Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления

.pdf
Скачиваний:
54
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
2.56 Mб
Скачать

{ ¤«ï ¢¥é¥á⢥­­ëå ᮡá⢥­­ëå ç¨á¥« (Imsj = 0)

 

 

2

sj

1

0

0

: : :

0

0

3

 

 

 

 

 

0

sj

1

0 : : :

0

0

 

 

 

 

 

 

0

0

sj

1

: : :

0

0

 

 

 

 

 

Ji =

 

0

0

0

sj

: : :

0

0

\

 

 

(2.7)

 

 

6

.

: : :

 

 

... ... .

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

0

 

: : :

 

0

sj

1

5

 

 

 

 

 

 

0

 

: : :

 

0

0

sj

 

 

 

 

{ ¤«ï ¬­¨¬ëå ᮡá⢥­­ëå ç¨á¥« sj = j

| j

 

 

2

j

 

j

1

0

0

 

: : :

 

 

0

3

 

j

j

0

1

0

 

: : :

 

 

0

 

;0

 

0

j

j

1

0 0

: : :

0

 

Ji =

0

 

0

; j

j

0

1

0

: : :

0

:

(2.8)

4

.

 

 

...

 

...

...

;

 

.

5

 

6

0

 

 

 

: : :

 

 

0

j

j

7

 

0

 

 

 

: : :

 

 

0

 

j

j

 

«®ç­®-¤¨ £®­ «ì­ ï ä®à¬

¬ âà¨æë A ¢¨¤

(2.6) ­ §ë¢ -

¥âáï ¢¥é¥á⢥­­®© (®¡®¡é¥­­®©) ¦®à¤ ­®¢®© ¬ âà¨æ¥©. § ⥮ਨ ¬ âà¨æ (á¬. [53, 115]) ¨§¢¥áâ­ á«¥¤ãîé ï ⥮६ .

¥®à¥¬ . áïª ï ª¢ ¤à â­ ï ¬ âà¨æ ­ ¤ ¯®«¥¬ ¢¥é¥- á⢥­­ëå ç¨á¥« ¯®¤®¡­ ­¥ª®â®à®© ®¡®¡é¥­­®© ¦®à¤ ­®¢®© ¬ âà¨æ¥, ª®â®à ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ®¤­®§­ ç­® á â®ç­®áâìî ¤®

¯®à浪 à ᯮ«®¦¥­¨ï ª«¥â®ª ­

£« ¢­®© ¤¨ £®­ «¨. 2

§¬¥à ª ¦¤®© ª«¥âª¨ Ji ¢¨¤

(2.7) ¬®¦¥â ¡ëâì ®â 1 1 ¤®

lj lj à §¬¥àë ª«¥â®ª Ji ¢¨¤ (2.8) { ®â 2 2 ¤® 2lj 2lj (£¤¥ j {

ªà â­®áâì ª®à­ï sj). «¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ á«ãç ¥ ¯à®áâëå ª®à-

­¥© ª«¥âª¨, ®â¢¥ç î騥 ¢¥é¥á⢥­­ë¬ ᮡá⢥­­ë¬ ç¨á« ¬

¨¬¥îâ ¯®à冷ª ®¤¨­: Ji = si ª«¥âª¨, ®â¢¥ç î騥 ¬­¨¬ë¬

ᮡá⢥­­ë¬ ç¨á« ¬ { ¯®à冷ª ¤¢ : Ji =

i

i

; i

i : ª¨¬

®¡à §®¬, ¯à¨¢¥¤¥­­ ï ¢ ¯. 2.1.2. á. 69, ä®à¬

(2.4) á«¥¤ã¥â ¨§

(2.6) ª ª ç áâ­ë© á«ãç ©.

 

 

ãé¥á⢥­­®, çâ® à §¬¥à ª«¥â®ª ®à¤ ­ ¢ ®¡é¥¬ á«ã-

ç ¥ ­¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á ªà â­®áâìî ª®à­ï. ¤­®¬ã ¨ ⮬㠦¥

§­ 祭¨î si ¬®¦¥â ®â¢¥ç âì ­¥áª®«ìª® ª«¥â®ª à §­®£® à §-

¬¥à . ¯à¨¬¥à, ¢ëè¥, ¢ ¯.

1.8. á.

 

60, ¡ë«¨ à áᬮâ७ë

0

1

0

0

 

 

¬ âà¨æë A1 = 0

0 ¨ A2

= 0

0

ª®â®àë¥ ¨¬¥îâ ®¤¨-

­ ª®¢ë¥ ­ ¡®àë ᮡá⢥­­ëå ç¨á¥«

s1 2

= 0: ¡¥ ¬ âà¨æë

 

 

72

 

 

 

; ¤«ï ¬­¨¬ëå ᮡá⢥­­ëå ç¨á¥«
Di(s)
; ¤«ï ¢¥é¥á⢥­­ëå
ᮡá⢥­­ëå ç¨á¥«\ (2.9)
( Bi(s)) s ; si li

§ ¯¨á ­ë ¢ ª ­®­¨ç¥áª®© ¦®à¤ ­®¢®© ä®à¬¥, ­® ¬ âà¨æ A1

ᮢ¯ ¤ ¥â á ª«¥âª®© 2 2

¬ âà¨æ

A2 ᮤ¥à¦¨â ¤¢¥ ª«¥âª¨

 

 

 

