Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления

.pdf
Скачиваний:
54
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
2.56 Mб
Скачать

â®à¨©. 2 ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à ­ à¨á. 5.1 ¯®ª § ­ë ¯®«¥ ä §®- ¢ëå ᪮à®á⥩ ¨ ä §®¢ë© ¯®àâà¥â á¨áâ¥¬ë ¢â®à®£® ¯®à浪 . ( ®¤¥«¨à®¢ « áì à áᬮâ७­ ï ¢ [94] ­¥«¨­¥©­ ï á¨á⥬

x + 2x ; 3x + 4 sat(x) = 0 sat( ) { äã­ªæ¨ï ­ áë饭¨ï, á¬. á. 226).

¨á. 5.1. ®«¥ ä §®¢ëå ᪮à®á⥩.

5.2.2. ®áâ®ï­¨ï à ¢­®¢¥á¨ï á¨á⥬ë

¯à®áâà ­á⢥ á®áâ®ï­¨© á¨áâ¥¬ë ¬®£ãâ ¡ëâì ®á®¡ë¥ â®ç- ª¨, ¢ ª®â®àëå ¢¥ªâ®à ä §®¢®© ᪮à®á⨠®¡à é ¥âáï ¢ ­®«ì, v(x) = 0: â® ãá«®¢¨¥ íª¢¨¢ «¥­â­® ⮬ã, çâ® ¤ ­­ë¥ â®çª¨ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© á®áâ®ï­¨ï (¯®«®¦¥­¨ï) à ¢­®¢¥á¨ï á¨-

á⥬ë [12, 79]. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨ ¤«ï ­¥ª®â®à®© x0 ¢ë¯®«- ­¥­® v(x0) = 0 â® ¨¬¥¥âáï à¥è¥­¨¥ x(t) x0: ¯à ¢¥¤«¨¢® ¨ ®¡à â­®¥ ã⢥ত¥­¨¥ { ª ¦¤®¬ã à¥è¥­¨î x(t) x0 ᮮ⢥â- áâ¢ã¥â ­ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à ä §®¢®© ᪮à®á⨠¢ â®çª¥ x0: ª ®â- ¬¥ç¥­® ¢ëè¥, ä §®¢ë¥ âà ¥ªâ®à¨¨ ¢ á®áâ®ï­¨ïå à ¢­®¢¥á¨ï ¢ë஦¤ îâáï ¢ â®çª¨, ¢¥ªâ®àë ä §®¢®© ᪮à®á⨠"­¨ªã¤

­¥ ­ ¯à ¢«¥­ë" (¢ í⮬ á¬ëá«¥ â ª¨¥ â®çª¨ "®á®¡ë¥").

áᬮâਬ á®áâ®ï­¨ï à ¢­®¢¥á¨ï á¨á⥬ë (5.1). § ¨§«®-

¦¥­­®£® ïá­®, çâ® ¬­®¦¥á⢮ X0 = fx0g á®áâ®ï­¨© à ¢­®¢¥á¨ï

2 í⮬ ᢮©á⢥ ®á­®¢ ­ â ª ­ §ë¢ ¥¬ë© ¬¥â®¤ ¨§®ª«¨­, ïî- 騩áï ¯à¨¡«¨¦¥­­ë¬ £à ä® ­ «¨â¨ç¥áª¨¬ ¬¥â®¤®¬ ¯®áâ஥­¨ï ä §®¢ëå ¯®àâà¥â®¢ ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬ x = f(x) ¢â®à®£® ¯®à浪 . á¢ï§¨ á à §- ¢¨â¨¥¬ ¢ëç¨á«¨â¥«ì­ëå á।á⢠ª ­ áâ®ï饬㠢६¥­¨ ¬¥â®¤ ¨§®ª«¨­ ¯®â¥àï« á¢®¥ §­ 祭¨¥.

112

í⮩ á¨áâ¥¬ë ®¯à¥¤¥«ï¥âáï «¨­¥©­ë¬ ãà ¢­¥­¨¥¬

 

Ax0 = 0

(5.2)

£¤¥ A { n n-¬ âà¨æ , x0 { n-¬¥à­ë© ¢¥ªâ®à. ª ¨§¢¥áâ­® ¨§ «¨­¥©­®© «£¥¡àë [53, 66, 115], ãà ¢­¥­¨¥ (5.2) ¨¬¥¥â ¥¤¨­- á⢥­­®¥ âਢ¨ «ì­®¥ à¥è¥­¨¥ x0 = 0 ¢ ⮬ ¨ ⮫쪮 ⮬ á«ã-

ç ¥, ª®£¤ ¬ âà¨æ A ­¥¢ë஦¤¥­­ ï: detA =6 0: áᬮâਬ, çâ® íâ® ®§­ ç ¥â á â®çª¨ §à¥­¨ï ᢮©á⢠¤¨­ ¬¨ç¥áª®© á¨áâ¥- ¬ë. ®áª®«ìªã å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬­®£®ç«¥­ A(s), â.¥. §­ - ¬¥­ â¥«ì ¯¥à¥¤ â®ç­®© ä㭪樨 á¨áâ¥¬ë ¢ëà ¦ ¥âáï à ¢¥­- á⢮¬ A(s) = det(sIn ;A) ­ 室¨¬, çâ® A(0) an = (;1)ndetA:­ ç¨â, ᢮¡®¤­ë© ç«¥­ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ¬­®£®ç«¥­ á

â®ç­®áâìî ¤® §­ ª ᮢ¯ ¤ ¥â á ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥¬ ¬ âà¨æë A:᫨ ®­ ­¥ à ¢¥­ ­ã«î, â® ã á¨á⥬ë (5.1) ¡ã¤¥â ¥¤¨­á⢥­- ­®¥ ­ã«¥¢®¥ á®áâ®ï­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï. á«®¢¨¥ an = 0 ¢ë¯®«- ­ï¥âáï ¤«ï §¢¥­ì¥¢ ¨­â¥£à¨àãî饣® ⨯ . ¬¥­­® ¤«ï ­¨å ¢®§¬®¦­ë ­¥­ã«¥¢ë¥ á®áâ®ï­¨ï à ¢­®¢¥á¨ï. áᬮâਬ íâ® ¯®¤à®¡­¥¥.

