Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления

.pdf
Скачиваний:
54
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
2.56 Mб
Скачать

, â® ¢ १ã«ìâ ⥠¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¯®«ã稬

 

 

 

2

0

0 : : : 0

; n;1

 

 

( 1

; 1) n;1

;

n

 

~

= P AP

;1

1 0 : : : 0

; n;2

( 1

; 1) n;2 ; n;1

+ n;1

A

 

= : : : : : : : : : : : :

: : :

 

 

 

 

 

 

 

: : :

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

; 1

 

 

 

( 1 ; 1) 1 ; 2 + 2

 

 

 

 

6

0 0 : : : 1

 

 

 

 

 

 

 

0 0 : : : 0

1

 

 

 

 

 

; 1+ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b1

;

n;1bn

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

2 b2

;

n;2bn

 

 

 

 

 

 

 

 

¨ â ª¦¥ B = P B =

6

 

: : :

 

7

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

4

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bn;1

; 1bn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bn

 

 

 

 

 

 

 

 

4. § ¬ âà¨æë A ¢ë¤¥«¨¬ ¯®¤¬ âà¨æã

A ¯®à浪

n

;

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

à ᯮ«®¦¥­­ãî ¢ ¢¥àå­¥¬ «¥¢®¬ 㣫㠬 âà¨æë A,

â ª¦¥

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¥à¢ë¥ n-1 áâப ¬ âà¨æë B ¨§ ª®â®àëå ®¡à §ã¥¬ ¬ âà¨æã

(¢¥ªâ®à-á⮫¡¥æ)

 

 

 

 

1 ¢¥àå­¨¥ áâப¨ ¯®á«¥¤-

B: ¡®§­ 稬 n

;

­¥£® á⮫¡æ

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¬ âà¨æë A ç¥à¥§ an:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¨è¥¬ ãà ¢­¥­¨ï ­ ¡«î¤ ⥫ï 㥭¡¥à£¥à :

3

7

5

 

 

(8.14)

x(t) = Ax(t) + any(t) + Bu(t):

«ï ¢ëç¨á«¥­¨ï ®æ¥­ª¨ ¢¥ªâ®à á®áâ®ï­¨ï ¢ ¨á室­®¬ ¡ - §¨á¥ (áç¨â ¥¬, çâ® ¨á室­ ï á¨á⥬ 㦥 ¨¬¥¥â ¢¨¤ ), áä®à¬¨à㥬 ¢¥ªâ®à x~(t) = colfx(t) y(t)g: 業ª á®áâ®ï­¨ï ¢ ¡ §¨á¥ ⮣¤ ¯®«ãç ¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ x^(t) = P ;1x~(t):

8.4. 業¨¢ ­¨¥ ¢®§¬ã饭¨©

ª ¢¨¤­® ¨§ (8.4), ­¥¨§¬¥àï¥¬ë¥ ¢­¥è­¨¥ ¢®§¤¥©á⢨ï (¢®§- ¬ã饭¨ï ¨ ¯®¬¥å¨) ¯à¨¢®¤ïâ ª ¯®ï¢«¥­¨î ¤®¯®«­¨â¥«ì­ëå á®áâ ¢«ïîé¨å ®è¨¡ª¨ ®æ¥­¨¢ ­¨ï ¯¥à¥¬¥­­ëå á®áâ®ï­¨ï ¨ á­¨¦ îâ â®ç­®áâì á¨á⥬ë ã¯à ¢«¥­¨ï. ¬¥­ìè¨âì ¢«¨ï- ­¨¥ ¢®§¬ã饭¨© ¬®¦­®, ¥á«¨ ¢ë¯®«­ïâì, ­ àï¤ã á ®æ¥­¨¢ ­¨- ¥¬ á®áâ®ï­¨ï ®¡ê¥ªâ , â ª¦¥ ¨¤¥­â¨ä¨ª æ¨î ­¥¨§¬¥à塞ëå

¢­¥è­¨å ¢®§¤¥©á⢨©.

á­®¢­ ï ¨¤¥ï ¨á¯®«ì§®¢ ­¨ï ­ ¡«î¤ ⥫¥© ¤«ï ®æ¥­¨¢ - ­¨ï ¢®§¬ã饭¨© ¨ ¯®¬¥å ¨§¬¥à¥­¨ï á®á⮨⠢ á«¥¤ãî饬.

«ï ¢­¥è­¨å ¢®§¤¥©á⢨©, ª ª ¨ ¤«ï ®¡ê¥ªâ ã¯à ¢«¥­¨ï, áâநâáï ­¥ª®â®à ï ¬ ⥬ â¨ç¥áª ï ¬®¤¥«ì ("¬®¤¥«ì ¢­¥è-

