 ¡ã¤¥¬ ¯®-¯à¥¦­¥¬ã áç¨â âì ¢ë¯®«­¥­­ë¬.

6.7.1. ¬¥é¥­­®¥ z-¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥

à拉 ¯à¨«®¦¥­¨© ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¨­â¥à¥á ¯®«ã祭¨¥ ¤¨á-

ªà¥â­®© ¬®¤¥«¨ á¨á⥬ë, ¢ ª®â®à®© §­ 祭¨ï x[k] y[k] á®- ®â¢¥âáâ¢ãîâ á®áâ®ï­¨î ¨ ¢ë室㠭¥¯à¥à뢭®© á¨áâ¥¬ë ­¥ ¢ ¬®¬¥­âë ¢à¥¬¥­¨ tk = kT0 (ª ª 㪠§ ­® ¢ 6.4.1.), ¢ ¬®¬¥­âë

9 O⬥⨬, çâ® ¤ ­­ë© ¬¥â®¤ ¢ëç¨á«¥­¨© ॠ«¨§®¢ ­ ¢ ¯à®£à ¬¬¥ c2d âã«¡®ªá CONTROL SYSTEMS ¯ ª¥â MATLAB [139].

146

tk " = (k + ")T0 0 " < 1: 10 â ª, ¯®« £ ï, ª ª ¨ à ­¥¥, ¢å®¤- ­®¥ ¢®§¤¥©á⢨¥ ªãá®ç­®-¯®áâ®ï­­ë¬ ¢¨¤ (6.15), ¯®«ã稬 à §­®áâ­ë¥ ãà ¢­¥­¨ï, ®¯¨áë¢ î騥 ¯¥à¥å®¤ ®â á®áâ®ï­¨ï x(tk ") ª á®áâ®ï­¨î x(tk+1 ") ¯à¨ ¨§¢¥áâ­®¬ u(t) tk " t < tk+1 ":«ï í⮣®, ª ª ¨ ¢ 6.4.2., ¯à®¨­â¥£à¨à㥬 ãà ¢­¥­¨¥ (6.13) ­

¨­â¥à¢ «¥ [tk " tk+1 "] ¯® ä®à¬ã«¥ (6.9). ®«ã稬

 

 

tk+1 "

 

x(tk+1 ") = eA(tk+1 ";tk ")x(tk ") + Ztk "

eA(tk+1 "; ) Bu( )d =

 

tk+1

 

 

= eAT0 x(tk ") + Ztk "

eA(tk+1; )d Bu(tk)+

tk+1 "

 

 

 

+ Ztk+1

eA(tk+1 "; )d Bu(tk+1):

ëç¨á«ïï ¨­â¥£à «ë, ¯®«ãç ¥¬ ­ «®£¨ç­®¥ (6.16) ãà ¢­¥- ­¨¥

x(tk+1 ") = P x(tk ") + Q1u(tk) + Q2u(tk+1) y(tk ") = Cx(tk ") + Du(tk )

£¤¥ ¯®-¯à¥¦­¥¬ã P = eAT0\ ¬ âà¨æë Q1 Q2 ¯à¨ det A 6= 0 ®¯а¥- ¤¥«повбп б®®в­®и¥­¨п¬¨

Q1 = A;1 (P ; P") Q2 = A;1 (In ; P") P" = eAT0":

 

 

 

 

¡®§­ 稢 x[k] = x(tk ")

y[k] = y(tk ") ¯®«ã稬 à §­®áâ­®¥

ãà ¢­¥­¨¥

 

 

 

x[k+1]=P x[k]+Q1 u[k]+Q2u[k+1]

 

 

y[k]=Cx[k]+Du[k] k =1 2 : : :

(6.31)

âáî¤

¯¥à¥¤ â®ç­ ï äã­ªæ¨ï ¤¨áªà¥â­®© ¬®¤¥«¨ ¯®«ãç ¥â-

áï ¢ ¢¨¤¥ WD(z ") = C (zIn ; P );1 (Q1 + Q2z) + D:

 