ª ª ª ¤«ï ¢á¥å x0

2 X

0

¨¬¥¥â ¬¥áâ® à ¢¥­á⢮ Ax0 = 0

â® X

0

 

 

 

 

3

¬ âà¨æë A , X

0

= N (A):

 

ï¥âáï ­ã«ì-¯à®áâà ­á⢮¬

 

 

ª ¨§¢¥áâ­®, [53, 115], ¯à®áâà ­á⢮

N(A) ï¥âáï «¨­¥©-

­ë¬ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮¬

¯à®áâà ­áâ¢

 

X: §¬¥à­®áâì ¯à®-

áâà ­áâ¢

N (A) à ¢­

à §­®á⨠¬¥¦¤ã à §¬¥à­®áâìî ¯à®-

áâà ­áâ¢

X ¨ à ­£®¬ ¬ âà¨æë A : dimN(A) = n ; rankA: -

ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¬ âà¨æë A (в®з­¥¥, ®в ¥¥ а ­- £ ) б®бв®п­¨п а ¢­®¢¥б¨п «¨­¥©­®© б¨бв¥¬л п¢«повбп «¨¡® в®зª®© f0g, «¨¡® ¯àאַ©, ᮤ¥à¦ 饩 íâã â®çªã, «¨¡® ¯«®á- ª®áâìî, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ ­ ç «® ª®®à¤¨­ â, «¨¡® «¨­¥©­ë¬ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮¬ ¡®«¥¥ ¢ë᮪®© à §¬¥à­®áâ¨.

5.2.3. ¥ª®¬¯®§¨æ¨ï ¯à®áâà ­á⢠á®áâ®ï­¨©

ëè¥, ¢ ¯. 3.1.2. ¨á¯®«ì§®¢ «®áì ¯®­ï⨥ ¨­¢ ਠ­â­ëå ¯®¤- ¯à®áâà ­áâ¢. áᬮâਬ ¥£® ¡®«¥¥ ¯®¤à®¡­®.

¯®¬­¨¬ á«¥¤ãî騥 ¯®«®¦¥­¨ï [53, 115].¯à¥¤¥«¥­¨¥. à®áâà ­á⢮ X ï¥âáï ¯àאַ© á㬬®©

᢮¨å ¯®¤¯à®áâà ­á⢠X1 X2 : : : Xm (¨­®£¤ § ¯¨áë¢ îâ

X = X1 X2 Xm), ¥á«¨ :

3 ã«ì-¯à®áâà ­á⢮¬ ( ­­ã«¨àã¥¬ë¬ ¯à®áâà ­á⢮¬) N(A) ¬ âà¨- æë A ­ §ë¢ ¥âáï ¬­®¦¥á⢮ fxg â ª®¥, çâ® ¤«ï ¢á¥å x 2 N(A) ¢ë¯®«­¥­® Ax = 0 [53, 115]. 祢¨¤­®, çâ® ¢á¥£¤ â®çª f0g 2 N(A).

113

¤«ï ¢á类£® x 2 X

áãé¥áâ¢ã¥â à §«®¦¥­¨¥ x = x1 + x2 +

+ xm £¤¥ x1 2 X1 : : : xm 2 Xm:

 

 

íâ® à §«®¦¥­¨¥ ¥¤¨­á⢥­­®. (¤ ­­®¥ ãá«®¢¨¥ ¬®¦­®

§ ¯¨á âì ¢ íª¢¨¢ «¥­â­®© ¡®«¥¥ ¯à®á⮩ ä®à¬¥,

¨¬¥­­®:

¥á«¨ x = x1 + x2 + + xm = 0 £¤¥ x1 2 X1

: : :

x1 2 Xm â®

x1 = x2 =

= xm = 0):

2

 

 

 

 

 

§ ¥¤¨­á⢥­­®áâ¨ à §«®¦¥­¨ï á«¥¤ã¥â, çâ® ¢á直¥ ¯®¤-

¯à®áâà ­áâ¢

X1 : : : Xm ¨¬¥îâ ®¡é¨¬ «¨èì ®¤¨­ í«¥¬¥­â

f0g:

 

A ¨¬¥¥â ¢ ¯à®áâà ­á⢥ X

¨­¢ ਠ­â­ë¥

᫨ ¬ âà¨æ

¯®¤¯à®áâà ­áâ¢

X1 : : :

Xm â.¥. ¤«ï ¢á¥å x

2 Xi ¢ë¯®«­¥­®

Ax 2 Xi i = 1 2 : : : m, ¨ ¥á«¨ ¯à®áâà ­á⢮ X ¬®¦­® ¯à¥¤áâ -

¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ ¯àאַ© áã¬¬ë ¨­¢ ਠ­â­ëå ¯®¤¯à®áâà ­áâ¢, â®

­¥¢ë஦¤¥­­ë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥¬ ¬ âà¨æ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¨- ¢¥¤¥­ ª ¡«®ç­®-¤¨ £®­ «ì­®¬ã ¢¨¤ã. ¯à ¢¥¤«¨¢® ¨ ®¡à â-

­®¥ ã⢥ত¥­¨¥: ¥á«¨ ¬ âà¨æ ¨¬¥¥â ª¢ §¨¤¨ £®­ «ì­ãî (¡«®ç­®-¤¨ £®­ «ì­ãî) áâàãªâãàã, â® ¯à®áâà ­á⢮ X à §- « £ ¥âáï ­ ¯àï¬ãî á㬬㠨­¢ ਠ­â­ëå (¯® ®â­®è¥­¨î ª ¤ ­­®© ¬ âà¨æ¥) ¯®¤¯à®áâà ­áâ¢.