­¥© á।ë", ¨«¨ "internal model of disturbances"). ®£« á­®

192

í⮩ ¬®¤¥«¨, ¢®§¬ã饭¨ï ¯à¥¤áâ ¢«îâáï ª ª à¥è¥­¨ï á¨áâ¥- ¬ë ®¤­®à®¤­ëå ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ëå (¨«¨ à §­®áâ­ëå) ãà ¢- ­¥­¨© á ¨§¢¥áâ­ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨ ¨ ­¥¨§¢¥áâ­ë¬¨ ­ ç «ì- ­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨. íâ¨å ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨ïå ¨ ᮤ¥à¦¨âáï ¢áï ­¥®¯à¥¤¥«¥­­®áâì ®â­®á¨â¥«ì­® ¢­¥è­¨å ¢®§¤¥©á⢨©. 7ª¨¬ ®¡а §®¬, ¢®§¬гй¥­¨п ¨ ¯®¬¥е¨ ¯а¥¤бв ¢«повбп, ª ª ¢ле®¤л ­¥ª®в®а®© ¢в®­®¬­®© ¤¨­ ¬¨з¥бª®© б¨бв¥¬л б § - ¤ ­­л¬¨ га ¢­¥­¨п¬¨ ¨ ­¥¨§¢¥бв­л¬ ­ з «м­л¬ б®бв®п­¨¥¬.в¥¬ ¬®¤¥«м ¢­¥и­¨е ¢®§¤¥©бв¢¨© ®¡к¥¤¨­п¥вбп б ¬®¤¥«мо ®¡к¥ªв г¯а ¢«¥­¨п ¨ ¤«п ¯®«гз¥­­®© à áè¨à¥­­®© á¨á⥬ë áâநâáï ­ ¡«î¤ ⥫ì. ®«ã祭­ë¥ á ¯®¬®éìî ­¥£® ®æ¥­- ª¨ ᮤ¥à¦ â ª ª ᮡá⢥­­® ®æ¥­ª¨ á®áâ®ï­¨ï ®¡ê¥ªâ , â ª ¨ ®æ¥­ª¨ ¢­¥è­¨å ¢®§¤¥©á⢨© 8.

®¤å®¤ ª ᨭ⥧ã á¨á⥬ ã¯à ¢«¥­¨ï ­ ®á­®¢¥ ¯®áâ㫨- ஢ ­¨ï ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å ¬®¤¥«¥© ¤«ï ®â¤¥«ì­ëå ¯®¤á¨á⥬ ¨

ᨣ­ «®¢ ¢ ­ áâ®ï饥 ¢à¥¬ï ­ 襫 è¨à®ª®¥ ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ¨

­ §ë¢ ¥âáï "¯à¨­æ¨¯®¬ ¢­ãâ७­¨å ¬®¤¥«¥©" ("internal model principle"). «ï ¯®áâ஥­¨ï íä䥪⨢­ëå «£®à¨â¬®¢ ¯à®¥ª- â¨à®¢ ­¨ï, ®æ¥­¨¢ ­¨ï, ã¯à ¢«¥­¨ï á¨á⥬ ¬¨ ¬®¤¥«¨ ¢ ¢¨¤¥ ãà ¢­¥­¨© á®áâ®ï­¨ï ¬®£ãâ § ¤ ¢ âìáï ­¥ ⮫쪮 ¤«ï ¢®§¬ã-

é îé¨å ¢®§¤¥©á⢨©, ­® ¨ ¤«ï ¯®¬¥å ¨§¬¥à¥­¨©, ª®¬ ­¤­ëå ᨣ­ «®¢ ("íâ «®­­ë¥ ¬®¤¥«¨"), ¤¨­ ¬¨ª¨ ¨§¬¥­¥­¨ï ¯ à - ¬¥â஢ ®¡ê¥ªâ ¨ â.¤. 9

®áâ â®ç­® ¯à®áâ® ¯à®æ¥¤ãà ᨭ⥧ ¢ë£«ï¤¨â, ¥á«¨ ¢­¥è- ­¨¥ ¯à®æ¥ááë ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ª ª ª¢ §¨¬­®£®ç«¥­ë { ¢ë-

 

N

 

 

à ¦¥­¨ï ¢¨¤

X

e itPi(t) £¤¥ i 2 C

{ ¨§¢¥áâ­ë¥ ¯®áâ®ï­­ë¥,

i=1

Pi(t) - ¬­®£®з«¥­л б § ¤ ­­л¬¨ ª®ндд¨ж¨¥­в ¬¨. о¤ ®в- ­®бпвбп бв¥¯¥­­л¥ дг­ªж¨¨, £ ମ­¨ª¨ б § ¤ ­­®© з бв®в®©,

нªб¯®­¥­вл б § ¤ ­­л¬ ¯®ª § в¥«¥¬ § вге ­¨п, ¯а®¨§¢¥¤¥­¨п £ ମ­¨ª ­ нªб¯®­¥­вл ¨ «¨­¥©­л¥ ª®¬¡¨­ ж¨¨ нв¨е дг­ª- ж¨©. ®¤¥«п¬¨ ¨бв®з­¨ª®¢ в ª¨е ¯а®ж¥бб®¢ п¢«повбп «¨­¥©- ­л¥ ¤¨дд¥а¥­ж¨ «м­л¥ га ¢­¥­¨п б ¯®бв®п­­л¬¨ ª®ндд¨ж¨- ¥­в ¬¨. бᬮва¨¬ ¯а®ж¥¤гаг ®ж¥­¨¢ ­¨п ¤«п нв®£® б«гз п

7 «ãç © ­¥¨§¢¥áâ­ëå ¯ à ¬¥â஢ ¬®¤¥«¨ á।ë à áᬠâਢ ¥âáï ¢ à ¬ª å ⥮ਨ ¤ ¯â¨¢­®£® ®æ¥­¨¢ ­¨ï (á¬. £« ¢ã 12 ¨ [93, 76, 103, 106]).