०¤¥ 祬 ®¡à â¨âìáï ª ¢ëç¨á«¥­¨î Q1 Q2

¢ ®¡é¥¬

á«ãç ¥, § ¬¥â¨¬, çâ® ãà ¢­¥­¨¥ (6.31) ­¥ ¨¬¥¥â áâ ­¤ àâ­®-

£® ¢¨¤

(6.14). «ï ãáâà ­¥­¨ï ¢®§­¨ª îé¨å ¯à¨ í⮬ ­¥-

㤮¡á⢠¢ë¯®«­¨¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ (6.31) ª ¢¨¤ã (6.14). ¡®-

§­ 稢 x~[k] = x[k] ; Q2u[k] ¯®«ã稬 x[k] = x~[k] + Q2u[k] ¨

10 áᬮâ७­ ï ¢ 6.4.1. § ¤ ç ï¥âáï ç áâ­ë¬ á«ãç ¥¬ ¤ ­­®© ¯à¨ " = 0: ¡ëç­® ¤ ­­ ï § ¤ ç ­ §ë¢ ¥âáï ®¯à¥¤¥«¥­¨¥¬ "ᬥ饭­®£®

z-¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï".

147

x~[k+1]=Px~[k]+(P Q2 +Q1 )u[k] y[k]=Cx~[k]+(CQ2 +D)u[k]:

­­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤ (6.14), £¤¥

P = eAT0 Q = P Q2 + Q1 C0 = C D0 = CQ2 + D:

ਠ¢ëç¨á«¥­¨¨ ¬ âà¨æ Q1 Q2 ¬®¦­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¬¥-

⮤, ®¯¨á ­­ë© ¢ ¯. 6.6. «ï í⮣® ¯®«ã稬 x(tk+1 "), ¯®á«¥¤®-

¢ ⥫쭮 ¨­â¥£à¨àãï ãà ¢­¥­¨¥ (6.27) ­

¨­â¥à¢ «¥ [tk " tk+1]

¯à¨ ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨ïå x(tk ") = x[k]

u(tk ") = u[k] ¨ ­ ¨­-

â¥à¢ «¥ [tk+1 tk+1 "] ¯à¨ ­ ç «ì­®¬ §­ 祭¨¨ x(tk+1) ¯®«ã祭-

­®¬ ­

 

ª®­æ¥ ¯¥à¢®£® ¨­â¥à¢ « , ¢§ï¢ u(tk+1) = u[k + 1]:

१ã«ìâ ⥠¯®«ãç ¥¬ à §­®áâ­®¥ ãà ¢­¥­¨¥

 

 

 

 

 

x[k + 1] = P x[k] + P"Q1;"u[k] + Q"u[k + 1]

 

£¤¥

P"

Q"

 

Q1;" { ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¯®¤¬ âà¨æë ¬ âà¨æ

P" = e

~

 

 

P" = e

~

 

:

ëç¨á«¥­¨ï ¬®¦­® ã¯à®áâ¨âì, ¥á«¨

~

AT0"

 

~

 

AT0(1;")

 

 

 

 

ãç¥áâì, çâ® P = P"P1;":

 

 

 

 

 

6.7.2.

 

àאַ㣮«ì­ë¥ ¨¬¯ã«ìáë

 

 

ãáâì ⥯¥àì ¢å®¤­®¥ ¢®§¤¥©á⢨¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤

 

 

u(t) =

u(tk)

 

¯à¨

tk

t tk

k = 0 1 2 : : :

 

 

0

 

 

¯à¨

tk < t kT0

 

(6.32)

£¤¥ 0 <

 

1 {

 

᪢ ¦­®áâì ¢å®¤­®£® ¢®§¤¥©á⢨ï,

 

 

 

tk =

(k + )T0: 11

­®¢ ¯à¨¢¥¤¥¬ ãà ¢­¥­¨ï á®áâ®ï­¨ï á¨á⥬ë

ª ¢¨¤ã (6.27). ந­â¥£à¨à㥬 ¨å ­

¨­â¥à¢ «¥ [tk tk ] ¯à¨

­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨ïå x(tk) = x[k] u(tk ) = u[k] ¨ ­

¨­â¥à-

¢ «¥ [tk tk+1] ¯à¨ ­ ç «ì­®¬ §­ 祭¨¨ x(tk ) ¯®«ã祭­®¬ ­

ª®­æ¥ ¯¥à¢®£® ¨­â¥à¢ «

¨ u(tk ) = 0: ­ «®£¨ç­® 6.6. 6.7.1.