᫨ ­­ã«¨àãî騩 ¬­®£®ç«¥­ f (s) (á¬. 3.2.) ¬ âà¨æë A à §«®¦¨âì ¢ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¤¢ãå ¢§ ¨¬­®-¯à®áâëå ¬­®¦¨â¥-

«¥©: f (s) = f1(s)f2

(s) â® ¯à®áâà ­á⢮ X

¬®¦­® à §«®¦¨âì ¢

¯àï¬ãî á㬬㠤¢ãå ¯®¤¯à®áâà ­á⢠X =

X1 X2 ¨­¢ ਠ­â-

­ëå ®â­®á¨â¥«ì­® ¬ âà¨æë A:

 

 

᫨ ­¥ª®â®àë©

­­ã«¨àãî騩 ¬­®£®ç«¥­ f(s) ¬ âà¨æë A

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ f (s) = i=1

(s ; si)ri £¤¥ si { ¢á¥ (à §«¨ç­ë¥)

ª®à­¨ ¬­®£®ç«¥­ , ri { ¨å ªà â­®áâ¨, â® ¯à®áâà ­á⢮

à §« £ ¥âáï ­ ¯àï¬ãî á㬬ã m ¯®¤¯à®áâà ­á⢠X1 : : : XmX

¨­¢ ਠ­â­ëå ®â­®á¨â¥«ì­® ¬ âà¨æë A ¯à¨ç¥¬ í⨠¯®¤¯à®-

бва ­бв¢ п¢«повбп ­г«м-¯а®бва ­бв¢ ¬¨ ¬ ва¨жл (siI;A)ri :

ª®­¥æ, ¥á«¨

 

­­ã«¨àãî騩 ¬­®£®ç«¥­ f (s) ¬ âà¨æë A

¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥

 

 

 

 

 

m

 

q

 

 

f (s) =

Y

(s ; si)ri

Y

(s2 ; 2 j + j2 + j2)pj

 

i=1

 

j=1

 

 

£¤¥ si { ¢á¥ à §«¨ç­ë¥ ¢¥é¥á⢥­­ë¥ ª®à­¨ ¬­®£®ç«¥­ , sj j+1 = j | j { à §«¨ç­ë¥ ­¥¢¥é¥á⢥­­ë¥ ª®à­¨, â® ¯à®- áâà ­á⢮ X à §« £ ¥âáï ­ ¯àï¬ãî á㬬㠨­¢ ਠ­â­ëå

114

¯®¤¯à®áâà ­áâ¢

 

m

 

 

q

 

 

X =

X

r

 

X

c

 

k=1

Xk

k=1

Xj

:

ª®¬ã à §¡¨¥­¨î ¯à®áâà ­áâ¢

á®áâ®ï­¨© á¨á⥬ë ᮮ⢥â-

áâ¢ã¥â ¯à¨¢¥¤¥­¨¥ ¬ âà¨æë A ª ª ­®­¨ç¥áª®© ä®à¬¥ ®à¤ - ­ (2.1.3.).

áå®¤ï ¨§ ¨§«®¦¥­­®£®, ¯à®áâà ­á⢮ á®áâ®ï­¨© X á¨áâ¥- ¬ë ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ ¯àאַ© á㬬ë L ¨­¢ ਠ­â­ëå

¯®¤¯à®áâà ­á⢠XiA, â.¥. ª ¦¤ë© ¢¥ªâ®à x 2 X § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ «¨­¥©­®© ª®¬¡¨­ 樨 x = PLi=1 ixi £¤¥ xi 2 XiA i = 1 2 : : : L ([3, 53]). áᬮâਬ á¢ï§ì í⮣® à §¡¨¥­¨ï á ä §®¢ë¬¨ ¯®à- âà¥â ¬¨ á¨á⥬ë, ®¡à é ï ®á­®¢­®¥ ¢­¨¬ ­¨¥ ­ á«ãç © ¯à®- áâëå ᮡá⢥­­ëå ç¨á¥«.

᫨ ¬ âà¨æ A ¨¬¥¥â ¯®¯ à­® à §«¨ç­ë¥ ª®à­¨ å à ªâ¥-

à¨áâ¨ç¥áª®£® ¬­®£®ç«¥­ , â® ­¥âਢ¨ «ì­ë¬¨ ¢¥é¥á⢥­­ë- ¬¨ ¨­¢ ਠ­â­ë¬¨ ¯®¤¯à®áâà ­á⢠¬¨ ­ ¨¬¥­ì襩 à §¬¥à- ­®á⨠¡ã¤ãâ ᮡá⢥­­ë¥ ¯àï¬ë¥ (¤«ï ¢¥é¥á⢥­­ëå ª®à­¥©) ¨ ᮡá⢥­­ë¥ ¯«®áª®á⨠(¤«ï ¬­¨¬ëå ª®¬¯«¥ªá­®-ᮯà殮- ­­ëå ª®à­¥© å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ¬­®£®ç«¥­ ). ãáâì ­ - ç «ì­®¥ á®áâ®ï­¨¥ á¨áâ¥¬ë ¯à¨­ ¤«¥¦¨â ᮡá⢥­­®© ¯àï-

¬®© i

ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 (¯à®á⮬ã) ¢¥é¥á⢥­­®¬ã ª®à­î

si â.¥.

x0

=

i xi

£¤¥

i

2 R { ­¥ª®â®à®¥ ç¨á«®,

xi {

G

 

 

0 0

 

0

 

0

ᮡá⢥­­ë© ¢¥ªâ®à, ®â¢¥ç î騩 ᮡá⢥­­®¬ã §­ 祭¨î si:

«ï ¢¥ªâ®à

ä §®¢®© ᪮à®á⨠¢ í⮩ â®çª¥ ¬®¦­® § ¯¨á âì

v(x ) = Ax

0

= 0s x0

: ®í⮬㠢¥ªâ®à ä §®¢®© ᪮à®á⨠¡ã¤¥â

0

i i i

 

­ ¯à ¢«¥­ ¯® í⮩ ¦¥ ¯àאַ©. 4 ¨ ᮡá⢥­­ë¥ ¯àï¬ë¥ á¨-

á⥬ë ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ­¥ª®â®àë¬ ä §®¢ë¬ âà ¥ªâ®à¨ï¬. «¥- ¤®¢ ⥫쭮, ¢áï ä §®¢ ï âà ¥ªâ®à¨ï ®áâ ¥âáï ­ ¯àאַ© Gi 5 ਠ㪠§ ­­ëå ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨ïå ­¥âà㤭® ¯®«ãç¨âì ¨ ä®à¬ã«ã ¤«ï ¯à®æ¥áá x(t): ¥©á⢨⥫쭮, â ª ª ª ¢ë¯®«­¥- ­® (5.1), â® x(t) = six(t) x(0) = 0i x0i : âáî¤ ¯®«ãç ¥¬ à¥è¥- ­¨¥ x(t) = esitx(0): â® ¢ëà ¦¥­¨¥ ¬®¦­® § ¯¨á âì ¨ ¢ á«¥¤ãî-

饬 ¢¨¤¥. ¢¥¤¥¬ äã­ªæ¨î i(t) 2 R ª ª à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï

4 âண®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ í⮣® ä ªâ ¯à¨¢¥¤¥­®, ­ ¯à¨¬¥à, ¢ [12].