J1 = J2 = 0 à §¬¥à 1 1: ª ®â¬¥ç¥­® ¢ëè¥, ¤ ­­ë¥ ¬ âà¨æë

­¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯à¥®¡à §®¢ ­ë ®¤­

ª ¤à㣮© ­¨ª ª¨¬ ­¥¢ë-

஦¤¥­­л¬ ¯а¥®¡а §®¢ ­¨¥¬, в.¥. ®­¨ ­¥ п¢«повбп ¯®¤®¡­л- ¬¨. н⮬ ¯а®п¢«п¥вбп ®¡й¥¥ б¢®©бв¢® ¬ ва¨ж, б®£« б­® ª®в®а®¬г ª ­®­¨з¥бª п д®а¬ ®а¤ ­ ®¯а¥¤¥«п¥вбп ¥¤¨­- бв¢¥­­л¬ ®¡а §®¬ б в®з­®бвмо ¤® ¯®ап¤ª б«¥¤®¢ ­¨п ª«¥в®ª [53, 115].

ëç¨á«¥­¨¥ ¯¥à¥¤ â®ç­®© ä㭪樨 á¨á⥬ë á ®¤­¨¬ ¢å®- ¤®¬ ¨ ®¤­¨¬ ¢ë室®¬, ¯à¥¤áâ ¢«¥­­®© ãà ¢­¥­¨ï¬¨ á ¬ âà¨- 楩 (2.6), ¤ ¥â á«¥¤ãî騩 १ã«ìâ â. ¥à¥¤ â®ç­ ï äã­ªæ¨ï W(s) ª ª ¨ ¤«ï á«ãç ï ¯à®áâëå ᮡá⢥­­ëå ç¨á¥«, ¨¬¥¥â ¢¨¤ (2.5), £¤¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 á« £ ¥¬ë¥ à ¢­ë

8

Wi(s) = <>

> (s2 ; 2 is + 2i + i2)li

¢ ª®â®àëå ¬­®:£®ç«¥­ë Bi(s) Dj (s) ¨¬¥îâ á⥯¥­¨ li;1 ¨ 2lj ;1 ᮮ⢥âá⢥­­®.

«£®à¨â¬ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï à §¬¥à®¢ ª«¥â®ª ®à¤ ­ ¤«ï ¬ - âà¨æ á ªà â­ë¬¨ ᮡá⢥­­ë¬¨ ç¨á« ¬¨ á¢ï§ ­ á ¢ë¯®«­¥­¨- ¥¬ á«¥¤ãîé¨å ¤¥©á⢨© [53, 115]:

{ á®áâ ¢«¥­¨¥ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®© ¬ âà¨æë sIn ; A ¨ ¯à¨¢¥¤¥­¨¥ ¥¥ ª ª ­®­¨ç¥áª®¬ã ¢¨¤ã\

{ ¢ëç¨á«¥­¨¥ í«¥¬¥­â à­ëå ¤¥«¨â¥«¥© ¬ âà¨æë sIn ;A\ { ¯®áâ஥­¨¥ ª«¥â®ª ®à¤ ­ ¯® ª ¦¤®¬ã í«¥¬¥­â à­®-

¬ã ¤¥«¨â¥«î.

â®â ¯à®æ¥áá ¤®áâ â®ç­® âà㤮¥¬®ª ¨ §¤¥áì ­¥ à áᬠâà¨- ¢ ¥âáï. ®«¥¥ ¯®¤à®¡­ë¥ ᢥ¤¥­¨ï ® ¦®à¤ ­®¢®© ä®à¬¥ á®- ¤¥à¦ âáï ¢ [53, 66, 115].

73

2.2. ¯à ¢«ï¥¬®¥ ª ­®­¨ç¥áª®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥

áᬮâਬ ¤àã£ãî ª ­®­¨ç¥áªãî ä®à¬ã { ã¯à ¢«ï¥¬®¥ ª - ­®­¨ç¥áª®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ( ) [3], ª®â®à ï ¨­®£¤ ­ §ë¢ -

¥âáï â ª¦¥ ª ­®­¨ç¥áª®© ä®à¬®© "á ®¡é¨¬ ¢ë室®¬", ª ­®­¨- ç¥áª®© ä®à¬®© ä §®¢®© ¯¥à¥¬¥­­®© [47, 102] «¨¡® ã¯à ¢«ï¥¬®© ä®à¬®© 㥭¡¥à£¥à [1, 174]. 5

¯¨è¥¬ ¬ âà¨æã A ¢ ¢¨¤¥

 

2

0

 

1

 

0

: : :

 

 

0

3

 

 

A =

0

 

0

 

1

: : :

 

 

0

 

(2.10)

.

 

 

: : :

 

: : : .

 

 

 

4

0

;

0

;

0

: : :

0

1

5

 

 

 

;

 

 

 

 

;

 

;

 

 

 

6

 

an

 

an;1

 

an;2

: : :

 

a2

a1

7

 

 

£¤¥ a1 a2 : : : an

{ ­¥ª®â®àë¥ ª®íää¨æ¨¥­âë.

