Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

MATLAB для дискретных САУ

.pdf
Скачиваний:
126
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
899.82 Кб
Скачать

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я И Н А У К И РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И

В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т

MATLAB д л я д искр етн ы х систем упр авл ен ия

У чебно-метод и ческоепособи епо специ альности «При клад наяматемати ка и и нформати ка» 010200

Воронеж

2005

2

У тв ерж д ено научно-метод и чески м сов етом протокол№ 1 от22 сентября2005 г. факультета ПМ М

Состав и тель К ры ж анов скаяЮ .А .

У чебно-метод и ческое пособи е

под готов лено на

кафед ре

техни ческой

ки бернети ки

и ав томати ческого регули ров ани я

факультета

при клад ной

математи ки ,

и нформати ки и

механи ки В оронеж ского госуд арств енного

уни в ерси тета.

Рекоменд уетсяд лястуд ентов 4 курса д /о факультета При клад ной математи ки , и нформати ки и механи ки .

3

Д анное учебно-метод и ческое пособи е сод ерж и т св ед ени я по и спользов ани ю

си стемы MATLAB д ля мод ели ров ани я д и скретны х

си стем ав томати ческого

управ лени я. М

атери ал

основ ы в ается на

MATLAB

в ерси и

 

6.5. Пособи е

разд елено на несколько частей ,

посв ящ енны х в озмож ностям преобразов ани я

непреры в ны х

си стем в

д и скретную

форму,

и сслед ов ани ю

 

устой чи в ости ,

получени ю

частотной

характери сти ки ,

и спользов ани ю

в озмож ностей

д ля

мод ели ров ани я Simulink. К роме того,

при в од ятся при меры

и

зад ани я д ля

и нд и в и д уального

в ы полнени я.

М атери алы

опробов аны

при

пров ед ени и

лабораторны х заняти й . Пособи е пред назначено студ ентам 4

курса д нев ного

отд елени я,

и зучаю щ и м

спецкурс «Д и скретны е си стемы

управ лени я»

и

д и сци пли ну

 

«Т еори я

ав томати ческого

управ лени я» ,

и

 

мож ет

бы ть

и спользов ано д алеепри

и зучени и д и сци пли н специ али заци и .

При

под готов ке

матери алов

бы ли

и спользов аны

ли тературны е и Internet-и сточни ки

[1-5]. При

и зучени и матери алов рекоменд уетсяи спользов ать и сточни ки [6-8]. Д ляначала работы требуется в лад ени е матери алом в рамках курса «Т еори я ав томати ческого управлени я» .

С од ер ж ан ие

Введ ен ие

… …

 

… … … … …

 

 

..3

П р еобр азован ие н епр ер ы вн ы х

систем в д искр етн ы е

4

И спользов ани еc2d …

 

 

 

..…

4

И спользов ани еc2dm …

… … … … … … … … … … … ..…

8

Устойчивостьи пер ех од н ая х ар актер истика

..…

..10

Discrete Root-Locus

… …

 

 

..…

12

Ltiview ..… … … … … … … … … …

 

 

..…

 

13

Частотн ая х ар актер истика

 

 

..…

..14

Simulink

… …

 

..…

 

14

Блоки Discrete …

 

 

 

.…

...17

М етод ци фров ого переоборуд ов ани янепреры в ного регулятора в сред е

 

 

MATLAB/SIMULINK

 

 

..20

Зад ан ия

.…

 

 

 

.25

Литер атур а

.…

 

 

26

Введ ен ие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сов ременны е программы

чи сленного мод ели ров ани я си стем

и

процессов

станов ятся в се более ав томати зи ров анны ми ,

облегчая пользов ателю

процесс

постанов ки и реш ени яш и рокого класса слож ны х зад ач. Е щ ебольш и й э ффект

д аю т в озмож ности

качеств енного в и зуального

пред став лени я результатов .

Сред и таки х программ, безуслов но, од но

и з

ли д и рую щ и х

мест зани мает

си стема Matlab+Simulink, на основ екоторой

разработано больш оеколи честв о

професси ональны х

при лож ени й д ля конкретны х областей

при менени я. В

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

д анном пособи и

буд ут рассмотрены

в озмож ности

мод ели ров ани я д и скретны х

си стем управ лени яспомощ ью си стемы Matlab+Simulink.