5 ¬¥â¨¬, çâ® ä §®¢ ï âà ¥ªâ®à¨ï ¯à¨­ ¤«¥¦¨â ᮡá⢥­­®© ¯àאַ©, ­® ­¥«ì§ï áç¨â âì, çâ® ¯àï¬ ï Gi ï¥âáï ä §®¢®© âà ¥ªâ®à¨¥©. ¥©- á⢨⥫쭮, ­ ¯àאַ© Gi «¥¦ â ¯® ªà ©­¥© ¬¥à¥ âਠ­¥¯¥à¥á¥ª î騥áï ä §®¢ë¥ âà ¥ªâ®à¨¨: ¤¢¥ ¨§ ­¨å ­ 室ïâáï ¯® à §­ë¥ áâ®à®­ë ®â ­ ç « ª®®à¤¨­ â, âà¥âìï ¥áâì â®çª f0g: ஬¥ ⮣®, ¯à¨ si = 0 ª ¦¤ ï â®çª ¯àאַ© Gi ï¥âáï ®â¤¥«ì­®© ä §®¢®© âà ¥ªâ®à¨¥©.

115

 

(t)

= s

(t)

(0)

= 0: ®£¤ x(t) =

 

(t)x0: 祢¨¤­®,

i

 

i i

 

i

i

i

i

çâ® i(t) = esit i0: ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨§®¡à ¦ îé ï â®çª ¡ã¤¥â

¤¢¨£ âìáï ¢¤®«ì ¯àאַ© Gi á ª®íää¨æ¨¥­â®¬ i(t): ¯à ¢«¥-

­¨¥ ¤¢¨¦¥­¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï §­ ª®¬ si : ¯à¨ si < 0 ¤¢¨¦¥­¨¥

¡ã¤¥â ­ ¯à ¢«¥­® ª á®áâ®ï­¨î à ¢­®¢¥á¨ï

f0g, ¯à¨ si > 0 {

®â â®çª¨ f0g,

¯à¨ si

= 0 { x(t) 6x0, ¨ ª ¦¤ ï â®çª ¯àאַ©

ï¥âáï á®áâ®ï­¨¥¬ à ¢­®¢¥á¨ï.

 

 

¡®¡é ï ¯à¨¢¥¤¥­­ë¥ à áá㦤¥­¨ï, ¯à¨¬¥¬, çâ® á¨á⥬ ®¡« ¤ ¥â k ¯à®áâ묨 ¢¥é¥á⢥­­ë¬¨ ª®à­ï¬¨. ª ®â¬¥ç¥­®

¢ëè¥, ¨¬ ®â¢¥ç ¥â k «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ᮡá⢥­­ëå ¢¥ª- â®à®¢ ¨, ᮮ⢥âá⢥­­®, k ᮡá⢥­­ëå ¯àï¬ëå [3, 53, 115]. § «¨­¥©­®á⨠á¨á⥬ë á«¥¤ã¥â, çâ® ¤¢¨¦¥­¨¥ ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì- ­ëå ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨ïå ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì, ª ª á㯥௮§¨- æ¨î ¤¢¨¦¥­¨© ¯® ᮡá⢥­­ë¬ ­ ¯à ¢«¥­¨ï¬. ®«¥¥ ¯®¤à®¡- ­®: ¥á«¨ ­ ç «ì­®¥ á®áâ®ï­¨¥ x(0) ¯à¨­ ¤«¥¦¨â ¨­¢ ਠ­â- ­®¬ã ¯®¤¯à®áâà ­áâ¢ã, ¯®à®¦¤¥­­®¬ã ᮡá⢥­­ë¬¨ ¢¥ªâ®-

à ¬¨ x01 x02 : : : x0k â® íâ® á®áâ®ï­¨¥ ¬®¦­® à §«®¦¨âì ¯® ¡ -

§¨áã, á®áâ®ï饬㠨§ ᮡá⢥­­ëå ¢¥ªâ®à®¢: x(0) = Pki=1 ix0i :

®£¤ à¥è¥­¨¥ x(t) ¨¬¥¥â ¢¨¤: x(t) = Pki=1 i (t)x0i £¤¥ i(t) =

esit 0i :

᫨ ¨¬¥îâáï ¯à®áâë¥ ¬­¨¬ë¥ ª®¬¯«¥ªá­®-ᮯà殮­­ë¥

ª®à­¨ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ¬­®£®ç«¥­ , â® ®­¨ ­¥ ®¯à¥¤¥«ï- îâ ­¨ª ª®£® ᮡá⢥­­®£® ­ ¯à ¢«¥­¨ï ¢ ¢¥é¥á⢥­­®¬ ¯à®- áâà ­á⢥. ¤­ ª® á ¯®¬®éìî ¨§«®¦¥­­®£® ¢ ¯. 3.1.2. ¯à¨¥¬ â ª¨¬ ª®à­ï¬ ¬®¦­® ¯®áâ ¢¨âì ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ᮡá⢥­­ãî ¯«®áª®áâì, ª®â®à ï â ª¦¥ ï¥âáï ¨­¢ ਠ­â­ë¬ ¯®¤¯à®- áâà ­á⢮¬ ¬ âà¨æë A: áá㦤 ï ­ «®£¨ç­® ¯à¥¤ë¤ã饬ã á«ãç î ¯à¨å®¤¨¬ ª ¢ë¢®¤ã, çâ® âà ¥ªâ®à¨ï, ­ 稭 îé ïáï ­ ᮡá⢥­­®© ¯«®áª®á⨠¡ã¤¥â ¥© ¢á¥£¤ ¯à¨­ ¤«¥¦ âì.

ª®­з в¥«м­® ¬®¦­® б¤¥« вм ¢л¢®¤, зв® ¯а¨ ®вбгвбв¢¨¨ ªа в­ле ª®а­¥© е а ªв¥а¨бв¨з¥бª®£® ¬­®£®з«¥­ д §®¢го ва ¥ªв®а¨о ¬®¦­® ¯®«гз¨вм бг¯¥а¯®§¨ж¨¥© ¤¢¨¦¥­¨© ¯® б®¡-

á⢥­­ë¬ ¯àï¬ë¬ ¨ ᮡá⢥­­ë¬ ¯«®áª®áâï¬.

