Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления
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®¤å®¤ ª á¨â¥§ã á¨á⥬ ã¯à ¢«¥¨ï ®á®¢¥ ¯®áâ㫨- ஢ ¨ï ¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¬®¤¥«¥© ¤«ï ®â¤¥«ìëå ¯®¤á¨á⥬ ¨
ᨣ «®¢ ¢ áâ®ï饥 ¢à¥¬ï 襫 è¨à®ª®¥ ¯à¨¬¥¥¨¥ ¨
§ë¢ ¥âáï "¯à¨æ¨¯®¬ ¢ãâà¥¨å ¬®¤¥«¥©" ("internal model principle"). «ï ¯®áâ஥¨ï íä䥪⨢ëå «£®à¨â¬®¢ ¯à®¥ª- â¨à®¢ ¨ï, ®æ¥¨¢ ¨ï, ã¯à ¢«¥¨ï á¨á⥬ ¬¨ ¬®¤¥«¨ ¢ ¢¨¤¥ ãà ¢¥¨© á®áâ®ï¨ï ¬®£ãâ § ¤ ¢ âìáï ¥ ⮫쪮 ¤«ï ¢®§¬ã-
é îé¨å ¢®§¤¥©á⢨©, ® ¨ ¤«ï ¯®¬¥å ¨§¬¥à¥¨©, ª®¬ ¤ëå ᨣ «®¢ ("íâ «®ë¥ ¬®¤¥«¨"), ¤¨ ¬¨ª¨ ¨§¬¥¥¨ï ¯ à - ¬¥â஢ ®¡ê¥ªâ ¨ â.¤. 9
®áâ â®ç® ¯à®áâ® ¯à®æ¥¤ãà á¨â¥§ ¢ë£«ï¤¨â, ¥á«¨ ¢¥è- ¨¥ ¯à®æ¥ááë ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ª ª ª¢ §¨¬®£®ç«¥ë { ¢ë-
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Pi(t) - ¬®£®з«¥л б § ¤ л¬¨ ª®ндд¨ж¨¥в ¬¨. о¤ ®в- ®бпвбп бв¥¯¥л¥ дгªж¨¨, £ ମ¨ª¨ б § ¤ ®© з бв®в®©,
нªб¯®¥вл б § ¤ л¬ ¯®ª § в¥«¥¬ § вге ¨п, ¯а®¨§¢¥¤¥¨п £ ମ¨ª нªб¯®¥вл ¨ «¨¥©л¥ ª®¬¡¨ ж¨¨ нв¨е дгª- ж¨©. ®¤¥«п¬¨ ¨бв®з¨ª®¢ в ª¨е ¯а®ж¥бб®¢ п¢«повбп «¨¥©- л¥ ¤¨дд¥а¥ж¨ «мл¥ га ¢¥¨п б ¯®бв®пл¬¨ ª®ндд¨ж¨- ¥в ¬¨. бᬮва¨¬ ¯а®ж¥¤гаг ®ж¥¨¢ ¨п ¤«п нв®£® б«гз п
7 «ãç © ¥¨§¢¥áâëå ¯ à ¬¥â஢ ¬®¤¥«¨ á।ë à áᬠâਢ ¥âáï ¢ à ¬ª å ⥮ਨ ¤ ¯â¨¢®£® ®æ¥¨¢ ¨ï (á¬. £« ¢ã 12 ¨ [93, 76, 103, 106]).
8 áâ¥á⢥®, âॡã¥âáï ¯®« ï ¡«î¤ ¥¬®áâì à áè¨à¥®© á¨á⥬ë.
9 ««îáâà 権 ¯à¨¬¥¥¨ï í⮣® ¯à¨æ¨¯ ¬®¦¥â á«ã¦¨âì ¨ «£®- à¨â¬ ¯¥à¥å®¤ ª ¤¨áªà¥â®© ¬®¤¥«¨, ®¯¨á ë© ¢ 6.6.