8 áâ¥á⢥­­®, âॡã¥âáï ¯®«­ ï ­ ¡«î¤ ¥¬®áâì à áè¨à¥­­®© á¨á⥬ë.

9 ««îáâà 権 ¯à¨¬¥­¥­¨ï í⮣® ¯à¨­æ¨¯ ¬®¦¥â á«ã¦¨âì ¨ «£®- à¨â¬ ¯¥à¥å®¤ ª ¤¨áªà¥â­®© ¬®¤¥«¨, ®¯¨á ­­ë© ¢ 6.6.

193

¡®«¥¥ ¯®¤à®¡­®.

ãáâì ¢­¥è­¨¥ ¢®§¤¥©á⢨ï f(t) v(t) ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ ¢ë室­ëå ¯à®æ¥áᮢ «¨­¥©­®© á¨á⥬ë, § ¤ ­­®© ãà ¢-

­¥­¨ï¬¨

xs(t) = As(t)xs(t)

ys(t) = Csxs(t) xs(t0 ) = xs0

t

t0: (8.15)

¤¥áì xs(t) 2 Rns

{ ¢¥ªâ®à á®áâ®ï­¨ï "á।ë",

ys(t) 2 Rn+l

- ¢ë室 ¬®¤¥«¨

¨áâ®ç­¨ª

¢®§¬ã饭¨© { ¢¥ªâ®à

¢­¥è­¨å

 

 

 

 

 

 

¯® ®â­®è¥­¨î ª ®¡ê¥ªâã ¢®§¤¥©á⢨©\ ys(t) = colff (t) v(t)g

 

 

 

Cf

 

 

As Cs { ¨§¢¥áâ­ë¥ ¬ âà¨æë, Cs = Cv \ Cf Cv

{ ¯®¤¬ -

âà¨æë à §¬¥à®¢ n ns

l ns

®¯à¥¤¥«ïî騥 á¢ï§ì ¬¥¦¤ã á®-

áâ®ï­¨¥¬ xs(t) ¬®¤¥«¨ ¢­¥è­¨å ¢®§¤¥©á⢨© ¨ ¢®§¬ã饭¨ï¬¨

f(t) ¯®¬¥å ¬¨ v(t) ¢ (8.1). ç «ì­®¥ á®áâ®ï­¨¥ xs0 á¨áâ¥- ¬ë (8.15), ª ª ¨ (8.1), áç¨â ¥âáï ­¥¨§¢¥áâ­ë¬. ¢¥¤¥¬ à á- è¨à¥­­ë© ("ᮢ®ªã¯­ë©") ¢¥ªâ®à á®áâ®ï­¨ï ®¡ê¥ªâ ¨ á।ë

 

xs(t)) 2 Rn+ns : ¡ê¥¤¨­ïï ãà ¢­¥­¨ï (8.1), (8.15),

x(t) = (x(t)

¯®«ã稬 ãà ¢­¥­¨ï à áè¨à¥­­®© á¨áâ¥¬ë ¢ ¢¨¤¥

 

 

 

 

 

x(t0) = x0 t t0 (8.16)

x(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t)

¢ ª®â®àëå ¬ âà¨æë

 

 

 

¨¬¥ов б«¥¤гойго ¡«®з­го

A

B

C

áâàãªâãàã:

 

 

 

 

 

 

 

A

Cf

 

 

B

 

A =

0ns n As

B

=

0ns m

C = [C Cv]:

áè¨à¥­­ ï á¨á⥬

(8.16) à áᬠâਢ ¥âáï ª ª ­¥ª®â®àë©

­®¢ë© ®¡ê¥ªâ ¯®à浪 n = n + ns ¤«ï ª®â®à®£® áâநâáï ­ - ¡«î¤ ⥫ì (8.3).

ந««îáâà¨à㥬 ¨§«®¦¥­­®¥ ­ ¯à¨¬¥à¥.

áᬮâਬ ã¯à®é¥­­ãî ¬®¤¥«ì 㣫®¢®£® ¤¢¨¦¥­¨ï ¨á-

ªãáá⢥­­®£® á¯ãâ­¨ª

¥¬«¨ ( ) ¯® ªà¥­ã

 

Jx

d2

= u(t) + M (t)

(8.17)

dt2

 

 

 

£¤¥ Jx { ¬®¬¥­â ¨­¥à樨 ®â­®á¨â¥«ì­® ¯à®¤®«ì­®© ®á¨,(t) { 㣮« ªà¥­ , u(t) { ã¯à ¢«ïî騩 ¬®¬¥­â, M(t) { ¢®§- ¬ãé î騩 ¬®¬¥­â. ãáâì ¤®áâ㯭 ¨§¬¥à¥­¨î 㣫®¢ ï ᪮-

à®áâì ªà¥­ !x(t) = (t): ­ 祭¨ï u(t) â ª¦¥ áç¨â îâáï ¨§- ¢¥áâ­ë¬¨. ®¤«¥¦¨â ®æ¥­¨¢ ­¨î ­¥¨§¬¥àï¥¬ë© ¬®¬¥­â ¢®§- ¬ã饭¨© M (t): 㤥¬ ¯®« £ âì ¥£® «¨­¥©­®© ä㭪樥© ¢à¥-

¬¥­¨ M(t) = M0 + V t ¯à¨ç¥¬ M0 V { ­¥¨§¢¥áâ­ë¥ ¢¥«¨ç¨­ë.