«ãç © ªà â­ëå ª®à­¥© ¡®«¥¥ á«®¦¥­, â ª ª ª ¯à¨ ­¥¬ ¢®§- ¬®¦­ë á¨âã 樨, ¢ ª®â®àëå ­¥«ì§ï à §«®¦¨âì ¯à®áâà ­á⢮ ­ á㬬㠨­¢ ਠ­â­ëå ¯®¤¯à®áâà ­áâ¢ à §¬¥à­®á⨠­¥ ¡®- «¥¥ ¤¢ãå.

á«¥¤ãî饬 ¯ à £à ä¥ ¢¨¤ ä §®¢ëå âà ¥ªâ®à¨© ­ ¯«®á-

6 ¯®¬­¨¬, çâ® §¤¥áì ¬ë à áᬠâਢ ¥¬ á«ãç © ¯à®áâëå ¢¥é¥á⢥­- ­ëå ª®à­¥©.

116

ª®á⨠¡ã¤¥â à áᬮâ७ ¡®«¥¥ ¯®¤à®¡­®.

5.3.¨¤ë ä §®¢ëå ¯®àâà¥â®¢ ¤«ï á¨á⥬ ¢â®à®£® ¯®- à浪

áᬮâਬ «¨­¥©­ë¥ á¨áâ¥¬ë ¢â®à®£® ¯®à浪 , X = R2: å á®áâ®ï­¨¥ ¬®¦­® ¨§®¡à §¨âì ¢ ¢¨¤¥ â®çª¨ ­ ¯«®áª®á⨠7.

áᬮâਬ ­¥ª®â®àë¥ á«ãç ¨.

ãáâì ᮡá⢥­­ë¥ ç¨á« s1 s2 ¬ âà¨æë A ¤¥©á⢨⥫ì- ­ë ¨ ®â«¨ç­ë ®â ­ã«ï, s1 =6 s2: ®£¤ ¨¬¥îâáï ¥¤¨­á⢥­­®¥ á®áâ®ï­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï ¢ â®çª¥ f0g ¨ ¤¢¥ ­¥á®¢¯ ¤ î騥 ᮡ- á⢥­­ë¥ ¯àï¬ë¥ G1 G2: ᫨ si < 0 â® ¤¢¨¦¥­¨¥ ¨§®¡à ¦ î- 饩 â®çª¨ ¯® ¯àאַ© Gi ­ ¯à ¢«¥­® ª á®áâ®ï­¨î à ¢­®¢¥á¨ï,

¥á«¨ si > 0 { ®â í⮣® á®áâ®ï­¨ï. ਠsi = 0 ¨§®¡à ¦ îé ï â®çª ­ ¯àאַ© Gi ­¥¯®¤¢¨¦­ . ⬥⨬ â ª¦¥, çâ® â®çª , à ᯮ«®¦¥­­ ï ¬¥¦¤ã ­¥ª®â®à묨 «ãç ¬¨ ᮡá⢥­­ëå ¯àï- ¬ëå, ¢ ¯à®æ¥áᥠ¤¢¨¦¥­¨ï ¢á¥£¤ ®áâ ¥âáï ¬¥¦¤ã ­¨¬¨, â ª ª ª ¯® í⨬ «ãç ¬ ¯à®å®¤ïâ ä §®¢ë¥ âà ¥ªâ®à¨¨, à §«¨ç-

­ë¥ ä §®¢ë¥ âà ¥ªâ®à¨¨ ¯¥à¥á¥ª âìáï ­¥ ¬®£ãâ.

®«¥¥ ¤¥â «ì­®¥ ®¯¨á ­¨¥ ä §®¢®£® ¯®àâà¥â á¨áâ¥¬ë § - ¢¨á¨â ®â §­ ª®¢ s1,s2:

1. áâ®©ç¨¢ë© ã§¥«. ᫨ s1 < 0 s2 < 0 ¢á¥ ä §®¢ë¥ âà ¥ªâ®à¨¨ ­ ¯à ¢«¥­ë ª á®áâ®ï­¨î à ¢­®¢¥á¨ï { â®çª¥ f0g { ¨ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ª ­¥¬ã ¯à¨¡«¨¦ îâáï (á¬. à¨á. 5.2, ).

¨á⥬ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ãá⮩稢 . ª®© ä §®¢ë© ¯®àâà¥â ᢮©á⢥­¥­ ᮡá⢥­­ë¬ ¤¢¨¦¥­¨ï¬ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®£® §¢¥­ ¢â®à®£® ¯®à浪 , ¨¬¥î饣® ¯¥à¥¤ â®ç­ãî äã­ªæ¨î

W(s) =

K

 

(T1 > 0 T2 > 0):

(T1 s + 1)(T2s + 1)

2. ¥ãáâ®©ç¨¢ë© ã§¥«. ᫨ s1 > 0 s2 > 0 â® ª à- ⨭ ä §®¢ëå âà ¥ªâ®à¨© ⮦¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤ 㧫 , ­® ­ ¯à - ¢«¥­¨¥ ¤¢¨¦¥­¨ï ¬¥­ï¥âáï ­ ¯à®â¨¢®¯®«®¦­®¥. ª®© ⨯

7 ¥б¬®вап ­ в®, зв® ®¡лз­® ¨бб«¥¤говбп б¨бв¥¬л ¡®«¥¥ ¢лб®ª®£® ¯®- ап¤ª , ¨§гз¥­¨¥ ¤¢¨¦¥­¨© ­ ¯«®бª®бв¨ ®ª §л¢ ¥вбп ¯®«¥§­л¬. ¥©бв¢¨- в¥«м­®, ¯а¨ ¯а®бвле б®¡бв¢¥­­ле з¨б« е ¬ ва¨жл A á¨á⥬ "à ᯠ¤ - ¥âáï" ­ àï¤ ¯®¤á¨á⥬ ­¥ ¢ëè¥ ¢â®à®£® ¯®à浪 . ஬¥ ⮣®, ç áâ® ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ ­¨¨ ¬®¦­® ¯à¥­¥¡à¥çì ¬ «ë¬¨ ¯®áâ®ï­­ë¬¨ ¢à¥¬¥­¨. ®£¤ ¯®¢¥¤¥­¨¥ á¨á⥬ë á ¤®áâ â®ç­®© ¤«ï ¯à ªâ¨ª¨ â®ç­®áâìî ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨ï¬¨ ¢â®à®£® ¯®à浪 .