193
¡®«¥¥ ¯®¤à®¡®.
ãáâì ¢¥è¨¥ ¢®§¤¥©á⢨ï f(t) v(t) ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ ¢ë室ëå ¯à®æ¥áᮢ «¨¥©®© á¨á⥬ë, § ¤ ®© ãà ¢-
¥¨ï¬¨
xs(t) = As(t)xs(t) |
ys(t) = Csxs(t) xs(t0 ) = xs0 |
t |
t0: (8.15) |
||
¤¥áì xs(t) 2 Rns |
{ ¢¥ªâ®à á®áâ®ï¨ï "á।ë", |
ys(t) 2 Rn+l |
|||
- ¢ë室 ¬®¤¥«¨ |
¨áâ®ç¨ª |
¢®§¬ã饨© { ¢¥ªâ®à |
¢¥è¨å |
||
|
|
|
|
|
|
¯® ®â®è¥¨î ª ®¡ê¥ªâã ¢®§¤¥©á⢨©\ ys(t) = colff (t) v(t)g |
|||||
|
|
|
Cf |
|
|
As Cs { ¨§¢¥áâë¥ ¬ âà¨æë, Cs = Cv \ Cf Cv |
{ ¯®¤¬ - |
||||
âà¨æë à §¬¥à®¢ n ns |
l ns |
®¯à¥¤¥«ïî騥 á¢ï§ì ¬¥¦¤ã á®- |
áâ®ï¨¥¬ xs(t) ¬®¤¥«¨ ¢¥è¨å ¢®§¤¥©á⢨© ¨ ¢®§¬ã饨ﬨ
f(t) ¯®¬¥å ¬¨ v(t) ¢ (8.1). ç «ì®¥ á®áâ®ï¨¥ xs0 á¨áâ¥- ¬ë (8.15), ª ª ¨ (8.1), áç¨â ¥âáï ¥¨§¢¥áâë¬. ¢¥¤¥¬ à á- è¨à¥ë© ("ᮢ®ªã¯ë©") ¢¥ªâ®à á®áâ®ï¨ï ®¡ê¥ªâ ¨ á।ë
|
xs(t)) 2 Rn+ns : ¡ê¥¤¨ïï ãà ¢¥¨ï (8.1), (8.15), |
|||||
x(t) = (x(t) |
||||||
¯®«ã稬 ãà ¢¥¨ï à áè¨à¥®© á¨áâ¥¬ë ¢ ¢¨¤¥ |
||||||
|
|
|
|
|
x(t0) = x0 t t0 (8.16) |
|
x(t) = Ax(t) + Bu(t) |
y(t) = Cx(t) |
|||||
¢ ª®â®àëå ¬ âà¨æë |
|
|
|
¨¬¥ов б«¥¤гойго ¡«®зго |
||
A |
B |
C |
||||
áâàãªâãàã: |
|
|
|
|
|
|
|
A |
Cf |
|
|
B |
|
A = |
0ns n As |
B |
= |
0ns m |
C = [C Cv]: |
|
áè¨à¥ ï á¨á⥬ |
(8.16) à áᬠâਢ ¥âáï ª ª ¥ª®â®àë© |
®¢ë© ®¡ê¥ªâ ¯®à浪 n = n + ns ¤«ï ª®â®à®£® áâநâáï - ¡«î¤ ⥫ì (8.3).
ந««îáâà¨à㥬 ¨§«®¦¥®¥ ¯à¨¬¥à¥.