194

â®â ¯à®æ¥áá ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ª ª à¥è¥­¨¥ á¨áâ¥¬ë ®¤­®- த­ëå ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ëå ãà ¢­¥­¨©

 

 

 

 

 

_

 

=

V (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

M (t)

 

 

 

(8.18)

 

 

 

 

V_ (t)

 

=

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

á ­¥¨§¢¥áâ­ë¬¨ ­ ç «ì­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ M(0)

V (0): ¢¥¤¥¬

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¢¥ªâ®à á®áâ®ï­¨ï á¨á⥬ë "®¡ê¥ªâ { á। " x(t) = [!x(t) M(t)

V (t)]T : ë室 á¨á⥬ë y(t) = !x(t): ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨å®¤¨¬

ª ãà ¢­¥­¨ï¬ á®áâ®ï­¨ï ¢¨¤

(8.16), ¢ ª®â®àëå

 

 

 

 

0

1

0

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

4

Jx

5

 

 

4

Jx

5

 

0 0]:

(8.19)

0

0

0

 

0

 

 

 

 

A = 2

0

0

1

3 B =

2

0

3 C = [1

¡à ⨬áï ª ᨭ⥧㠭 ¡«î¤ ⥫ï. ¡«î¤ â¥«ì ¯®«­®£®

¯®à浪 (8.3)

¤«ï á¨á⥬ë (8.17),

(8.18) ¨¬¥¥â à §¬¥à­®áâì

n = 3: ¥à¥¬¥­­ë¥ á®áâ®ï­¨ï ­ ¡«î¤ ⥫ï x1(t) x1

(t) x1(t)

 

á«ã¦ ⠮業ª ¬¨ ¯¥à¥¬¥­­ëå !x(t) M (t) V (t) ᮮ⢥âá⢥­-

 

­®. «ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï âà¥å¬¥à­®£® ¢¥ªâ®à ¯ à ¬¥â஢ L ­ -

 

¡«î¤ â¥«ï ­ ©¤¥¬ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬­®£®ç«¥­ det(sI3 ;

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

 

l2

 

 

 

l3

 

 

 

 

 

 

A

 

+ LC) = s

 

 

+ l1s +

Jx s + Jx : à¨à ¢­ï¢ ¥£® ª áâ ­¤ àâ­®¬ã

 

¬­®£®ç«¥­ã ââ¥à¢®àâ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

­

(s) = s3

+ 2 s2

+ 2 2s

+ 3

¯®«ã稬 ¢ëà ¦¥­¨ï ¤«ï l

:

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

0

 

 

 

i

 

l

1

 

 

= 2

l

2

= 2J

x

2

 

l

 

= J

x

3:

à ¬¥âà § ¤ ¥â ¡ë-

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

3

 

 

 

0

0

 

 

áâத¥©á⢨¥ ­ ¡«î¤ ⥫ï. à¥¬ï ¯¥à¥å®¤­®£® ¯à®æ¥áá á®-

 

áâ ¢«ï¥â ¯à¨¬¥à­® 5= 0

: à §¢¥à­ã⮩ ä®à¬¥ ãà ¢­¥­¨ï ­ -

 

¡«î¤ ⥫ï (8.3) ¯à¨­¨¬ îâ ¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ ¢¨¤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

!^x(t) = ;l1!^x(t) + M (t)=Jx + l1!x(t) + u(t)=Jx

 

 

 

 

 

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

^

 

 

= ;l2

 

 

 

 

^

 

 

 

 

(8.20)

 

 

 

 

8 M(t)

 

 

!^x(t) + V (t) + l2!x(t)

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

> V (t) = ;l3

!^x(t) + l3!x(t):

 

 

 

«ï ¨««îáâà 樨 ­

 

à¨á.

8.3 (ᯫ®è­ ï «¨­¨ï) ¯à¨¢¥¤¥­ë

 

१ã«ìâ âë ¬®¤¥«¨à®¢ ­¨ï á¨á⥬ë (8.17), (8.20) ¯à¨ á«¥¤ã-

 

îé¨å §­ 祭¨ïå ¯ à ¬¥â஢ ®¡ê¥ªâ

¨ ¢®§¤¥©á⢨©:

 

 

Jx=54.3 ª£ ¬2, M(0)=0.25 ¬, V

=

5 10;3 ¬/á.

ë¡à ­®

0=0.5 1/c.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

195

¨á. 8.3. à®æ¥áá ®æ¥­¨¢ ­¨ï ¢®§¬ã饭¨©.

