Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления

ﬨ, ­ «®£¨ç­ë¬¨ ãà ¢­¥­¨ï¬ ®¡ê¥ªâ ã¯à ¢«¥­¨ï, ¢ ª®â®- àëå ­¥¨§¢¥áâ­ë¥ ¯ à ¬¥âàë § ¬¥­¥­ë ¨å (­ áâà ¨¢ ¥¬ë¬¨) ®æ¥­ª ¬¨.

à¥¡ã¥¬ë¥ á¢®©á⢠á¨á⥬ë ã¯à ¢«¥­¨ï ®¡ëç­® § ¤ îâáï íâ «®­­®© ¬®¤¥«ìî [2, 74, 75, 93]. в ¬®¤¥«м ¬®¦¥в ¢ª«о- з вмбп ¢ б¨бв¥¬г п¢­®, ¢ ¢¨¤¥ ­¥ª®в®а®£® ¤¨­ ¬¨з¥бª®£® §¢¥­ , ®¡« ¤ ой¥£® § ¤ ­­®© а¥ ªж¨¥© ­ ª®¬ ­¤­®¥ (§ ¤ - ой¥¥) ¢®§¤¥©бв¢¨¥, «¨¡® ­¥п¢­® { ¯а¨бгвбв¢®¢ вм ¢ ¢¨¤¥ ­¥-

­ á¨á⥬ë á ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®© ¨ ᨣ­ «ì­®© ¤ ¯â 樥©.

á¨á⥬ å á ᨣ­ «ì­®© ­ áâனª®© íä䥪⠤ ¯â 樨 ¤®- á⨣ ¥âáï ¡¥§ ¨§¬¥­¥­¨ï ¯ à ¬¥â஢ ॣã«ïâ®à ¯ã⥬ 㢥- «¨ç¥­¨ï ¥£® ª®íää¨æ¨¥­â®¢ ¨«¨ ®¡¥á¯¥ç¥­¨¥¬ ᪮«ì§ïé¨å ०¨¬®¢ (á¬. ¯. 12.1.). ª¨¥ á¨áâ¥¬ë ¡¥§ãá«®¢­® ¯à®é¥

¢à¥ «¨§ 樨, ®¤­ ª® ®­¨ ®¡¥á¯¥ç¨¢ îâ ¦¥« ¥¬®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ⮫쪮 ¢ ®â­®á¨â¥«ì­® 㧪®¬ ¤¨ ¯ §®­¥ §­ 祭¨© ¯ à ¬¥â஢ ®¡ê¥ªâ .

á¨á⥬ å á ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®© ¤ ¯â 樥© æ¥«ì ¤®á⨣ - ¥âáï ¨§¬¥­¥­¨¥¬ ¯ à ¬¥â஢ ॣã«ïâ®à . ⨠á¨áâ¥¬ë ¡®«¥¥ ã­¨¢¥àá «ì­ë, ®¤­ ª® ®¡« ¤ îâ ¡®«¥¥ á«®¦­®© áâàãªâãன.

«£®à¨â¬ë ¤ ¯â 樨 ¨á¯®«ì§ãîâ ᨣ­ « à áᮣ« ᮢ ­¨ï ¬¥¦¤ã ¢ë室 ¬¨ á¨áâ¥¬ë ¨ íâ «®­­®© ¬®¤¥«¨. «®¦­®áâì íâ¨å á¨á⥬ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª®«¨ç¥á⢮¬ ­ áâà ¨¢ ¥¬ëå ¯ à - ¬¥â஢.

«ï ¯®¢ë襭¨ï â®ç­®á⨠á¨á⥬ ¨ ᪮à®á⨠¤ ¯â 樨 ¬®¦­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ᨣ­ «ì­®-¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ «£®à¨â¬ë, ¢ ª®в®але б®з¥в ¥вбп б¨£­ «м­ п ¨ ¯ а ¬¥ва¨з¥бª п ¤ ¯в - ж¨п. в ª¨е б¨бв¥¬ е б¨£­ «м­ п ¤ ¯в ж¨п ®¡¥б¯¥з¨¢ ¥вбп ®¡лз­® ¡лбвал¬ а¥«¥©­л¬ «£®а¨в¬®¬. а ¬¥ва¨з¥бª п ¤ ¯в ж¨п ¨¬¥¥в "г§ªго ¯®«®бг ¯а®¯гбª ­¨п" ¨ б«г¦¨в ¤«п бв ¡¨«¨§ ж¨¨ ª®ндд¨ж¨¥­в®¢ ¯¥а¥¤ з¨ ¢ § ¤ ­­ле ¯а¥¤¥« е.ª¨¥ б¨бв¥¬л, ªа®¬¥ ¡лбвத¥©бв¢¨п ¨ в®з­®бв¨, в ª¦¥ ¡®- «¥¥ ¯а®бвл ¢ а¥ «¨§ ж¨¨, ¯®бª®«мªг ¯а¨бгвбв¢¨¥ б¨£­ «м­®© ª®¬¯®­¥­вл ¯®§¢®«п¥в г¬¥­ми¨вм з¨б«® ­ бва ¨¢ ¥¬ле ¯ -

312

à ¬¥â஢.