¯®«ãç ¥¬ à §­®áâ­®¥ ãà ¢­¥­¨¥

 

x[k+1]=P x[k]+P1; Q u[k] y[k]=Cx[k] k =0 1 : : : (6.33)

£¤¥ P1;

 

Q { ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¯®¤¬ âà¨æë ¬ âà¨æ

P1; = e

 

~

 

P

= e

~

 

:

AT0(1; )

AT0

 

~

 

~

 

 

11 室­®© ¯à®æ¥áá ¢¨¤ (6.15), à áᬮâ७­ë© ¢ 6.4.2. ï¥âáï ç áâ- ­ë¬ á«ãç ¥¬ (6.32) ¯à¨ = 1:

148

6.7.3. ªá¯®­¥­æ¨ «ì­ë¥ ¨¬¯ã«ìáë

®«ã稬 ¤¨áªà¥â­ãî ¬®¤¥«ì á¨áâ¥¬ë ¯à¨ ¢å®¤­®¬ ¢®§¤¥©- á⢨¨ ¢¨¤

u(t) = u(tk )e; (t;tk ) ¯à¨ tk t < tk+1 k = 0 1 2 : : : (6.34)

£¤¥ { ¯ à ¬¥âà íªáâà ¯®«ïâ®à . ª ¨ ¢ 6.6., ¯®«ã稬 ãà ¢- ­¥­¨ï à áè¨à¥­­®© á¨á⥬ë, ª®â®àë¥ ¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ ¯à¨- ­¨¬ îâ ¢¨¤

x(t) = Ax(t) + Bu(t)

x(tk ) = x[k] tk t < tk+1

(6.35)

u(t) = ; u(t)

 

 

u(tk ) = u[k]:

 

 

 

 

 

~

­ å®-

­ «®£¨ç­® 6.6., ¢ëç¨á«ïï ¬ âà¨ç­ãî íªá¯®­¥­âã eAT0

~

à áè¨à¥­­®© á¨áâ¥¬ë ¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤

¤¨¬, çâ® ¬ âà¨æ P

 

 

P 0

Q0

 

 

 

P

= 0

e; T0 Im :

 

 

à¨à ¢­¨¢ ï P = P0 Q = Q0 ¯®«ãç ¥¬ ¨áª®¬ë¥ ¬ âà¨æë ¤¨áªà¥â­®© ¬®¤¥«¨ (6.14).

6.7.4. à¥ã£®«ì­ë¥ ¨¬¯ã«ìáë

áᬮâਬ ⥯¥àì ¢å®¤­®© ¯à®æ¥áá, ¨¬¥î騩 ¢¨¤ ¯àאַ- 㣮«ì­ëå âà¥ã£®«ì­¨ª®¢ á ¢ëá®â®© u(tk) ¨ ®á­®¢ ­¨¥¬ T0 :­ ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬

 

>

u(tk ) 1

t;tk

¯à¨

tk t tk

k =0 1 2 : : :

 

<

; T0

 

 

u(t)=8

(6.36)

 

>

0 ¯à¨

tk < t kT0

 

 

£¤¥

tk := (k + )T0: ­ 祭¨ï x(tk) ¬®¦­® ¢ëç¨á«¨âì ­¥¯®-

á।á⢥­­®, ¨­â¥£à¨àãï (6.13) á ãç¥â®¬ (6.36)\ ®¤­ ª® çâ®¡ë ¨§¡¥¦ âì ®¡à 饭¨ï ¬ âà¨æë A ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ®¯¨á ­­ë¬ ¢ 6.6. ¯à¨¥¬®¬.