«ï ¬®¤¥«¨à®¢ ­¨ï ¨á¯®«ì§®¢ ­ á«¥¤ãîé ï MATLAB- ¯à®£à ¬¬

à®£à ¬¬ ¬®¤¥«¨à®¢ ­¨ï ­ ¡«î¤ ⥫ï á®áâ®ï­¨ï ¨ ¢®§¬ã饭¨© ¤«ï ¯® «¬ ­ã.

x0

 

=[0, 0, 0]'v

x0=[0 0.25 0.005]'v

 

 

{ § ¤ ­¨¥ ­ ç «ì­®£® à áè¨à¥­­®£® ¢¥ªâ®à

x = colf x M V g\

A=[0 1/J 0v 0 0 1v 0 0 0]v

 

 

 

 

B=[1/Jv 0v 0]v

C=[1 0 0]v

 

 

 

 

{ ¢¢®¤ ¬ âà¨æ

 

 

 

 

 

 

 

A B C ãà ¢­¥­¨© á®áâ®ï­¨ï à áè¨à¥­­®£®

®¡ê¥ªâ \

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Om=0.5v

l1=2*Omv l2=2*J*Om 2v

l3=J*Om 3v

{ ¢¢®¤ §­ 祭¨ï 0 ¨ ¢ëç¨á«¥­¨¥ ª®íää¨æ¨¥­â®¢ ®¡à â­®©

á¢ï§¨ l1 l2 l3

\

 

 

 

 

 

 

 

b

b

L=[l1v l2v l3]v

A

 

=A-L*Cv

B

 

=Bv

 

 

 

 

{ ä®à¬¨à®¢ ­¨¥ ¬ âà¨æ ãà ¢­¥­¨© (8.20)\

 

Ae=[A, zeros(3,3)v L*C, A

 

]v

Be=[Bv B]v Ce=[C, -C]v

 

{ä®à¬¨à®¢ ­¨¥ ¬ âà¨æ ®¡ê¥¤¨­¥­­®© á¨á⥬ë (8.17), (8.20)\ xe0=[x0v x0 ]v

{§ ¤ ­¨¥ ­ ç «ì­®£® á®áâ®ï­¨ï á¨á⥬ë (8.17), (8.20)\ t=0:0.01:30v u=zeros(size(t))v

{ § ¤ ­¨¥ ¨­â¥à¢ « ¬®¤¥«¨à®¢ ­¨ï ¨ ä®à¬¨à®¢ ­¨¥ ¢å®¤-

­®£® ¢®§¤¥©á⢨ï\

[y,xe] =lsim(Ae,Be,Ce,0,u,t,xe0)v

{ ¬®¤¥«¨à®¢ ­¨¥\ plot(t,xe(:,2),'w',t,xe(:,5),'.w'),grid plot(t,xe(:,3),'w',t,xe(:,6),'.w'),grid

196

{ ¢ë¢®¤ £à 䨪®¢.

áᬮâਬ ⥯¥àì ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥ ¤«ï à¥è¥­¨ï í⮩ § ¤ - ç¨ ­ ¡«î¤ ⥫ï 㥭¡¥à£¥à (á¬. 8.3. á. 187).

ª ç¥á⢥ ¨á室­®© ¬®¤¥«¨ ®¡ê¥ªâ ¢®§ì¬¥¬ ãà ¢­¥­¨ï à áè¨à¥­­®© á¨á⥬ë (8.17), (8.18) á ¬ âà¨æ ¬¨ (8.19). 10 ®- £« á­® ¨§«®¦¥­­®¬ã ­ á. 191 «£®à¨â¬ã, ãà ¢­¥­¨ï á®áâ®ï- ­¨ï á¨á⥬ë á­ ç « ¯à¨¢®¤ïâáï ª ¢¨¤ã . «ï í⮣®, ¢

ᮮ⢥âá⢨¨ á ®¡é¥© ä®à¬ã«®© (3.13) (á¬. á. 88, 3.2.3.) áâà®-

 

 

~ ~

âॡ㥬®£® ª ­®­¨ç¥áª®£® ¢¨¤ . ®«ã稬

ïâáï ¬ âà¨æë A, C

 

 

 

 

6

 

0

 

 

0

0

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

0

 

 

1

0

 

~

 

= [0 0 1]:

 

 

 

 

 

 

 

 

A = 2 1 0 0 3 C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

©¤¥¬ ¬ âà¨æë ­ ¡«î¤ ¥¬®áâ¨

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q ¨á室­®© á¨áâ¥¬ë ¨ Q {

á¨áâ¥¬ë ¢¨¤

, ®âªã¤

¯®«ã稬 ¬ âà¨æ㠯८¡à §®¢ -

­¨ï T :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

1

0

 

 

 

 

 

 

0

7

 

 

 

6

0

0

 

1

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q = 2 0

;1

 

 

 

 

 

 

~

= 2 0 1 0 3

 

 

Jx

 

 

 

 

 

 

0 3 Q

 

 

 

4

0

0

 

 

 

 

 

Jx ;1

5

 

 

 

4

1

0

 

0

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

0

0

 

Jx ;1

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~;1

 

 

 

1

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T = Q

Q

= 2 0

Jx

 

 

 

0 3 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

롥६ ¦¥« ¥¬ë© ¢¨¤ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ¬­®£®ç«¥­

­ ¡«î¤ â¥«ï ¢ ä®à¬¥ ¬­®£®ç«¥­

ââ¥à¢®àâ

 

¢â®à®£® ¯®-

à浪 A

(s) = s2 + p

 

 

s

+ 2

£¤¥ ¯ à ¬¥âà

 

§ ¤ ¥â ¡ë-

2

 

­

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

= p

 

 

 

 

 

 

0

 

 

áâத¥©á⢨¥ ­ ¡«î¤ ⥫ï. ®£¤

 

1

2

 

 

2

= 2

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

®áâந¬ ¬ âà¨æ㠯८¡à §®¢ ­¨ï P ª 㪠§ ­­®¬ã ¢ ¯.