117

¨á. 5.2. §®¢ë¥ ¯®àâà¥âë á¨á⥬ ¢â®à®£® ¯®à浪 .

¯®¢¥¤¥­¨ï ᢮©á⢥­¥­ ­¥ãáâ®©ç¨¢ë¬ á¨á⥬ ¬. ਬ¥à { ᮡá⢥­­ë¥ ¤¢¨¦¥­¨ï §¢¥­ á ¯¥à¥¤ â®ç­®© ä㭪樥©

W(s) =

K

(T1 > 0 T2 > 0):

 

 

(T1 s ; 1)(T2s ; 1)

3. ¥¤«®.

᫨ §­ ª¨ ᮡá⢥­­ëå ç¨á¥« ¯à®â¨¢®¯®-

«®¦­ë ¬¥¦¤ã ᮡ®©, ­ ¯à¨¬¥à, s1

> 0 s2 < 0 â® ¯® ¯àאַ©

G1 ¤¢¨¦¥­¨¥ ¯à®¨á室¨â ®â á®áâ®ï­¨ï à ¢­®¢¥á¨ï, ¯® ¯àï-

¬®© G2 { ª í⮬ã á®áâ®ï­¨î (á¬. à¨á. 5.2, ¡). ¥á¬®âàï ­

â®, çâ® §¤¥áì ¨¬¥îâáï âà ¥ªâ®à¨¨, ­ ¯à ¢«¥­­ë¥ ª ­ ç «ã

ª®®à¤¨­ â ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 § âãå î騬 ¯à®æ¥áá ¬, ᥤ- «® ᢮©á⢥­­® ­¥ãáâ®©ç¨¢ë¬ á¨á⥬ ¬. ਬ¥à { §¢¥­® á ¯¥à¥¤ â®ç­®© ä㭪樥©

W(s) =

K

 

(T1 > 0 T2 > 0):

(T1 s ; 1)(T2s + 1)

4. ¤¨­ ¨§ ª®à­¥© ¨¬¥¥â ­ã«¥¢®¥ §­ 祭¨¥. ãáâì, ­ -

¯à¨¬¥à, s1 = 0 s2 6= 0: ®£¤ ¯àï¬ ï G1 ®¡à §ã¥â ¬­®¦¥á⢮ á®áâ®ï­¨© à ¢­®¢¥á¨ï á¨áâ¥¬ë ¨ ¤¢¨¦¥­¨ï ¯® ­¥© ­¥ ¯à®¨áå®- ¤¨â. §®¢ë© ¯®àâà¥â á®á⮨⠨§ ¯àï¬ëå, ¯ à ««¥«ì­ëå G1:᫨ s2 < 0 â® ¤¢¨¦¥­¨¥ ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬ ­ ¯à ¢«¥­® ¢ áâ®- à®­ã ¯àאַ© G1 ¨­ ç¥ { ¢ ¯à®â¨¢®¯®«®¦­ãî áâ®à®­ã. ª¨¥

118

¯à®æ¥ááë ᢮©á⢥­­ë ãá⮩稢®¬ã ¨ ­¥ãá⮩稢®¬ã ¨­â¥- £à¨àãî騬 §¢¥­ìï¬ á ¯¥à¥¤ â®ç­ë¬¨ äã­ªæ¨ï¬¨

W(s) =

K

¨ W(s) =

K

 

 

 

s(T2s + 1)

s(T2s ; 1)

ᮮ⢥âá⢥­­® (T1 > 0 T2 > 0).

5. ¡ ª®à­ï à ¢­ë ­ã«î. ­­ë© á«ãç © ®â¢¥ç ¥â ­ - «¨ç¨î ã á¨áâ¥¬ë ªà â­ëå ᮡá⢥­­ëå ç¨á¥«, ¨ ¢¨¤ ä §®¢®- £® ¯®àâà¥â § ¢¨á¨â ®â à §¬¥à ¦®à¤ ­®¢ëå ª«¥â®ª. ᫨ ¦®à¤ ­®¢ ä®à¬ ¬ âà¨æë A ¯à¥¤áâ ¢«¥­ ¤¢ã¬ï ª«¥âª ¬¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 (â.¥. ¬ âà¨æ ®à¤ ­ ­ã«¥¢ ï), â® ä §®-

¢л¥ ва ¥ªв®а¨¨ ¯а¥¤бв ¢«пов б®¡®© в®зª¨ ­ ¯«®бª®бв¨ ¨ ª ¦¤®¥ б®бв®п­¨¥ б¨бв¥¬л ¥бвм б®бв®п­¨¥ а ¢­®¢¥б¨п. а¨- ¬¥а®¬ в ª®© б¨бв¥¬л п¢«повбп ¤¢ ­¥§ ¢¨б¨¬ле ¬¥¦¤г б®- ¡®© ¨¤¥ «м­ле ¨­в¥£а¨агой¨е §¢¥­ . б«¨ ¦®а¤ ­®¢ ª«¥в- ª ¨¬¥¥в а §¬¥а ¤¢ , в® д §®¢л¥ ва ¥ªв®а¨¨ ¯а¥¤бв ¢«пов б®¡®© ¬­®¦¥бв¢® ¯ап¬ле, ¯ а ««¥«м­ле б®¡бв¢¥­­®© ¯ап- ¬®©. ® нв®© ¯аאַ© ¤¢¨¦¥­¨п ­¥ ¯а®¨б室¨в (®­ ®¡а §г¥в ¬­®¦¥бв¢® б®бв®п­¨© а ¢­®¢¥б¨п), ¯® а §­л¥ бв®а®­л ®в ­¥¥ ¨§®¡а ¦ ой¨¥ в®зª¨ ¤¢¨¦гвбп ¢ ¯а®в¨¢®¯®«®¦­ле ­ - ¯а ¢«¥­¨пе. ª®© е а ªв¥а д §®¢ле ва ¥ªв®а¨© б¢®©бв¢¥­

¤¢®©­®¬ã ¨­â¥£à¨àãî饬㠧¢¥­ã W(s) = Ks2 : ¬¥â¨¬, çâ®

¥á«¨ ¢ ¯¥à¢®¬ á«ãç ¥ á¨á⥬ ­¥©âà «ì­®-ãá⮩稢 , â® ¢® ¢â®à®¬ { ­¥ãá⮩稢 .