6 ëç¨á«¨¬

¥¥ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬­®£®ç«¥­. ª ­¥âà㤭® ã¡¥¤¨âìáï, A(s) = sn + a1sn;1 + a2sn;2 + + an;1s +an: ª¨¬ ®¡à §®¬, ª®- íää¨æ¨¥­âë å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ¬­®£®ç«¥­ à ᯮ« £ îâáï ¢ ¯®á«¥¤­¥© áâப¥ ¬ âà¨æë A: âà¨æë â ª®£® ¢¨¤ ­ -

§ë¢ îâáï ᮯ஢®¦¤ î騬¨ ¤«ï ᢮¥£® å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ¬­®£®ç«¥­ , ¨«¨ ¬ âà¨æ ¬¨ ஡¥­¨ãá . 7 ­­л¥ ¬ ва¨жл ®¡« ¤ ов а冷¬ ¨­в¥а¥б­ле б¢®©бв¢ (б¬. [53, 115] ¨ ¯. 3.2.1. б. 84). з бв­®бв¨, ª®ндд¨ж¨¥­вл е а ªв¥а¨бв¨з¥бª®£® ¬­®£®- з«¥­ в ª¨е ¬ ва¨ж ®¯а¥¤¥«повбп ¡¥§ ¢лз¨б«¥­¨©.

âà¨æ B ¤«ï ¤ ­­®© ª ­®­¨ç¥áª®© ä®à¬ë â ª¦¥ ¨¬¥¥â á¯¥æ¨ «ì­ë© ¢¨¤. áâ ­®¢¨¬áï ­ ç áâ­®¬ á«ãç ¥ á¨á⥬ ᮠ᪠«ïà­ë¬ ¢å®¤­ë¬ ¢®§¤¥©á⢨¥¬ u(t)2R â.¥. m = 1: 8

«ï â ª¨å á¨á⥬ ¬ âà¨æ B ¨¬¥¥â à §¬¥à n 1 ¨ ¬®¦¥â à áᬠâਢ âìáï ª ª ¢¥ªâ®à-á⮫¡¥æ. ¤ ­­®© ª ­®­¨ç¥áª®© ä®à¬¥ ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮

 

B

= [0 0 1]T :

 

(2.11)

5

 

 

 

®â«¨ç¨¥ ®â ä®à¬ë ®à¤ ­ ¤«ï í⮩ ª ­®­¨ç¥áª®© ä®à¬ë ¢ «¨â¥-

à âãॠ¢áâà¥ç îâáï à §­ë¥ ­ §¢ ­¨ï.

 

 

6

ª®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ¢ë¯®«­¨¬® ­¥ ¢á¥£¤ , á¬. ¯. 3.2. á. 84.

 

7

­®£¤ ¨á¯®«ì§ãîâ ¡®«¥¥ ª®¬¯ ªâ­ãî § ¯¨áì A =

0 In;1

:

;aT

8

ë §¤¥áì ­¥ à áᬠâਢ ¥¬ ä®à¬ã ¤«ï á¨á⥬ á ¢¥ªâ®à­ë¬

¢å®¤­ë¬ ¯à®æ¥áᮬ. ¯®á«¥¤­¥¬ á«ãç ¥ ¬ âà¨æ A ¬®¦¥â ¨¬¥âì ¡®«¥¥ ®¡é¨© ¢¨¤, 祬 (2.10), á¬. [1, 3, 174]. ­ «®£¨ç­®¥ § ¬¥ç ­¨¥ ®â­®á¨âáï ¨ ª à áᬮâ७­®© ¢ á«¥¤ãî饬 ¯ à £à ä¥ ä®à¬¥ ¯à¨ ¢¥ªâ®à­®¬ ¢ë室¥.

74

«¥¤®¢ ⥫쭮, ãà ¢­¥­¨ï á®áâ®ï­¨ï á¨áâ¥¬ë ¢ ¤ ­­®© ª ­®- ­¨ç¥áª®© ä®à¬¥ ¨¬¥îâ ¢¨¤

 

x1

(t)

 

= x2

(t)

 

 

 

 

 

 

 

8 x2

(t)

 

= x3

(t)

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

(2.12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< xn;1(t) = xn(t)

 

 

 

 

 

 

 

>

xn(t)

 

= ;anx1(t) ; an;1x2(t) ; ; a1xn(t) + u(t)

 

 

 

y1(t) = c1 1x1(t) + c1 2x2

(t) + : : : c1 nxn(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

8

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

> y

(t) = c

l 1

x

(t) + c

x

(t) + : : : c x (t)

 

 

 

 

<

l

 

 

1

l 2

2

 

l n n

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¢¨¤ ª®-

£¤¥ ç¥à¥§ ci j ®¡®§­ 祭ë í«¥¬¥­âë

l n-¬ âà¨æë C

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

â®à®© ­¥ ®£®¢ ਢ ¥âáï.

¨¤­®, çâ® ¯¥à¥¬¥­­ë¥ á®áâ®ï­¨ï

á¨á⥬ë (2.12) á¢ï§ ­ë ¤àã£ á ¤à㣮¬ ª ª ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥. 9 ª ï ä®à¬ ãà ¢­¥­¨© ®¡ëç­® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¢ ¬ ⥬ ⨪¥ ¯à¨ ¯à¨¢¥¤¥­¨¨ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®£® ãà ¢­¥­¨ï

n-£® ¯®à浪 ª á¨á⥬¥ ãà ¢­¥­¨© ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , â.¥. ª â ª ­ §ë¢ ¥¬®© ­®à¬ «ì­®© ä®à¬¥ ®è¨ [66]. âàãªâãà­ ï áå¥- ¬ á¨á⥬ë á ®¤­¨¬ ¢ë室®¬, ãà ¢­¥­¨ï ª®â®à®© ¨¬¥îâ ¢¨¤ (2.12), ¯®ª § ­ ­ à¨á. 2.2.