 

 

 

Т еори я д и скретны х си стем яв ляется од ни м и з в аж ны х направ лени й

разв и ти я

теори и

и

практи ки

ав томати ческого управ лени я.

Практи чески ни

од на и з

сов ременны х си стем управ лени я летательны ми

аппаратами ,

косми чески ми

объектами ,

суд ами ,

технологи чески ми

процессами , роботами

и

т.д . не

обход и тся без

и спользов ани я в

контуре управ лени я бортов ы х

ци фров ы х

в ы чи сли тельны х

маш и н, что д елает э ти

си стемы

д и скретны ми

и

требует

особого

под ход а

к анали зу

и

си нтезу

под обны х си стем.

 

Си стему

ав томати ческого управ лени я буд ем назы в ать

д и скретной ,

если

 

в ы ход ная

в ели чи на какого-ли бо ееэ лементаи меетд и скретны й характер.

 

 

 

П р еобр азован ие н епр ер ы вн ы х

систем в д искр етн ы е

 

 

 

Испол ьзован ие c2d

В Matlab сущ еств ует функци я c2d, отв ечаю щ ая за преобразов ани е зад анной

непреры в ной

си стемы

в д и скретную си стему. В качеств емод елей могутбы ть

указаны

TF,

SS, и ли

ZPK-мод ели . Ф ункци я d2c

осущ еств ляет обратное

преобразов ани е. К оманд а под д ерж и в ает несколько

метод ов д и скрети заци и ,

в клю чая

э кстраполятор нулев ого поряд ка (ZOH),

э кстраполятор перв ого

поряд ка (FOH), при бли ж ени е Т асти на, а такж е при бли ж ени е с соотв етств и ем

нулей и полю сов .

 

Си нтакси с

 

·

Sysd = c2d (sysc, Ts);

% Ts = пери од в ы борки

·Sysc = d2c (sysd);

В таком в и д екоманд а в ы полняетZOH преобразов ани епо умолчани ю . Ч тобы и спользов ать альтернати в ны е конв ерси онны е схемы , след ует опред ели ть ж елаелмы й метод какд ополни тельны й параметр:

·Sysd = c2d (sysc, Ts, 'foh'); % э кстраполяторперв ого поряд ка

·

Sysc = d2c (sysd, 'tustin'); % при бли ж ени еТ асти на

 

Э кст ра по л я т о рнул ево го по ря дка

 

Д и скрети заци ясэ кстраполятором нулев ого поряд ка

непреры в ной LTI -

мод ели

И зображ ена на след ую щ ей блок-схеме.

 

ZOH-устрой ств о генери рует непреры в ны й в ход ной си гнал u(t), под д ерж и в ая каж д ую в ели чи ну u [k] постоянной в течени еод ного пери од а:

 

 

 

5

 

Си гнал

под аетсянепреры в ной си стеме

, получаю щ и й сяв ы ход

отби раетсякаж д ы е секунд , д ляполучени я

.

Н аоборот,

д ля д анной

д и скретной

си стемы

, преобразов ани е d2c

построи т непреры в ную

си стему

, чья ZOH-д и скрети заци я сов пад ает с

. Э то обратноед ей ств и еи меетслед ую щ и еограни чени я:

·d2c немож етработать сLTI-мод елями сполю сами в ;

·отри цательны ев ещ еств енны еполю са в области отображ аю тсяпарой

комплексны х полю сов в области

.

В результате преобразов ани е d2c

д и скретной си стемы с отри цательны ми

в ещ еств енны ми полю сами построи т

непреры в ную си стему сболеев ы соки м поряд ком.

След ую щ и й при мери ллю стри руетсв ой ств о d2c среальны ми отри цательны ми полю сами . Рассмотри м мод ель ZPK.

>>Hd = zpk ([], -0.5,1,0.1) Zero/pole/gain:

1

-------

(Z+0.5)

Пери од кв антов ани я: 0.1

При мени м d2c д ляпреобразов ани яэ той мод ели в непреры в ную :

>>Hc = d2c (hd)

В результатеполучи м мод ель в торого поряд ка.