6. à â­ë¥ ­¥­ã«¥¢ë¥ ¢¥é¥á⢥­­ë¥ ª®à­¨. ᫨ ã á¨- áâ¥¬ë ¨¬¥îâáï ªà â­ë¥ ­¥­ã«¥¢ë¥ ¢¥é¥á⢥­­ë¥ ᮡá⢥­- ­ë¥ ç¨á« s1 = s2, â® â ª¦¥ ¢®§¬®¦­ë ¤¢ áãé¥á⢥­­® à §- «¨ç­ëå á«ãç ï. ᫨ ª ­®­¨ç¥áª ï ¦®à¤ ­®¢ ä®à¬ ¬ - âà¨æë á®á⮨⠨§ ¤¢ãå ª«¥â®ª ¯®à浪 ®¤¨­, â® ®¡é¥¥ à¥- 襭¨¥ ãà ¢­¥­¨ï (5.1) ¨¬¥¥â ¢¨¤ x(t) = es1t ¨ ®¯¨áë¢ ¥â á®- ¢®ªã¯­®áâì «ã祩, ¢ë室ïé¨å ¨§ ­ ç « ª®®à¤¨­ â. ਠs1 = s2 < 0 ¤¢¨¦¥­¨¥ ¯à®¨á室¨â ¢ ­ ¯à ¢«¥­¨¨ ª ­ ç «ã ª®®à¤¨­ â, ¯à¨ s1 = s2 > 0 { ¢ ¯à®â¨¢®¯®«®¦­ãî áâ®à®-

­ã. ਬ¥à®¬ á¨á⥬ë á â ª¨¬ ⨯®¬ ä §®¢ëå âà ¥ªâ®à¨© ï¥âáï á¨á⥬ , á®áâ®ïé ï ¨§ ¤¢ãå ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¨®¤¨- ç¥áª¨å §¢¥­ì¥¢ á à ¢­ë¬¨ ¯®áâ®ï­­ë¬¨ ¢à¥¬¥­¨.

᫨ ª ­®­¨ç¥áª ï ¦®à¤ ­®¢ ä®à¬ ¬ âà¨æë á®á⮨⠨§ ®¤­®© ª«¥âª¨ ¯®à浪 ¤¢ , â® ¨¬¥¥âáï ®¤­ ᮡá⢥­­ ï ¯àï- ¬ ï, ­ ª®â®à®© «¥¦ â ä §®¢ë¥ âà ¥ªâ®à¨¨ ¯à¨ ᮮ⢥âáâ¢ã- îé¨å ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨ïå ¨ ¬­®¦¥á⢮ ªà¨¢ëå, § ¯®«­ïî-

119

騥 ¯®«ã¯«®áª®áâ¨, à §¤¥«¥­­ë¥ ¤ ­­®© ¯àאַ© (à¨á. 5.2, ¢). ª®© ¢¨¤ ä §®¢®£® ¯®àâà¥â ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠á®áâ®ï­¨ï

à ¢­®¢¥á¨ï ­ §ë¢ ¥âáï ãáâ®©ç¨¢ë¬ ¢ë஦¤¥­­ë¬ 㧫®¬ {

¯à¨ s1 = s2 < 0 ¨ ­¥ãáâ®©ç¨¢ë¬ ¢ë஦¤¥­­ë¬ 㧫®¬ { ¯à¨ s1 = s2 > 0: â®â ä §®¢ëå âà ¥ªâ®à¨© å à ªâ¥à¥­ ¤«ï ¯®- á«¥¤®¢ ⥫쭮 ᮥ¤¨­¥­­ëå ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å §¢¥­ì¥¢ á ®¤¨- ­ ª®¢ë¬¨ ¯®áâ®ï­­ë¬¨ ¢à¥¬¥­¨, â.¥. á¨á⥬¥ á ¯¥à¥¤ â®ç­®© ä㭪樥©

 

K

 

K

 

W(s) =

 

¨«¨ W(s) =

 

 

 

(T > 0):

(T s + 1)2

(T s ; 1)2

áᬮâਬ ⥯¥àì á¨á⥬ã á ¬­¨¬ë¬¨ ª®¬¯«¥ªá­®-ᮯàï-

¦¥­­ë¬¨ ᮡá⢥­­ë¬¨ ç¨á« ¬¨ s1 2

= |

 

> 0: í⮬

á«ãç ¥ â ª¦¥ ¨¬¥¥âáï ¥¤¨­á⢥­­®¥ á®áâ®ï­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï ¢

â®çª¥ f0g: ¨¤ ä §®¢ëå ¯®àâà¥â®¢ § ¢¨á¨â ®â §­ 祭¨ï :

7. ®ªãá. ਠ=6 0 ¯®«ãç ¥¬ á¨á⥬㠪ਢëå, ¨¬¥- îé¨å ¢¨¤ 䨭­®-¨áª ¦¥­­ëå «®£ à¨ä¬¨ç¥áª¨å á¯¨à «¥©.ਠ< 0 ¤¢¨¦¥­¨¥ ¯à®¨á室¨â ª á®áâ®ï­¨î à ¢­®¢¥á¨ï (ãáâ®©ç¨¢ë© ä®ªãá), ¯à¨ > 0 { ®â í⮣® á®áâ®ï­¨ï (­¥- ãáâ®©ç¨¢ë© ä®ªãá) (á¬. à¨á. 5.2, ¢).

áâ®©ç¨¢ë© ä®ªãá ᢮©á⢥­¥­ ª®«¥¡ ⥫ì­ë¬ §¢¥­ìï¬ á ¯¥à¥¤ â®ç­®© ä㭪樥©

W(s) =

K

(0 < < 1 T > 0 )

 

 

T2s2 + 2 T s + 1

­¥ãáâ®©ç¨¢ë© { §¢¥­ìï¬

 

 

 

 

W(s) =

 

K

 

 

 

 

 

T2s2

; 2 T s + 1

(á ⥬¨ ¦¥ ¤¨ ¯ §®­ ¬¨ §­ 祭¨© ¯ à ¬¥â஢).