8.3. ª ­®­¨ç¥áª®¬ã ¢¨¤ã

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

1 0 ; 0 2

 

7

 

 

 

 

6

1 0 0 2

7

 

0 0

;

 

1

 

 

 

 

 

 

 

0 0

 

 

 

1

P = 2

0 1

p

2

0

3 P;1 = 2

0 1

p

2

0

3 :

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10 «ï ã¯à®é¥­¨ï ®¡®§­ 祭¨© ¤ «¥¥ ¢ ¤ ­­®¬ ¯à¨¬¥à¥ §­ ª

ã ¬ âà¨æ

(8.19) ®¯ã᪠¥âáï.

197

¥¯¥àì ¯®áâந¬ ¬ âà¨æë

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

0 2

 

;

p

 

 

 

 

 

0 3

 

 

 

 

 

 

;

0

2

J

x ;1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

;1

 

 

6

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

2

 

7

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;1

 

=

2 1

 

 

 

 

p2 0

 

 

 

 

 

0

 

3

 

 

 

 

 

p2 0 Jx

3

A = P AP

 

 

;

 

;

 

 

 

B = 2

;

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

p2 0

 

 

 

 

 

 

 

Jx ;1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ ¬ âà¨æë A ¯®¤¬ âà¨æã

A ¢â®à®£® ¯®à浪 ,

 

 

â ª¦¥ ¢ë-

¤¥«¨¬ ¯¥à¢ë¥ ¤¢¥ áâப¨ ¬ âà¨æë

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B ¨§ ª®â®àëå ®¡à §ã¥¬

¢¥ªâ®à-á⮫¡¥æ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B: ®«ã稬

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

p

 

 

 

 

 

 

0 3

 

 

 

 

 

 

 

;

0 2

J

x ;1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = "

1

;

p

2

0 # a3 = "

;

0 2

 

 

# B

= "

;

p

2

0 Jx ;1 # :

à¨å®¤¨¬ ª ãà ¢­¥­¨ï¬ ­ ¡«î¤ â¥«ï ¢â®à®£® ¯®à浪

 

 

 

 

 

x1

(t) = 0 2x1

(t)

 

 

 

p

 

0 3!x (t)

 

 

 

0 2Jx ;1u(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

;1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8.21)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2(t) = x1(t) ; p2 0 x2 (t) ;

0

 

!x

(t) ; p2 0 Jx

 

 

 

u(t):

 

 

 

«¥¥ áä®à¬¨à㥬 ¢¥ªâ®à x(t) = colfx(t) !x (t)g: «ï ¯®«ãç¥- ­¨ï ®æ¥­ª¨ á®áâ®ï­¨ï ¢ ¨á室­®¬ ¡ §¨á¥ (8.17), (8.18) ­ ©¤¥¬ ¬ âà¨æã ®¡à â­®£® ¯¥à¥å®¤ Tb { á­ ç « ®â x ª x~ § ⥬ { ª

x:

 

0

 

0

1

 

 

 

 

6

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tb = T;1P;1

= 2 0

Jx

Jx p

2

0 3 :

^

 

4

Jx

0

Jx 0 2

^5

 

 

 

 

¥ªâ®à x^(t) = Tbx(t) ᮤ¥à¦¨â ®æ¥­ª¨ !^x (t) M (t) ¨ V (t).

®¬ ¢¨¤¥ ®æ¥­ª

¯à®æ¥áá ¢®§¬ã饭¨© ¢ëà ¦ ¥âáï ᮮ⭮-

襭¨ï¬¨

 

 

 

 

 

 

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M(t) = Jx x1(t) + Jx p2 0 x2(t)

(8.22)

^

2

x2(t):

 

V (t) = Jx !x(t) + Jx 0

 

®¢®ªã¯­®áâì

ãà ¢­¥­¨© (8.21), (8.22) ®¯¨áë¢ ¥â ­ ¡«î¤ -

⥫ì 㥭¡¥à£¥à

¤«ï à áᬠâਢ ¥¬®© § ¤ ç¨.

 

ëç¨á«¥­¨ï ¤«ï ¤ ­­®£® ¯à¨¬¥à

 

á ¢ë¢®¤®¬ १ã«ìâ ⮢

¢ ᨬ¢®«ì­®¬ ( ­¥ ⮫쪮 ¢ ç¨á«®¢®¬) ¢¨¤¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¢ë- ¯®«­¥­ë á ¯®¬®éìî á«¥¤ãî饩 ¯à®£à ¬¬ë ¯ ª¥â MATLAB [82].