 

Zero/pole/gain:

 

 

4.621 (s+149.3)

 

 

---------------------

 

 

(S^2 + 13.86s + 1035)

 

Е сли снов а пров ести д и скрети заци ю :

>>

C2d (hc, 0.1)

 

Получи тся ори ги нальная

д и скретная си стема (с сокращ аемой парой

полю с/нуль в z =-0.5):

 

 

Zero/pole/gain:

 

 

(Z+0.5)

 

 

---------

 

 

(Z+0.5) ^2

 

 

Пери од кв антов ани я: 0.1

 

Э кст ра по л я т о рперво го

по ря дка

 

FOH отли чается от ZOH механи змом э кстраполяци и . Д ля перев од а в ход ной

послед ов ательности

в непреры в ны й в ход

FOH и спользует

ли ней ную и нтерполяци ю :

 

6

Э тот метод яв ляется более точны м, чем ZOH, д ля си стем,

управ ляемы х

глад ки ми вход ами . Э таопци япри мени ма только д ляc2d – преобразов ани я.

П рео б ра зо ва ние Та ст ина

 

Преобразов ани е Т асти на и ли би ли ней ное преобразов ани е

опи сы в ается

формулой :

 

и и спользуется д ля соотнесени я перед аточны х функци й в

областях z и s. В

преобразов ани и c2d д и скрети заци я

непреры в ной

функци и

получается:

 

 

А налоги чно преобразов ани еd2c полагаетсянаобратноесоотв етств и е

Со гл а со ва нные по л юса инул и

М етод согласов ани яполю сов и нулей при меняетсятолько кSISO-си стемам. В э том случае полю са и нули непреры в ны х и д и скрети зи ров анны х си стем св язаны преобразовани ем:

Изменение времениква нт о ва ния

М ож но и змени ть в ремякв антов ани яTF, SS, и ли ZPK-мод ели sys1, и спользуя

команд у:

Sys2 = d2d (sys1, Ts)

Н ов ы й пери од кв антов ани яTs нед олж енбы ть кратны м пред ы д ущ ему.

Реакци ю

на ед и ни чны й скачокд ляси стем сразли чны м пери од ом кв антов ани я

мож нополучи ть след ую щ и м образом:

>>h1 = tf([1 0.4],[1 -0.7],0.1);

>>h2 = d2d(h1,0.25);

>>step(h1, '--', h2, '--')

Дискрет иза ция сист ем с за па здыва нием

В ы мож ететакж еи спользов ать c2d д ляд и скрети заци и непреры вны х SISO и ли MIMO мод елей с запазд ы в ани ем (Ts – в ремя в ы борки , и спользов анное д ля

д и скрети заци и ):

 

 

 

·

Зад ерж ка tau

секунд в

непреры в ной

мод ели отображ ена кзад ерж ке k

тактов в д и скрети зи ров анной мод ели , гд еk = fix(tau/Ts).

·

О статочная

зад ерж ка

tau - k*Ts

поглощ ается коэ ффи ци ентами

д и скрети зи ров анной

мод ели (только д ляметод ов сэ кстраполяци ей нулев ого и

перв ого поряд ков ).

 

 

 

7

Н апри мер,

чтобы

д и скрети зи ров ать

перед аточную

функци ю

си спользов ани ем э кстраполяци и нулев ого поряд ка и и нтенси в ности замеров 10 Герц, след уетв ы полни ть:

>>h = tf (10 [, 1 3 10], 'inputdelay', 0.25);

>>hd = c2d (рука, 0.1)

Э то позв оли тполучи ть д и скретную перед аточную функци ю

Transfer function:

 

0.01187 z^2 + 0.06408 z + 0.009721

 

 

z^(-2) * ----------------------------------

 

 

 

z^3 - 1.655 z^2 + 0.7408 z

 

 

 

Sampling time: 0.1

 

 

 

 

Зд есь в ход ная зад ерж ка в

в 2.5 превы ш ает пери од

кв антов ани я в 0.1

секунд ы . Соответств енно д и скрети зи ров анная мод ель hd

наслед ует в ход ную

зад ерж ку в

д в а пери од а

кв антов ани я, что

под тв ерж д ается значени ем

hd.inputdelay.

О статочная зад ерж ка размером

в полупери од

разд елена в

коэ ффи ци ентах hd алгори тмом д и скрети заци и .

 

 

 

Реакци и на скачокнепреры в ны х и д и скрети зи ров анны х мод елей

срав ни в аю тся

команд ой :

 

 

 

 

 

>> step (h, '--', hd, '--')

Графи кпри в ед енни ж е:

След уетотмети ть, что преобразов ани еТ асти на и метод согласов ани яполю сов и нулей точны только д ля зад ерж ек, которы е кратны пери од у кв антов ани я.