¨á. 2.2. âàãªâãà­ ï á奬 á¨á⥬ë (2.12) (ä®à¬ ).®«ã稬 ¯¥à¥¤ â®ç­ãî äã­ªæ¨î á¨á⥬ë (2.12), áç¨â ï

¤«ï ¯à®áâ®âë § ¯¨á¨, çâ® l = 1 C = c1 c2 : : : cn

: ¥¯®á।-

 

á®áâ®ï­¨ï xj п¢«повбп

¯®á«¥¤®¢

 

9 ¬¥â¨¬, çâ® ¯¥à¥¬¥­­ë¥

⥫ì­ë¬¨

¯à®¨§¢®¤­ë¬¨ ®â ¢ë室 yi(t) ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤

¢á¥ í«¥¬¥­âë

i-© áâப¨ ¬ âà¨æë C ­ 稭 ï á ci 2 à ¢­ë ­ã«î.

 

 

 

75

 

 

 

á⢥­­®¥ ¢ëç¨á«¥­¨¥ ¯® ä®à¬ã«¥ (1.25) ¯à¨¢®¤¨â ª ¢ëà ¦¥- ­¨î

 

cnsn;1 + cn;1sn;2 +

+ c2s + c1

 

B(s)

 

 

W(s) =

 

 

=

 

:

(2.13)

sn + a1sn;1 + a2sn;2 +

+ an;1s + an

A(s)

ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ¤ ­­®© ª ­®­¨ç¥áª®© ä®à¬¥ ª ª ª®íää¨æ¨- ¥­âë §­ ¬¥­ ⥫ï A(s) â ª ¨ ª®íää¨æ¨¥­âë ç¨á«¨â¥«ï B(s) ¯¥à¥¤ â®ç­®© ä㭪樨 ­ 室ïâáï ¡¥§ ¢ëç¨á«¥­¨©. ­¨ ¯®«ã- ç îâáï ­¥¯®á।á⢥­­® ¨§ í«¥¬¥­â®¢ ¯®á«¥¤­¥© áâப¨ ¬ - âà¨æë A ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 i-¬ã ¢ë室ã áâப¨ ¬ âà¨æë :­ «®£¨ç­ë¥ ä®à¬ë ãà ¢­¥­¨© á®áâ®ï­¨ï ¬®£ãâ ¡ëâì § -

¯¨á ­ë ¨ ¤«ï á¨á⥬ á ­¥áª®«ìª¨¬¨ ¢å®¤ ¬¨, á¬. [3, 1, 174].¤® ®â¬¥â¨âì, çâ® ­¥ ¢áïªãî á¨á⥬㠬®¦­® ¯à¨¢¥á⨠¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥¬ ¯®¤®¡¨ï ª ¢¨¤ã (2.10), (2.11). á«®¢¨ï ®áã- é¥á⢨¬®á⨠⠪®£® ¯¥à¥å®¤ ®¡á㦤 îâáï ­¨¦¥, ¢ ¯.¯. 3.2.

7.2.

2.3. ¡«î¤ ¥¬®¥ ª ­®­¨ç¥áª®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥

áᬮâਬ ⥯¥àì â ª ­ §ë¢ ¥¬®¥ ­ ¡«î¤ ¥¬®¥ ª ­®­¨ç¥- ᪮¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ( ), ¨«¨ ª ­®­¨ç¥áªãî ä®à¬ã "á ®¡- 騬 ¢å®¤®¬". £à ­¨ç¨¬áï á¨á⥬ ¬¨ ᮠ᪠«ïà­ë¬ ¢ëå®-

¤®¬, y(t) 2 R

l

= 1 (â.¥. SISO- ¨ MISO-á¨á⥬ ¬¨). ãáâì

¬ âà¨æ

A ª ª ¢ ¨ ¯à¥¤ë¤ã饬 á«ãç ¥, ¨¬¥¥â ä®à¬ã ¬ âà¨-

æë ஡¥­¨ãá

(2.10), ¬ âà¨æ

B ¨¬¥¥â ¯à®¨§¢®«ì­ë© ¢¨¤,

1 n-¬ âà¨æ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C = 1 0 : : : 0

0 :

(2.14)

à ¢­¥­¨ï á®áâ®ï­¨ï ⮣¤

¯à¨­¨¬ îâ ä®à¬ã

 

x1

(t)

= x2

(t) + b1 1u1

(t) +

 

+ b1 mum(t)

 

8 x2

(t)

= x3

(t) + b2 1u1

(t) +

 

+ b2 mum(t)

 

 

 

.

 

 

 

 

 

(2.15)

> xn;1(t) = xn(t) + bn;1 1u1 (t) +

+ bn;1 mum(t)

 

< xn(t)

=

;anx1(t) ; an;1x2(t) : : : ; a1xn(t)+

 

>

 

+

bn 1u1(t) + + bn mum(t)

 

:

 

 

 

y(t) = x1(t)

 

 

£¤¥ ç¥à¥§ bi j ®¡®§­ 祭ë í«¥¬¥­âë n m-¬ âà¨æë B: âàãªâãà­ ï á奬 á¨á⥬ë á ®¤­¨¬ ¢å®¤®¬, ãà ¢­¥­¨ï ª®â®à®©

¨¬¥îâ ¢¨¤ (2.15), ¯®ª § ­ ­ à¨á. 2.3. ®íää¨æ¨¥­âë §­ ¬¥- 76

¨á. 2.3. âàãªâãà­ ï á奬 á¨á⥬ë (2.15) (ä®à¬ ).