198

à®£à ¬¬ ¬®¤¥«¨à®¢ ­¨ï ­ ¡«î¤ ⥫ï á®áâ®ï­¨ï ¨ ¢®§¬ã饭¨© ¤«ï ¯® 㥭¡¥à£¥àã

syms Jx Om

{ ®¯¨á ­¨¥ ᨬ¢®«ì­ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå Jx 0 \

A=[0 1/Jx 0v 0 0 1v 0 0 0]

B=[1/Jx 0 0 ]'v

C=[1 0 0 ]

{ ä®à¬¨à®¢ ­¨¥ ᨬ¢®«ì­ëå ¬ âà¨æ (8.19)\

A =[0 0 0v 1 0 0 v 0 1 0]v

C =[0 0 1]

{ ä®à¬¨à®¢ ­¨¥ ¬ âà¨æ ~ ~\

Q=[CvC*AvC*A^2]

A C

Q =[C vC *A vC *A ^2]

{ ¢ëç¨á«¥­¨¥ ¬ âà¨æ ­ ¡«î¤ ¥¬®áâ¨\

T=inv(Q )*Qv B =T*B

{ ¢ëç¨á«¥­¨¥ ¬ âà¨æë ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¨ ¬ âà¨æë ~ \

bet1=sqrt(2)*Om bet2=Om^2

T B

{ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ §­ 祭¨© 1 2

P=[1 0 -bet2v 0 1 -bet1v 0 0 1]

{ ä®à¬¨à®¢ ­¨¥ ¬ âà¨æë P \

Atil=P*A *inv(P)v Btil=P*B v Abar=Atil(1:2,1:2)

{ ¢ëç¨á«¥­¨¥ ¬ âà¨æ \

A A

abar=Atil(1:2,3)v bbar=Btil(1:2,1)

{ ä®à¬¨à®¢ ­¨¥ ¬ âà¨æ \ a b

Tbk=inv(T)*inv(P)

{¢ëç¨á«¥­¨¥ ¬ âà¨æë Tb jx=54.3v om=0.5

{¢¢®¤ ç¨á«®¢ëå §­ 祭¨© Jx 0 \

Tb=double(subs(Tbk,[Jx Om],[jx om])) Ao=double(subs(A,Jx,jx)) Bo=double(subs(B,Jx,jx))v

Co=C

{ ¯®¤áâ ­®¢ª ç¨á«®¢ëå §­ 祭¨© ¨ ¯¥à¥¢®¤ ᨬ¢®«ì­ëå

¬âà¨æ ¢ ç¨á«®¢ë¥\

Af=sym([A zeros(3,2)v abar*C Abar]) Bf=sym([Bv bbar])

199

Cf=Tbk*[0 0 0 1 0v 0 0 0 0 1vC 0 0 ]v

Df=zeros(3,1)v

{ä®à¬¨à®¢ ­¨¥ ¢ ᨬ¢®«ì­®© ä®à¬¥ ¬ âà¨æ ãà ¢­¥­¨© á®- áâ®ï­¨ï ¥¤¨­®© á¨áâ¥¬ë ®¡ê¥ªâ-¬®¤¥«ì-á। -­ ¡«î¤ ⥫ì\

af=double(subs(Af,[Jx Om],[jx om])) bf=double(subs(Bf,[Jx Om],[jx om])) cf=double(subs(Cf,[Jx Om],[jx om]))v df=Dfv

{¯¥à¥¢®¤ ¬ âà¨æ ¨§ ᨬ¢®«ì­®© ¢ ç¨á«®¢ãî ä®à¬ã\ stl=ss(af,bf,cf,df)v

{ä®à¬¨à®¢ ­¨¥ á¨á⥬ë,§ ¤ ­­®© ¢ ä®à¬¥ ãà ¢­¥­¨© á®- áâ®ï­¨ï (á¬. [82])\

t=0:0.1:30v

u=zeros(size(t))'v x0=[0 0.25 5e-3 0 0]'v

{§ ¤ ­¨¥ ¨­â¥à¢ « ¨ è £ ¬®¤¥«¨à®¢ ­¨ï, ¢å®¤­®£® ¢®§- ¤¥©áâ¢¨ï ¨ ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨©\

[y,ti,x]=lsim(stl,u,t,x0)v

plot(ti,x(:,2),ti,y(:,2)),grid,title('M(t)')gure plot(ti,x(:,3),ti,y(:,3)),grid,title('V(t)')

{¬®¤¥«¨à®¢ ­¨¥ á¨áâ¥¬ë ¨ ¢ë¢®¤ £à 䨪®¢ ¯à®æ¥áᮢ.

¥§ã«ìâ âë ¬®¤¥«¨à®¢ ­¨ï ¯®ª § ­ë èâà¨å-¯ã­ªâ¨à­®© «¨­¨¥© ­ à¨á. 8.3

ëè¥ à áᬮâ७ ¯à®æ¥¤ãà ᨭ⥧ ­ ¡«î¤ ⥫¥©, ®á­®- ¢ ­­ ï ­ § ¤ ­¨¨ âॡ®¢ ­¨© ª ¤¨­ ¬¨ª¥ ¯à®æ¥áá ®æ¥­¨¢ - ­¨ï. áâ® ¯à¨ ᨭ⥧¥ á«¥¤ã¥â â ª¦¥ ãç¨âë¢ âì ¢«¨ï­¨¥

­¥¨§¬¥à塞ëå ¢­¥è­¨å ¢®§¬ã饭¨© ­ â®ç­®áâì ¯®«ãç ¥¬ëå ®æ¥­®ª. ¨­â¥§ ­ ¡«î¤ ⥫¥© ¯®«­®£® ¯®à浪 , ¯à¨ ª®â®- ஬ ¤®á⨣ ¥âáï ¬¨­¨¬¨§ æ¨ï ¤¨á¯¥àᨨ ®è¨¡ª¨ ®æ¥­¨¢ ­¨ï ¯à¨ á«ãç ©­ëå ¢­¥è­¨å ¢®§¤¥©á⢨ïå (®¯â¨¬ «ì­ëå 䨫ì- â஢ «¬ ­ { ìîá¨), à áᬮâ७, ­ ¯à¨¬¥à, ¢ [8, 47, 88].