8

Поэ тому д ля мод елей с зад ерж ками пред почти тельно и спользов ать zoh и foh метод ы д и скрети заци и .

Испол ьзован ие c2dm

Д ляпостроени яд и скретной мод ели зад аннной (в пространств еси стояни й и ли в форме перед аточной функци и ) си стемы мож но такж е и спользов ать команд у c2dm, запи санную од ни м и з след ую щ и х способов :

[numDz,denDz] = c2dm (num,den,Ts,'zoh') [F,G,H,J] = c2dm (A,B,C,D,Ts,'zoh')

В ремяTs д олж но бы ть меньш е1/(30*BW), гд еBW – полоса частотзамкнутой си стемы .

П ереда т о чна я ф ункция

Пусть есть непреры в наяперед аточнаяфункци я

M = 1 kg

b = 10 N.s/m k = 20 N/m F(s) = 1

При няв BW> 1 рад и ан/сек, в ы берем Ts= 1/100 сек. Т еперь созд ад и м новы й m- file, в которы й запи ш ем след ую щ и екоманд ы :

M=1;

b=10;

k=20;

num=[1]; den=[M b k]; Ts=1/100;

[numDz,denDz]=c2dm(num,den,Ts,'zoh')

Запусти в э тот m-file

в команд ном окне, получи м след ую щ и е матри цы д ля

чи сли теляи знаменателяд и скретной перед аточной функци и :

numDz =

 

 

1.0e-04 *

0.4837

0.4678

0

denDz =

-1.9029

0.9048

1.0000

И сход яи з ви д а э ти х матри ц, мож но запи сать перед аточную функци ю :

Зам ечан ие: матри цы чи сли теля и знаменателя буд ут пред став лены по убы в ани ю степеней z.

Т аки м образом бы ла получена перед аточнаяфункци яв д и скретной форме.

П ро ст ра нст во со ст о я ний

Пусть есть след ую щ аямод ель в пространств есостояни й :

9

В секонстанты теж е, что и раньш е.

При в ед енны й ни ж еm-file преобразов ы в аетнепреры в ную мод ель в д и скретную :

M=1;

b=10;

k=20;

A=[0

1;

-k/M

-b/M];

B=[ 0;

 

1/M];

 

C=[1 0];

D=[0];

Ts=1/100;

[F,G,H,J] = c2dm (A,B,C,D,Ts,'zoh')

Запускэ того m-file в команд ном окнеMatlab при в ед еткполучени ю след ую щ и х матри ц:

F =

0.9990

0.0095

-0.1903

0.9039

G =

0.0000

0.0095

H =

1 0

J =

0

И сход яи з ви д а матри ц, мож но получи ть д и скретную форму мод ели :

10

Т аки м образом, получена д и скретнаямод ель в формепространств а состояни й .

Устойчивостьи пер ех од н ая х ар актер истика

Д лянепреры в ны х си стем пов ед ени еопред еляетсярасполож ени ем полю сов на s-плоскости . Н апри мер, си стема неустой чи в а, если полю са располож ены в прав ой полуплоскости . Пов ед ени е д и скретны х си стем мож но анали зи ров ать, и сход яи з располож ени яполю сов на плоскости z. Х арактери сти ки плоскости z

могут бы ть соотнесены с характери сти ками

плоскости s в

соотв етств и и

с

в ы раж ени ем:

 

 

 

T = в ремяв ы борки

 

 

 

s = место наплоскости s

 

 

 

z = место на плоскости z

 

 

 

О тмети тм, что мни мая ось (грани ца области

устой чи в ости

на плоскости

s)

переход и тв окруж ность ед и ни чноо рад и уса (грани ца области устой чи в ости на плоскости z) |z|=1. Си стема буд ет устой чи в ой , если в сеполю са располож ены в нутри ед и ни чной окруж ности , и неустой чи вой , если хотя бы од и н полю с располож енв неее.

Д ля анали за переход ной характери сти ки при меняю тся те ж е три урав нени я, которы еи спользую тсяи д лянепреры в ны х си стем:

,

гд е

zeta = скорость затухани я

Wn = собств еннаячастота (рад и ан/сек) Ts = в ремястаби ли заци и

Tr = в ремянарастани я

Mp = макси мальноеперерегули ров ани е