­ ⥫ï A(s) ¯¥а¥¤ в®з­®© дг­ªж¨¨ б¨бв¥¬л (2.15) в ª¦¥ ®¯а¥- ¤¥«повбп ­¥¯®ба¥¤бв¢¥­­® ¨§ ¯®б«¥¤­¥© бва®ª¨ ¬ ва¨жл A:

¨á«¨â¥«ì B(s) ¢ëç¨á«ï¥âáï á«®¦­¥¥.

ª ¨ ãà ¢­¥­¨ï ¢¨¤ , ¬®£ãâ ¡ëâì § ¯¨á ­ë ¨ ¤«ï MIMO-á¨á⥬. ¬¥â¨¬, çâ® ­¥ ¢áïª ï á¨á⥬ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¨¢¥¤¥­ ª ¤ ­­®¬ã ¢¨¤ã (á¬. ­¨¦¥ ¯.¯. 3.2. 7.3.)

áᬮâ७­ë¥ §¤¥áì ª ­®­¨ç¥áª¨¥ ä®à¬ë ¤ «¥ª® ­¥ ¨á- ç¥à¯ë¢ î⠨ᯮ«ì§ã¥¬ëå ¢ à §­ëå ¯à¨«®¦¥­¨ïå ä®à¬ ãà ¢-

­¥­¨© á®áâ®ï­¨ï. ¯à¨¬¥à, ¯à¨¬¥­ï¥âáï â ª¦¥ ¨¤¥­â¨ä¨- ª 樮­­®¥ ª ­®­¨ç¥áª®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ( ), ¨«¨ ­ ¡«î¤ -

¥¬ ï ä®à¬

 

㥭¡¥à£¥à

[1, 3, 174], ¯à¨ ª®â®à®¬ ¬ âà¨æ A

ï¥âáï âà ­á¯®­¨à®¢ ­­®© ¬ âà¨æ¥© ஡¥­¨ãá , C =

 

 

 

 

 

0 : : : 0

1

 

: ¨¦¥, ¢ £« ¢¥ 7. á. 166, ¡ã¤ã⠯ਢ¥¤¥­ë â ª-

¦¥ ª ­®­¨ç¥áª ï ä®à¬

ã¯à ¢«ï¥¬®á⨠¨ ª ­®­¨ç¥áª ï ä®à¬

­ ¡«î¤ ¥¬®á⨠[3, 47].

 

2.4. ¤ ç¨ ¨ ã¯à ¦­¥­¨ï

1. ëç¨á«¨âì å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¥ ¬­®£®ç«¥­ë, ᮡá⢥­­ë¥

§­ 祭¨ï ¨ ᮡá⢥­­ë¥ ¢¥ªâ®àë ¬ âà¨æ

2 0

 

e 3

 

;1

1 0

5

2 0

0

13

 

0

 

3

2 5

1

4

2

4

0

5

 

4

a

b

c

5

 

0

3

2

 

0

d

0

:

 

 

 

 

77

âà¨æã

¯à¨¢¥á⨠ª ª

 

1

0

;

2

 

4

 

1

 

 

5

2

0

3

A = 2

 

12

2

1

3

­®­¨ç¥áª®© ä®à¬¥ ®à¤ ­ .

3.®ª § âì, çâ® «î¡ ï ª¢ ¤à â­ ï ¬ âà¨æ A ¯®¤®¡­ ᢮¥© âà ­á¯®­¨à®¢ ­­®© AT [3].

4.®ª § âì, çâ® ¤«ï «î¡®© ¢¥é¥á⢥­­®© n n-¬ âà¨æë

A áãé¥áâ¢ã¥â ­¥¢ë஦¤¥­­ ï ¬ âà¨æ T â ª ï, çâ® ¬ âà¨-

æA = T AT ;1 ¨¬¥¥â âà¥ã£®«ì­ãî ä®à¬ã. £« ¢­®© ¤¨ -

£®­ «¨ í⮩ ¬ âà¨æë à ᯮ«®¦¥­ë ¥¥ ᮡá⢥­­ë¥ §­ 祭¨ï s1 s2 : : : sn í«¥¬¥­âë, ­ 室ï騥áï ¯®¤ £« ¢­®© ¤¨ £®­ - «ìî, à ¢­ë ­ã«î [3].

5. ®ª § âì, çâ® ¤«ï «î¡®© ª¢ ¤à â­®© ¬ âà¨æë A ¨ «î¡®£® " > 0 ¢á¥£¤ ¨¬¥¥âáï ¢®§¬ã饭¨¥ í«¥¬¥­â®¢ ¬ âà¨æë A ­ ¢¥«¨ç¨­ã, ¬¥­ìèãî, 祬 " â ª®¥, ç⮠१ã«ìâ¨àãîé ï

¬ âà¨æ

¯®¤®¡­

¤¨ £®­ «ì­®© (2.1) [174].

6.