8. ¥­âà. ਠ= 0 ¯®«ãç ¥¬ á¨á⥬㠧 ¬ª­ãâëå í««¨-

¯â¨ç¥áª¨å âà ¥ªâ®à¨© á 業â஬ ¢ ­ ç «¥ ª®®à¤¨­ â. ⨬ âà ¥ªâ®à¨ï¬ ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¥ ¯à®æ¥ááë á ¯¥à¨- ®¤®¬ 2 = { ­¥§ âãå î騥 £ ମ­¨ç¥áª¨¥ ª®«¥¡ ­¨ï. à¨- ¬¥à®¬ ¬®¦¥â á«ã¦¨âì ª®­á¥à¢ ⨢­®¥ §¢¥­® á ¯¥à¥¤ â®ç­®©

ä㭪樥© W(s) = K+ 1: T 2s2

¡à ⨬áï ⥯¥àì ª å à ªâ¥à­ë¬ ®á®¡¥­­®áâï¬ ä §®¢ëå ¯®àâà¥â®¢ ­ ¯«®áª®á⨠¯à¨ ª ­®­¨ç¥áª®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨ ãà ¢­¥­¨© á®áâ®ï­¨ï. áᬮâਬ ¤¨ £®­ «ì­ãî (¢¥é¥á⢥­- ­ãî ¦®à¤ ­®¢ã) ä®à¬ã (á¬. 2.1.) ¨ ª ­®­¨ç¥áªãî ä®à¬ã ä - §®¢®© ¯¥à¥¬¥­­®© (á¬. 2.2.), ª ª ­ ¨¡®«¥¥ à á¯à®áâà ­¥­­ë¥.

120

5.3.1.§®¢ë¥ ¯®àâà¥âë ¯à¨ ¤¨ £®­ «ì­®© (¦®à¤ ­®¢®©) ä®à- ¬¥ ¬ âà¨æë A

⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ ¬ âà¨æ A ¯à¥¤áâ ¢«¥­ ¢ ᮡá⢥­­®¬

¡ §¨á¥, ¯®áâ஥­¨¥ ä §®¢ëå ¯®àâà¥â®¢ ­¥áª®«ìª® ã¯à®é ¥â- áï. ¯à¨¬¥à, ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì ¤®áâ â®ç­® ¯à®áâë¥ ä®à¬ã- «ë ¤«ï ä §®¢ëå ªà¨¢ëå. áᬮâਬ ®â¤¥«ì­® á«ãç ¨ ¢¥é¥- á⢥­­ëå ¨ ¬­¨¬ëå ᮡá⢥­­ëå ç¨á¥«.

1.¥é¥á⢥­­ë¥ à §«¨ç­ë¥ ª®à­¨. §¥« ¨ ᥤ«®. ëè¥, ¢

¯.5.3. à áᬮâ७ë å à ªâ¥à­ë¥ ¢¨¤ë ä §®¢ëå ¯®àâà¥â®¢,

¢ ⮬ ç¨á«¥ { ¨ ¯à¨ s1 s2

2 R

 

s1

= 0 s2

= 0 s1

= s2:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

6

6

â®ç­¨¬ ¢¨¤ ä §®¢ëå ªà¨¢ëå ¯à¨ ¤¨ £®­ «ì­®© ¬ âà¨æ¥

A = diagfs1 s2g

¤«ï í⮣® á«ãç ï. ª ®â¬¥ç¥­® ¢ëè¥ (á¬.

3.1.1.), ¯à¨ ¢¥é¥á⢥­­ëå à §«¨ç­ëå ª®à­ïå å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥-

᪮£® ¬­®£®ç«¥­

 

¬ âà¨æë ¥¥ ᮡá⢥­­ë¥ ¢¥ªâ®àë ­ ¯à ¢«¥-

­ë ¢¤®«ì ®à⮣®­ «ì­ëå ª®®à¤¨­ â­ëå ®á¥©.

ਬ¥¬, çâ®

x1 = e = [1 0]T

, x2 = e

 

= [0 1]T :

à ¢­¥­¨ï á®áâ®ï­¨ï (5.1)

0

1

 

 

 

0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

⮣¤

¯à¨­¨¬ îâ ¢¨¤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

dx1

= s1x1

(t) x1

(0) = x1 0

 

 

 

 

 

dt

 

(5.3)

 

8

 

 

 

 

> dx2

=

 

s2x2(t)

x2(0) = x2 0:

 

 

 

>

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

᪫îç ï ¨§:(5.3) ¢à¥¬ï (íâ® ¬®¦­® ᤥ« âì, ä®à¬ «ì­® "¯®-

¤¥«¨¢" ¢â®à®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ­ ¯¥à¢®¥ á ãç¥â®¬ s1

= 0) ¯®«ã稬

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ á à §¤¥«ïî騬¨áï ¯¥à¥¬¥­­ë-

¬¨. ਭ¨¬ ï ¢ ª ç¥á⢥ à£ã¬¥­â

x1 ¯®«ã稬 ¢ëà ¦¥­¨¥

¤«ï x2 :

 

 

 

dx2

 

s2x2

dx2

 

s2

dx1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx1

= s1x1

x2

= s1

x1

 

 

 

s2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lnjx2j = s1 lnjx1j

+ C1

®âªã¤

®ª®­ç ⥫쭮 ¯®«ãç ¥¬ ¢ëà ¦¥-

­¨¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

x2

j

= C x1

j

s1

(s1

= 0

x1

= 0):

 

(5.4)

 

 

 

 

j

 

 

6

 

 

6

 

 

ëà ¦¥­¨¥ (5.4) ®¯¨áë¢ ¥â «¨­¨¨, ­

ª®â®àëå à ᯮ«®¦¥­ë

ä §®¢ë¥ ªà¨¢ë¥ ¢ 㪠§ ­­ëå á«ãç ïå. ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨ ᮢ- ¯ ¤ îé¨å §­ ª å ᮡá⢥­­ëå ç¨á¥« í⨠ªà¨¢ë¥ ¨¬¥îâ ¢¨¤ "¯ à ¡®«", ¯à¨ à §­ëå §­ ª å { "£¨¯¥à¡®«". ¥à¢ë© ¢¨¤ ä §®¢®£® ¯®àâà¥â ᮮ⢥âáâ¢ã¥â 㧫ã (ãá⮩稢®¬ã ¨«¨ ­¥- ãá⮩稢®¬ã), ¢â®à®© { ᥤ«ã.

121