áᬮâਬ ã¯à®é¥ãî ¬®¤¥«ì 㣫®¢®£® ¤¢¨¦¥¨ï ¨á-
ªãáá⢥®£® á¯ã⨪ |
¥¬«¨ ( ) ¯® ªà¥ã |
|
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Jx |
d2 |
= u(t) + M (t) |
(8.17) |
|
dt2 |
||||
|
|
|
£¤¥ Jx { ¬®¬¥â ¨¥à樨 ®â®á¨â¥«ì® ¯à®¤®«ì®© ®á¨,(t) { 㣮« ªà¥ , u(t) { ã¯à ¢«ïî騩 ¬®¬¥â, M(t) { ¢®§- ¬ãé î騩 ¬®¬¥â. ãáâì ¤®áâ㯠¨§¬¥à¥¨î 㣫®¢ ï ᪮-
à®áâì ªà¥ !x(t) = (t): 票ï u(t) â ª¦¥ áç¨â îâáï ¨§- ¢¥áâ묨. ®¤«¥¦¨â ®æ¥¨¢ ¨î ¥¨§¬¥àï¥¬ë© ¬®¬¥â ¢®§- ¬ã饨© M (t): 㤥¬ ¯®« £ âì ¥£® «¨¥©®© äãªæ¨¥© ¢à¥-
¬¥¨ M(t) = M0 + V t ¯à¨ç¥¬ M0 V { ¥¨§¢¥áâë¥ ¢¥«¨ç¨ë.
194
â®â ¯à®æ¥áá ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ª ª à¥è¥¨¥ á¨áâ¥¬ë ®¤®- தëå ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨©
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
(8.18) |
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|
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|
V_ (t) |
|
= |
0 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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á ¥¨§¢¥áâ묨 ç «ì묨 ãá«®¢¨ï¬¨ M(0) |
V (0): ¢¥¤¥¬ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢¥ªâ®à á®áâ®ï¨ï á¨á⥬ë "®¡ê¥ªâ { á। " x(t) = [!x(t) M(t) |
|||||||||||||
V (t)]T : ë室 á¨á⥬ë y(t) = !x(t): ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨å®¤¨¬ |
|||||||||||||
ª ãà ¢¥¨ï¬ á®áâ®ï¨ï ¢¨¤ |
(8.16), ¢ ª®â®àëå |
|
|
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0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
4 |
Jx |
5 |
|
|
4 |
Jx |
5 |
|
0 0]: |
(8.19) |
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0 |
0 |
0 |
|
0 |
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|
|
|
|
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A = 2 |
0 |
0 |
1 |
3 B = |
2 |
0 |
3 C = [1 |
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¡à ⨬áï ª á¨â¥§ã ¡«î¤ ⥫ï. ¡«î¤ â¥«ì ¯®«®£® |
|||||||||||||
¯®à浪 (8.3) |
¤«ï á¨á⥬ë (8.17), |
(8.18) ¨¬¥¥â à §¬¥à®áâì |
n = 3: ¥à¥¬¥ë¥ á®áâ®ï¨ï ¡«î¤ ⥫ï x1(t) x1 |
(t) x1(t) |
|
||||||||||||||||||||
á«ã¦ ⠮楪 ¬¨ ¯¥à¥¬¥ëå !x(t) M (t) V (t) ᮮ⢥âá⢥- |
|
|||||||||||||||||||||
®. «ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï âà¥å¬¥à®£® ¢¥ªâ®à ¯ à ¬¥â஢ L - |
|
|||||||||||||||||||||
¡«î¤ â¥«ï ©¤¥¬ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬®£®ç«¥ det(sI3 ; |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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3 |
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2 |
|
|
l2 |
|
|
|
l3 |
|
|
|
|
|
|
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A |
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+ LC) = s |
|
|
+ l1s + |
Jx s + Jx : à¨à ¢ï¢ ¥£® ª áâ ¤ à⮬ã |
|
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¬®£®ç«¥ã ââ¥à¢®àâ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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A |
|
(s) = s3 |
+ 2 s2 |
+ 2 2s |
+ 3 |
¯®«ã稬 ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï l |
: |
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0 |
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l |
1 |
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= 2 |
l |
2 |
= 2J |
x |
2 |
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l |