ãáâì ­

ᥫ¥­¨¥ áâà ­ë ¤¥«¨âáï ­ ¤¢¥ ç áâ¨: ᥫì-

᪮¥ ¨ £®à®¤áª®¥. áâ¥á⢥­­ë© ¯à¨à®áâ ­ ᥫ¥­¨ï, ¢ë§¢ ­- ­ë© ஦¤¥­¨¥¬, ¯à¥¤¯®« £ ¥¬ ®¤¨­ ª®¢ë¬ ¤«ï ®¡®¨å ᥪâ®- ஢ á ¯ à ¬¥â஬ (â ª çâ® ç¨á«¥­­®áâì ­ ᥫ¥­¨ï ¢ £®¤ k + 1 ¢ à § ®â«¨ç ¥âáï ®â ç¨á«¥­­®á⨠¢ £®¤ k). ¨á«¥­- ­®áâì ­ ᥫ¥­¨ï ¢ ᥪâ®à å ¯®¤¢¥à¦¥­ ¨§¬¥­¥­¨ï¬ ¨§-§ ¬¨-

£à 樨 ¬¥¦¤ã ­¨¬¨. ãáâì ®¯â¨¬ «ì­®¥ ª®«¨ç¥á⢮ ᥫì- ᪮£® ­ ᥫ¥­¨ï á®áâ ¢«ï¥â ç áâì ®â ¢á¥£® ­ ᥫ¥­¨ï áâà - ­ë. ®¤®¢®© ã஢¥­ì ¬¨£à 樨 ᥫì᪮£® ­ ᥫ¥­¨ï ¢ £®à®- ¤ ¯à®¯®à樮­ «¥­ ¨§¡ëâªã ¥£® ç¨á«¥­­®á⨠¯® ®â­®è¥­¨î ª ®¯â¨¬ «ì­®©. ª®à®áâì ¬¨£à 樨 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¬­®¦¨â¥«¥¬> 0: ( ।¯®« £ ¥¬ < :) ­®¦¨â¥«ì 0 < 1 § ¢¨á¨â

®в га®¢­п б¥«мбª®е®§п©бв¢¥­­®£® ¯а®¨§¢®¤бв¢ . ª § ­­л¥ ¯ а ¬¥вал ®¡лз­® ¨§¬¥­повбп ¢® ¢а¥¬¥­¨, §¤¥бм бз¨в ¥¬ ¨е ¯®бв®п­­л¬¨ [174].

¡®§­ 稬 ç¨á«¥­­®áâì ᥫìáª¨å ¨ £®à®¤áª¨å ¦¨â¥«¥© ¢ £®¤ á ­®¬¥à®¬ k ç¥à¥§ r[k] ¨ u[k] б®®в¢¥вбв¢¥­­®. ®б­®- ¢¥ гª § ­­ле ¯а¥¤¯®«®¦¥­¨© ¯®«гз ¥¬ б«¥¤гойго ¬®¤¥«м

¯à®æ¥áá ¬¨£à 樨:

;

 

 

 

 

r[k + 1] =

r[k] ;

r[k] ; (r[k] + u[k])

(2.16)

u[k + 1] = u[k] + r[k] ; (r[k] + u[k]) :

 

 

78

 

. ¯¨á âì ãà ¢­¥­¨ï (2.16) ¢ ¬ âà¨ç­®© ä®à¬¥ (1.5) ®â-

­®á¨â¥«ì­® ¢¥ªâ®à á®áâ®ï­¨ï x = colfr ug:

¡. ©â¨ ᮡá⢥­­ë¥ §­ 祭¨ï ¨ ᮡá⢥­­ë¥ ¢¥ªâ®àë ¬ - âà¨æë A á¨á⥬ë (2.16).

¢. ®ª § âì, çâ® ãá«®¢¨¥

0 min 1 ;

ï¥âáï ­¥®¡å®¤¨¬ë¬ ¨ ¤®áâ â®ç­ë¬ ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ª ª £®à®¤áª®¥, â ª ¨ ᥫì᪮¥ ­ ᥫ¥­¨¥ ¨¬¥«® ­¥®âà¨æ ⥫ì­ãî ç¨á«¥­­®áâì ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì­ëå ­¥®âà¨æ ⥫ì­ëå ­ ç «ì­ëå §­ 祭¨ïå. ®ª § âì, çâ® íâ® íª¢¨¢ «¥­â­® ãá«®¢¨î 0

2 :

7. ®¤¨ä¨æ¨à㥬 ¬®¤¥«ì ã¯à. 6, ¢¢¥¤ï ­ ᥫ¥­¨¥ ¯à¨£®- த®¢ ç¨á«¥­­®áâìî s[k] ª®â®à ï ¯®¤ç¨­¥­ ãà ¢­¥­¨î s[k + 1] = s[k] + u[k]: ç¨â ¥¬, çâ® §­ 祭¨¥ u[k] ¯®«ãç ¥âáï § áç¥â £®à®¤áª®£® ­ ᥫ¥­¨ï [174].

¯¨á âì ãà ¢­¥­¨ï âà¥åᥪâ®à­®© ¬®¤¥«¨ ­ ᥫ¥­¨ï, ­ ©- ⨠¤«ï í⮩ ¬®¤¥«¨ ᮡá⢥­­ë¥ §­ 祭¨ï ¨ ᮡá⢥­­ë¥ ¢¥ª- â®àë, ¤ âì ¨­â¥à¯à¥â æ¨î ¯®«ã祭­ë¬ १ã«ìâ â ¬.

79

3.