«ï tk t tk § ¯¨è¥¬ (6.36) ¢ ¢¨¤¥

x(t) = Ax(t) + Bu(t)

x(tk) = x[k] tk t

tk

u(t) = v(t)

u(tk) = u[k]:

(6.37)

v(t) = 0

v(tk) = ;u[k]( T0);1:

 

149

 

®áâã¯ ï ­ «®£¨ç­® ¯.¯. 6.6. 6.7.2. ¢¢¥¤¥¬ à áè¨à¥­­ë©

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¨

(n + 2m)-¬¥à­ë© ¢¥ªâ®à á®áâ®ï­¨ï x(t) = col x(t) u(t) v(t)

(n + 2m) (n + 2m)-¬ âà¨æã

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2

 

 

 

 

3 :

 

 

 

 

 

 

A

B

0n m

 

 

 

 

 

 

0m n

0m m

Im

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

4

0m n

0m m

0m m

5

 

 

 

­â¥à¨àãï à áè¨à¥­­®¥ ®¤­®à®¤­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ (6.37) ­ ¨­-

 

â¥à¢ «¥ t

2

[tk tk ], ¯®«ã稬 ¤¨áªà¥â­ãî ¬®¤¥«ì á ¬ âà¨æ¥©

 

¢¨¤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2

P

Q1

Q2

3 :

 

 

 

 

 

 

0m n

Im

Im T0

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

4

0m n

0m m

Im

5

 

 

 

âáî¤ ®¯à¥¤¥«ï¥¬ §­ 祭¨¥

 

 

 

 

 

 

 

x(tk ) = P x(tk) + Q1 u(tk) + Q2 v(tk ) = P x(tk) + Q1 u(tk)

;Q2 u(tk)( T0 );1 = P x(tk )+ + Q1

; Q2 ( T0);1 u(tk):

;

 

¡®§­ 稢 Q

 

 

Q2 ( T0);1

¯®«ã稬 ¢ëà ¦¥­¨¥

 

= Q1

¤«ï x(tk ):

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

x(tk ) =;P x(t;k) + Q u(tk):

 

 

 

 

 

«ï tk < t < tk+1 (6.36) ¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤

 

 

 

 

 

 

x(t) = Ax(t)

tk < t < tk+1

 

 

 

á«¥¤®¢ ⥫쭮, x(tk ) = P1; x(tk ):

 

 

 

 

 

 

 

¡ê¥¤¨­ïï ¯®«ã祭­ë¥ ¢ëà ¦¥­¨ï, ¯®«ã稬 à §­®áâ­®¥

 

ãà ¢­¥­¨¥ ¤«ï x[k] ¢¨¤ (6.14), £¤¥ ¬ âà¨æë

P = eAT0 Q = P1; Q :

à ¡®â¥ [76] ¯®ª § ­® ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ä®à¬ã«ë ®è¨ ¯à¨ ¯®- áâ஥­¨¨ ¤¨áªà¥â­ëå ¬®¤¥«¥© ¤«ï á¨á⥬ á ¯à®¨§¢®«ì­® § - ¤ ­­®© ä®à¬®© ¨¬¯ã«ìá . ¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ á¢®¤¨âáï ª ¢ëç¨á- «¥­¨î ¬ âà¨ç­®© íªá¯®­¥­âë eAT0 ¨ ¨­â¥£à «

R0T0 eA(T0; ) ( )d £¤¥ äã­ªæ¨ï ( ) ®¯à¥¤¥«ï¥â ¢¨¤ ¨¬¯ã«ìᮢ, ®¡à §ãîé¨å ¢å®¤­®© ¯à®æ¥áá.

6.8.®¤áâ ­®¢®ç­ë¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï ¢ëç¨á«¥­¨ï ¯¥à¥¤ - â®ç­®© ä㭪樨 ¤¨áªà¥â­®© ¬®¤¥«¨

ëè¥, ¢ 6.4.2. ¯à¨¢¥¤¥­ ä®à¬ã« (6.18), ¯®§¢®«ïîé ï ¢ëç¨- ᫨âì ¯¥à¥¤ â®ç­ãî äã­ªæ¨î ¤¨áªà¥â­®© á¨áâ¥¬ë ¯® à §­®á- â­®¬ã ãà ¢­¥­¨î (6.14), ¯®«ã祭­®¬ã ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥¬ ãà ¢- ­¥­¨© á®áâ®ï­¨ï ­¥¯à¥à뢭®© á¨á⥬ë (6.13). ᫨ ¨á室­ ï á¨á⥬ § ¤ ­ ¯¥à¥¤ â®ç­®© ä㭪樥© W(s) â® â ª®© ¯®¤å®¤