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= J |
x |
3: |
à ¬¥âà § ¤ ¥â ¡ë- |
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0 |
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0 |
|
|
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áâத¥©á⢨¥ ¡«î¤ ⥫ï. à¥¬ï ¯¥à¥å®¤®£® ¯à®æ¥áá á®- |
|
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áâ ¢«ï¥â ¯à¨¬¥à® 5= 0 |
: à §¢¥àã⮩ ä®à¬¥ ãà ¢¥¨ï - |
|
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¡«î¤ ⥫ï (8.3) ¯à¨¨¬ îâ ¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ ¢¨¤ |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
> |
!^x(t) = ;l1!^x(t) + M (t)=Jx + l1!x(t) + u(t)=Jx |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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^ |
|
|
= ;l2 |
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
(8.20) |
||||
|
|
|
|
8 M(t) |
|
|
!^x(t) + V (t) + l2!x(t) |
|||||||||||||||
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|
: |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> V (t) = ;l3 |
!^x(t) + l3!x(t): |
|
|
|
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«ï ¨««îáâà 樨 |
|
à¨á. |
8.3 (ᯫ®è ï «¨¨ï) ¯à¨¢¥¤¥ë |
|
||||||||||||||||||
१ã«ìâ âë ¬®¤¥«¨à®¢ ¨ï á¨á⥬ë (8.17), (8.20) ¯à¨ á«¥¤ã- |
|
|||||||||||||||||||||
îé¨å § 票ïå ¯ à ¬¥â஢ ®¡ê¥ªâ |
¨ ¢®§¤¥©á⢨©: |
|
|
|||||||||||||||||||
Jx=54.3 ª£ ¬2, M(0)=0.25 ¬, V |
= |
5 10;3 ¬/á. |
ë¡à ® |
|||||||||||||||||||
0=0.5 1/c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
195
¨á. 8.3. à®æ¥áá ®æ¥¨¢ ¨ï ¢®§¬ã饨©.
«ï ¬®¤¥«¨à®¢ ¨ï ¨á¯®«ì§®¢ á«¥¤ãîé ï MATLAB- ¯à®£à ¬¬
à®£à ¬¬ ¬®¤¥«¨à®¢ ¨ï ¡«î¤ ⥫ï á®áâ®ï¨ï ¨ ¢®§¬ã饨© ¤«ï ¯® «¬ ã.
x0 |
|
=[0, 0, 0]'v |
x0=[0 0.25 0.005]'v |
|
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|
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{ § ¤ ¨¥ ç «ì®£® à áè¨à¥®£® ¢¥ªâ®à |
|||||||||||||
x = colf x M V g\ |
|||||||||||||
A=[0 1/J 0v 0 0 1v 0 0 0]v |
|
|
|
|
|||||||||
B=[1/Jv 0v 0]v |
C=[1 0 0]v |
|
|
|
|
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{ ¢¢®¤ ¬ âà¨æ |
|
|
|
|
|
|
|
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A B C ãà ¢¥¨© á®áâ®ï¨ï à áè¨à¥®£® |
|||||||||||||
®¡ê¥ªâ \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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Om=0.5v |
l1=2*Omv l2=2*J*Om 2v |
l3=J*Om 3v |
|||||||||||
{ ¢¢®¤ § 票ï 0 ¨ ¢ëç¨á«¥¨¥ ª®íää¨æ¨¥â®¢ ®¡à ⮩ |
|||||||||||||
á¢ï§¨ l1 l2 l3 |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
|||
L=[l1v l2v l3]v |
A |
|
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B |
|
=Bv |
|
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|
|
|
|||||||||||
{ ä®à¬¨à®¢ ¨¥ ¬ âà¨æ ãà ¢¥¨© (8.20)\ |
|
||||||||||||
Ae=[A, zeros(3,3)v L*C, A |
|
]v |
Be=[Bv B]v Ce=[C, -C]v |
||||||||||
|
{ä®à¬¨à®¢ ¨¥ ¬ âà¨æ ®¡ê¥¤¨¥®© á¨á⥬ë (8.17), (8.20)\ xe0=[x0v x0 ]v
{§ ¤ ¨¥ ç «ì®£® á®áâ®ï¨ï á¨á⥬ë (8.17), (8.20)\ t=0:0.01:30v u=zeros(size(t))v
{ § ¤ ¨¥ ¨â¥à¢ « ¬®¤¥«¨à®¢ ¨ï ¨ ä®à¬¨à®¢ ¨¥ ¢å®¤-
®£® ¢®§¤¥©á⢨ï\
[y,xe] =lsim(Ae,Be,Ce,0,u,t,xe0)v
{ ¬®¤¥«¨à®¢ ¨¥\ plot(t,xe(:,2),'w',t,xe(:,5),'.w'),grid plot(t,xe(:,3),'w',t,xe(:,6),'.w'),grid
196
{ ¢ë¢®¤ £à 䨪®¢.