¡à ⨬áï ⥯¥àì ª § ¤ ç¥ ¯¥à¥å®¤ ®â ¨á室­ëå ãà ¢­¥- ­¨© á®áâ®ï­¨ï ª ãà ¢­¥­¨ï¬ ¢ § ¤ ­­®© ª ­®­¨ç¥áª®© ä®à- ¬¥. ¥è¥­¨¥ í⮩ § ¤ ç¨ á¢®¤¨âáï ª ®¯à¥¤¥«¥­¨î ­¥¢ëà®-

¦¤¥­­®© n n-¬ âà¨æë T

â ª®©, çâ® ¤«ï § ¤ ­­ëå ¬ âà¨æ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

;1

 

 

~

=

A B C ¯®«ãç îâáï ãà ¢­¥­¨ï á ¬ âà¨æ ¬¨ A = T AT

 

B

T B C

= CT

 

 

¨¬¥î騬¨ âà¥¡ã¥¬ë© ª ­®­¨ç¥áª¨© ¢¨¤.

 

 

 

~

 

;1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

¬¥â¨¬, çâ® á⮫¡æë ¬ âà¨æë T;1 ᮤ¥à¦ â ª®®à¤¨­ -

âë ­®¢ëå ¡ §¨á­ëå ¢¥ªâ®à®¢ ®â­®á¨â¥«ì­® áâ ண® ¡ §¨á

 

[3, 53, 66, 115]. â® ®§­

ç

¥â, çâ® ¥á«¨ ¢ ¯à®áâà ­á⢥

R

n

§

-

¤ ­ë ¤¢¥ á¨á⥬ë

¡ §¨á­ëå ¢¥ªâ®à®¢

2

feg = fe1 e2

 

 

eng

 

: : :

¨ ffg = ff1

f2

: : : fng â® ª ¦¤ë© ¢¥ªâ®à fi ¡ §¨á

ffg ¬®¦-

­® à §«®¦¨âì ¯® ¡ §¨áã

f

e

g

 

â.¥. ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë

fi =

 

n

 

 

i

 

 

 

 

n ¨«¨, ¢ ¬ âà¨ç­ëå ®¡®§­ ç¥-

 

j=1 pji ej

= 1 2 : : :

­¨ïå, [f1 f2

: : :

fn] = [e1

e2 : : :

en]P [e1 e2

: : :

en] =

[f1 f2 : : : fn]P

 

¨ T = P

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

;1

 

 

 

;1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

áᬮâਬ ⥯¥àì ¢®¯à®á ® ¢ëç¨á«¥­¨¨ ¬ âà¨æë ¯à¥-

®¡à §®¢ ­¨ï T

 

¯® § ¤ ­­ë¬ ¬ âà¨æ ¬ ¤ ­­®© á¨á⥬ë, § -

¯¨á ­­ë¬ ¢ à §­ëå ¡ §¨á å.

~

 

~

 

 

 

 

 

 

᫨ § ¤ ­ë n n-¬ âà¨æë

 

= T AT

;1

A ¨ A â® ¨§ ãá«®¢¨ï A

 

¬ âà¨æ

¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï T ¤®«¦­ 㤮¢«¥â¢®àïâì ¬ âà¨ç­®-

¬ã ãà ¢­¥­¨î

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

¯à¨ ãá«®¢¨¨

detT = 0:

 

 

 

 

(3.1)

 

 

T A = AT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

à ¢­¥­¨¥ (3.1) ¯à¨¢®¤¨âáï ª ®¤­®à®¤­®© á¨á⥬¥ n2 «¨­¥©- ­ле га ¢­¥­¨©. ¢¥¤¥­¨п ® бгй¥бв¢®¢ ­¨¨ ¥¥ а¥и¥­¨© б®- ¤¥а¦ вбп, ­ ¯а¨¬¥а, ¢ [53]. ª ®в¬¥з¥­® ¢ли¥, ­¥ ¢бпª¨¥ ¬ ва¨жл б ®¤¨­ ª®¢л¬ б¯¥ªв஬ п¢«повбп ¯®¤®¡­л¬¨. ®- н⮬㠭¥ ª ¦¤ п ¬ ва¨ж ¬®¦¥в ¡лвм ¯а¨¢¥¤¥­ ª § ¤ ­­®© ª ­®­¨з¥бª®© д®а¬¥. ®§¬®¦­®бвм в ª®£® ¯а¥®¡а §®¢ ­¨п ª б®®в¢¥вбв¢гой¨¬ ª ­®­¨з¥бª¨¬ д®а¬ ¬ ®¡б㦤 ¥вбп ­¨¦¥.

1 ਠ¯à¨¢¥¤¥­¨¨ ª ª ­®­¨ç¥áª®© ä®à¬¥ § ¤ ­ ¢¨¤ ®¤­®©, ¨«¨ ¤¢ãå

~

~ ~

¬ âà¨æ (­ ¯à¨¬¥à, ¬ âà¨æë A

¨«¨ ¯ àë (A B)), ®áâ «ì­ë¥ ¬ âà¨æë

­ 室ïâáï ç¥à¥§ ¬ âà¨æã T ¯ã⥬ 㪠§ ­­ëå ¯à¥®¡à §®¢ ­¨©

2 ¯®¬­¨¬, çâ® ¡ §¨á®¬ n-¬¥à­®£® «¨­¥©­®£® ¯à®áâà ­á⢠­ §ë¢ - ¥âáï («î¡ ï) 㯮à冷祭­ ï á¨á⥬ n «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¨§ í⮣® ¯à®áâà ­á⢠[3, 53].