8.5. ¤ ç¨ ¨ ã¯à ¦­¥­¨ï

1. гбвм ­ ¤¥©бв¢г¥в ¢®§¬гй¥­¨¥, ¨¬¥ой¥¥ ªа®¬¥ «¨­¥©­®©, £ ମ­¨з¥бªго б®бв ¢«пойго б ­¥ª®в®а®© з бв®-

⮩ f ¨ ¬¯«¨â㤮© Mf : M(t) = M0 + V t + Mf sin f t: ஬¥ в®£®, ¯гбвм ¯а¨бгвбв¢г¥в ¤¤¨в¨¢­ п ¯®£а¥и­®бвм ¨§¬¥а¥­¨© v(t), ª®â®àãî â ª¦¥ áç¨â ¥¬ £ ମ­¨ç¥áª®© á ç áâ®â®© v

200

¨ ¬¯«¨â㤮© v0: à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, â.¥.

¨§¬¥àï¥¬ë© ¢ë室

®¡ê¥ªâ y(t) = !x(t) + v0 sin f t: ©â¨

¬¯«¨âã¤ë á®áâ ¢«ï-

 

^

îé¨å ®è¨¡ª¨ ®æ¥­¨¢ ­¨ï "M (t) = M(t)

; M(t) (¢ ãáâ ­®¢¨¢-

襬áï ०¨¬¥) ¯® ¢®§¬ã饭¨ï¬ ¨ è㬠¬ ¨§¬¥à¥­¨©

) ¤«ï n-¬¥à­®£® ­ ¡«î¤ â¥«ï «¬ ­ (8.20)\

¡) ¤«ï ­ ¡«î¤ ⥫ï 㥭¡¥à£¥à (8.21), (8.22).

à ¢­¨âì ¯®«ã祭­ë¥ १ã«ìâ âë ¯à¨ ®¤¨­ ª®¢ëå §­ ç¥- ­¨ïå ¯ à ¬¥âà 0:

2. á. 42 ¯à¨¢¥¤¥­ «¨­¥ ਧ®¢ ­­ ï ¬®¤¥«ì 㣫®¢®£® ¯à®¤®«ì­®£® ¤¢¨¦¥­¨ï á ¬®«¥â . ।¯®« £ ï, çâ® ¨§¬¥àï- ¥âáï ⮫쪮 㣮« â ­£ ¦ #(t), ᨭ⥧¨à®¢ âì ­ ¡«î¤ ⥫ì

¯®«­®£® ¯®à浪 ¨ ­ ¡«î¤ ⥫ì 㥭¡¥à£¥à ¤«ï ®æ¥­¨¢ - ­¨ï ®áâ «ì­ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå á®áâ®ï­¨ï (!z(t) (t)).

3. «ï á¨á⥬ë, § ¤ ­­®© ¬ âà¨æ ¬¨ [3]

 

2 0

1

1 3

 

2 13

 

1

0

0

 

4

1

1

1

5

 

4

0

5

 

0

0

1

A =

0

1

0

B =

1

C =

 

 

 

 

¯®áâநâì ­ ¡«î¤ â¥«ì ¯¥à¢®£® ¯®à浪 .

4. «ï á¨á⥬ë, § ¤ ­­®© ¬ âà¨æ ¬¨ [3]

 

6

0

1

 

1

1

7

6

0

7

 

1

0

 

0

0

1

 

A = 2

0

0

1 0

3

B = 2

0

3 C = [ 2 0 1 0 ]

 

4

0

0

 

0

1

5

4

0

5

 

 

 

 

 

 

¯®áâநâì ­ ¡«î¤ ⥫ì á ᮡá⢥­­ë¬¨ §­ 祭¨ï¬¨

s1

= s2 = s3

= ;1.

 

 

 

 

 

 

5. ãáâì S1

{ «¨­¥©­ ï á¨á⥬ á ¯®áâ®ï­­ë¬¨ ¯ à ¬¥-

âà ¬¨, ¢å®¤®¬ u(t) ¨ ¢ë室®¬ y(t) [174]). ¨á⥬ S2 ï¥âáï ­ ¡«î¤ ⥫¥¬ á®áâ®ï­¨ï ¤«ï á¨á⥬ë S1, ¯®¤ª«î祭­ë¬ ª S1 ­ ¤«¥¦ 騬 ®¡à §®¬.

®ª § âì, çâ® ®¡ê¥¤¨­¥­­ ï á¨á⥬ S = fS1, S2g ­¥ã¯à - ¢«ï¥¬ ¯® ¢å®¤ã u(t):

201