áᬮâਬ ⥯¥àì ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥ ¤«ï à¥è¥¨ï í⮩ § ¤ - ç¨ ¡«î¤ ⥫ï 㥡¥à£¥à (á¬. 8.3. á. 187).
ª ç¥á⢥ ¨á室®© ¬®¤¥«¨ ®¡ê¥ªâ ¢®§ì¬¥¬ ãà ¢¥¨ï à áè¨à¥®© á¨á⥬ë (8.17), (8.18) á ¬ âà¨æ ¬¨ (8.19). 10 ®- £« á® ¨§«®¦¥®¬ã á. 191 «£®à¨â¬ã, ãà ¢¥¨ï á®áâ®ï- ¨ï á¨á⥬ë á ç « ¯à¨¢®¤ïâáï ª ¢¨¤ã . «ï í⮣®, ¢
ᮮ⢥âá⢨¨ á ®¡é¥© ä®à¬ã«®© (3.13) (á¬. á. 88, 3.2.3.) áâà®- |
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|
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âॡ㥬®£® ª ®¨ç¥áª®£® ¢¨¤ . ®«ã稬 |
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ïâáï ¬ âà¨æë A, C |
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0 |
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0 |
0 |
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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~ |
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0 |
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|
1 |
0 |
|
~ |
|
= [0 0 1]: |
|
|
|
|
|
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|
|
A = 2 1 0 0 3 C |
|
|
|
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|||||||||||||||||
|
|
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4 |
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|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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©¤¥¬ ¬ âà¨æë ¡«î¤ ¥¬®á⨠|
|
|
|
|
|
|
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á¨áâ¥¬ë ¢¨¤ |
, ®âªã¤ |
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|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
6 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
7 |
|
|
|
6 |
0 |
0 |
|
1 |
7 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
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;1 |
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|
|
|
|
~ |
= 2 0 1 0 3 |
|
|||||||||||||||
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Jx |
|
|
|
|
|
|
0 3 Q |
|
|||||||||||||||||
|
|
4 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
Jx ;1 |
5 |
|
|
|
4 |
1 |
0 |
|
0 |
5 |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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6 |
0 |
0 |
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Jx ;1 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
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1 |
0 |
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0 |
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|
|
|
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T = Q |
Q |
= 2 0 |
Jx |
|
|
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0 3 : |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
4 |
|
|
|
|
|
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198
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Q =[C vC *A vC *A ^2]
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{ ä®à¬¨à®¢ ¨¥ ¬ âà¨æ \ a b
Tbk=inv(T)*inv(P)
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199
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¯®«®£® ¯®à浪 ¨ ¡«î¤ ⥫ì 㥡¥à£¥à ¤«ï ®æ¥¨¢ - ¨ï ®áâ «ìëå ¯¥à¥¬¥ëå á®áâ®ï¨ï (!z(t) (t)).
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