80

3.1.८¡à §®¢ ­¨¥ ãà ¢­¥­¨© á®áâ®ï­¨ï ª ¤¨ £®­ «ì- ­®© ¨ ¡«®ç­®-¤¨ £®­ «ì­®© ä®à¬ ¬

ਠ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ ¤¨ £®­ «ì­®© (¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ { ¢¥é¥á⢥­-

­®© ¦®à¤ ­®¢®© ) ª ­®­¨ç¥áª®© ä®à¬ë ãà ¢­¥­¨© á®áâ®ï­¨ï

~

âà¨æë

~

~

á¨áâ¥¬ë § ¤ ¥âáï ⮫쪮 ¢¨¤ ¬ âà¨æë A.

B

¨ C

¯®«гз овбп з¥а¥§ ­ ©¤¥­­го "¤¨ £®­ «¨§¨агойго" ¬ ва¨-

 

 

 

~

~

;1

: ®í⮬㠭 á ¨­â¥-

æã T ¯® ä®à¬ã« ¬ B = T B

C = CT

 

à¥áã¥â § ¤ ç

®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¬ âà¨æë T â ª®©, çâ® ¢ë¯®«­¥­®

~

;1

 

~

¨¬¥¥â ¢¨¤, 㪠§ ­­ë© ¢ ¯. 2.1.

A = T AT

 

¯à¨ç¥¬ ¬ âà¨æ A

á. 67. áâ¥á⢥­­ë¬ âॡ®¢ ­¨¥¬ ï¥âáï ᮢ¯ ¤¥­¨¥ å à ª- â¥à¨áâ¨ç¥áª¨å ¬­®£®ç«¥­®¢ ¬ âà¨æ ¨ ~ ç¨â ï ¥£® ¢ë¯®«-

A A:

­¥­­ë¬, ¯®áâந¬ ¬ âà¨æã ~ § ¤ ­­®£® ª ­®­¨ç¥áª®£® ¢¨¤ ,

A

ª ª ®¯¨á ­® ¢ 2.1.. ⥬ ¬ âà¨æ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï T ¢ëç¨- á«ï¥âáï ¨§ ãà ¢­¥­¨ï (3.1) «¨¡® ¨áå®¤ï ¨§ 㪠§ ­­®£® ᢮©- á⢠¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¡ §¨á­ëå ¢¥ªâ®à®¢. â®ç­¨¬ ¯à¨¬¥­¥-

­¨¥ ¤ ­­®© á奬ë à¥è¥­¨ï ¤«ï á«ãç ï ¯à®áâëå ᮡá⢥­­ëå ç¨á¥« ¬ âà¨æë A: áᬮâਬ ¢­ ç «¥ á¨á⥬ã, ¤«ï ª®â®à®© ¢á¥ ᮡá⢥­­ë¥ ç¨á« si ¬ âà¨æë A ¯à®áâë¥ ¨ ¢¥é¥á⢥­­ë¥.

3.1.1. à®áâë¥ ¢¥é¥á⢥­­ë¥ ᮡá⢥­­ë¥ ç¨á«

а¨ а¥и¥­¨¨ нв®© § ¤ з¨ ®¡лз­® ¨б¯®«м§говбп б®¡бв¢¥­- ­л¥ ¢¥ªв®ал ¬ ва¨ж. ¯®¬­¨¬, зв® á®¡á⢥­­ë¬ ¢¥ªâ®à®¬

­¥ª®â®à®© n n âà¨æë A ®â¢¥ç î騬 ᮡá⢥­­®¬ã §­ ç¥- ­¨î si ­ §ë¢ ¥âáï â ª®© ¢¥ªâ®à x0i 6= 0 ¤«ï ª®â®à®£® ¢ë¯®«- ­¥­® à ¢¥­á⢮ [53, 115]

Ax0

= s

x0

:

(3.2)

i

i

i

 

 

ª¨¬ ®¡à §®¬, ᮡá⢥­­ë© ¢¥ªâ®à { íâ® ­¥­ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à, ª®â®àë© ¯à¨ «¨­¥©­®¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¨ á ¬ âà¨æ¥© A ®бв - ¥вбп ª®««¨­¥ а­л¬ б ¬®¬г б¥¡¥. з¥¢¨¤­®, зв® б®¡бв¢¥­­л¥ ¢¥ªв®ал ®¯а¥¤¥«повбп б в®з­®бвмо ¤® ¯а®¨§¢®«м­®£® ­¥­г- «¥¢®£® ¬­®¦¨в¥«п, в.¥. ¥б«¨ x0i { ᮡá⢥­­ë© ¢¥ªâ®à ¨ 6= 0 â® x0i â ª¦¥ ï¥âáï ᮡá⢥­­ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ ¬ âà¨æë A: ®- í⮬㠪 ¦¤ë© ¢¥é¥á⢥­­ë© ᮡá⢥­­ë© ¢¥ªâ®à ®¯à¥¤¥«ï¥â ­¥ª®â®à®¥ ᮡá⢥­­®¥ ­ ¯à ¢«¥­¨¥, ¨«¨ ᮡá⢥­­ãî ¯àï¬ãî

¢ ¯à®áâà ­á⢥ Rn. 3

3¥âà㤭® § ¬¥â¨âì, çâ® ¬­¨¬ë¬ ᮡá⢥­­ë¬ ç¨á« ¬ ¬ âà¨æë A

ᢥé¥á⢥­­ë¬¨ í«¥¬¥­â ¬¨ ®â¢¥ç îâ ᮡá⢥­­ë¥ ¢¥ªâ®àë, ¨¬¥î騥

81