150

¯à¥¤¯®« £ ¥â ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì­®¥ ¯à¨¢¥¤¥­¨¥ W(s) ª ãà ¢­¥­¨- ï¬ á®áâ®ï­¨ï. «ï í⮣® ¬®¦­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ®¯¨á ­­ë¥ ¢ 4. ¯à®æ¥¤ãàë. ¤­ ª® ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì ¯à¨¡«¨¦¥­­®¥ à¥è¥­¨¥

§ ¤ ç¨, ¯à¨ ª®â®à®¬ ¨áª®¬ ï äã­ªæ¨ï WD(z) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï

­¥¯®á।á⢥­­®© § ¬¥­®© à£ã¬¥­â s

¢ W(s): ⨠ä®à¬ã-

«ë ®á­®¢ ­ë ­ "«¨­¥©­ëå" ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ïå ¤¥

( ), ¢

ª®â®àëå §­ 祭¨ï ¨ ­¥ ¯à¥¢®á室ïâ ¥¤¨­¨æë.

 

­ ç «¥ ¨á¯®«ì§ã¥¬ ä®à¬ã«ã (6.20). ᮮ⢥âá⢨¨ á ­¥©

¢ (6.18) á«¥¤ã¥â ¯®¤áâ ¢¨âì P = In + AT0 ¨, ª ª ®â¬¥ç¥­® ¢ ¯.

6.6. Q = BT0: âáî¤

 

¯®«ã稬

 

 

 

 

 

WD(z) = C (zIn

P );1Q = C (zIn

;

In

;

AT0);1BT0 =

= C

z ; 1

I;n

;

A ;1B:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T0

 

 

 

 

 

 

à ¢­¨¢ ï ¯®«ã祭­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ á ¨§¢¥áâ­®© ä®à¬ã«®©

W(s) = C (sIn ; A);1B ã¡¥¦¤ ¥¬áï, çâ® WD(z) ¬®¦­® ¯à¨¡«¨-

¦¥­­® ¯®«ãç¨âì ¨§ W(s) § ¬¥­®©

à£ã¬¥­â

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

WD(z) = W(s) s

= z

; 1 :

(6.38)

 

 

 

 

 

 

T0

 

 

᫨ ⥯¥àì ¯à¨¬¥­¨âì ä®à¬ã«ã ­¥ï¢­®£® ¬¥â®¤

©«¥à

(6.23), â® ­ «®£¨ç­® ¯®«ãç ¥¬

 

 

 

 

 

 

 

WD(z) = z1 W(s) s = z ; 1:

(6.39)

 

 

 

 

 

 

 

zT0

 

ª®­¥æ, ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï (6.24) ( ¤¥ (1 1 )) ¯®á«¥ ­¥á«®¦-

­ëå ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© ¯à¨¢®¤¨â ª ¯®¤áâ ­®¢ª¥ ¬¥â®¤

á⨭ :

2

 

 

 

 

WD(z) =

 

W(s) s =

2

z ; 1 :

(6.40)

z + 1

 

 

 

 

 

 

T0

z + 1

 

®ç­®áâì íâ¨å ¬¥â®¤®¢ § ¢¨á¨â ®â ᮮ⭮襭¨ï ¬¥¦¤ã ¨­-

â¥à¢ «®¬ T0 ¨ ­ ¨¬¥­ì襩 ¯®áâ®ï­­®© ¢à¥¬¥­¨ ­¥¯à¥à뢭®©

á¨á⥬ë W(s). à¨ à §ã¬­®¬ ¢ë¡®à¥ T0 â®ç­®áâì ¬®¦¥â ®ª - § âìáï ¤®áâ â®ç­® ¢ë᮪®©. ஬¥ ⮣®, ª ª ¡ã¤¥â ¯®ª § ­® ¢ ¯. 6.10. ä®à¬ã«ë (6.39) ¨ (6.40) á®åà ­ïîâ ᢮©á⢮ ãá⮩ç¨- ¢®á⨠¬®¤¥«¨ ¯à¨ «î¡®¬ ( ­¥ ⮫쪮 ¯à¨ ¤®áâ â®ç­® ¬ «®¬)

T0 > 0:

151