¤¥­â¨ä¨ª 樮­­ë© ¯®¤å®¤ ("¬¥â®¤ ­ áâà ¨¢ ¥¬®© ¬®¤¥- «¨") à áᬮâ७ ¢ ¯. 12.6. ¬¥â¨¬, çâ® §¤¥áì â ª¦¥ ¬®¦­®

¯à®æ¥¤ãàë, ®â­®áï騥áï ª ª« ááã ¬¥â®¤®¢ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮- £® ã«ãç襭¨ï [2, 78, 93, 103]. ª ª ª ¢ ãá«®¢¨ïå ­¥®¯à¥¤¥- «¥­­®á⨠¤®¡¨âìáï áà §ã ¢ë¯®«­¥­¨ï 楫¨ ã¯à ¢«¥­¨ï, ¢®®¡- é¥ £®¢®àï, ­¥¢®§¬®¦­®, â® «£®à¨â¬ ¤ ¯â 樨 ®áãé¥á⢫ï- ¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮¥ ¨§¬¥­¥­¨¥ ­ áâà ¨¢ ¥¬ëå ¯ à ¬¥â஢,

¯â 樨 ®ª §ë¢ ¥â ¢ë¡®à ª®íää¨æ¨¥­â ãᨫ¥­¨ï (¯ à ¬¥âà è £ ) «£®à¨â¬ . «ï à¥è¥­¨ï í⮩ § ¤ ç¨ ¨§¢¥áâ­ë â ª¨¥ ¬¥â®¤ë, ª ª ¬¥â®¤ ­ ¨¬¥­ìè¨å ª¢ ¤à ⮢, ¬¥â®¤ áâ®å áâ¨-

ç¥áª®© ¯¯à®ªá¨¬ 樨 ¨ ¬¥â®¤ ४ãà७â­ëå 楫¥¢ëå ­¥à -

¢¥­áâ¢. 7

â ¯ 4. áá«¥¤®¢ ­¨¥ à ¡®â®á¯®á®¡­®á⨠¤ ¯â¨¢­®© á¨á⥬ë. ª«îç¨â¥«ì­ë¬ íâ ¯®¬ ᨭ⥧ ¤ ¯â¨¢­®£® à¥- £ã«ïâ®à , ¯à¥¤¢ àïî騬 à §à ¡®âªã ¥£® â¥å­¨ç¥áª®© ॠ«¨- § 樨, ï¥âáï ¨áá«¥¤®¢ ­¨¥ à ¡®â®á¯®á®¡­®á⨠á¨á⥬ë á ãç¥â®¬ å à ªâ¥à ¢®§¬ã饭¨©, ¢­¥è­¨å ¢®§¤¥©á⢨©, ®£à -

­ ç¨â¥«ì­ãî à®«ì ¢ ®¡®á­®¢ ­¨¨ à ¡®â®á¯®á®¡­®á⨠¤ - ¯â¨¢­ëå á¨á⥬ ã¯à ¢«¥­¨ï ¨£à ¥â ¯àאַ© ¬¥â®¤ ï¯ã­®¢ [30, 66, 64, 76, 93, 103]. ® íâ®â ¬¥â®¤ ï¥âáï ¢ ®á­®¢­®¬ ¨­áâà㬥­â®¬ ¤«ï ⥮à¥â¨ç¥áª¨å ¨áá«¥¤®¢ ­¨© ¨ ­¥ ¬®¦¥â ¤ âì ®â¢¥âë ­ ¢á¥ ¢®¯à®áë, ª á î騥áï ãá⮩稢®á⨠¨ ª - ç¥áâ¢ à ¡®âë ¤ ¯â¨¢­ëå ॣã«ïâ®à®¢ ¢ ॠ«ì­ëå ãá«®¢¨- ïå. ®í⮬㠡®«ì讥 ¬¥áâ® ¢ ¨áá«¥¤®¢ ­¨¨ ¤ ¯â¨¢­ëå á¨- á⥬ ã¯à ¢«¥­¨ï ¨£à ¥â ¬®¤¥«¨à®¢ ­¨¥. ᮡ¥­­® ¢¥«¨ª® §­ 祭¨¥ ¬®¤¥«¨à®¢ ­¨ï ­ íâ ¯¥ ¯®«ã祭¨ï ª®«¨ç¥á⢥­­ëå å à ªâ¥à¨á⨪ á¨á⥬ë. «ï ã¯à®é¥­¨ï ¯à®æ¥¤ãàë ¬®¤¥«¨-

7 ¥ª®â®àë¥ á¢¥¤¥­¨ï ® ¬¥â®¤¥ ४ãà७â­ëå 楫¥¢ëå ­¥à ¢¥­á⢠¯à¨- ¢¥¤¥­ë ¢ ਫ®¦¥­¨¨ B., á. 413.

313

а®¢ ­¨п ¨ ¬­®£®¢ а¨ ­в­®£® ­ «¨§ б¨бв¥¬ ¯а¨¬¥­повбп ¯а®¡«¥¬­®-®а¨¥­в¨а®¢ ­­л¥ ¯ ª¥вл ¯а¨ª« ¤­ле ¯а®£а ¬¬.­ бв®пй¥¥ ¢а¥¬п ¯®«гз¨«¨ ­ ¨¡®«ми¥¥ а б¯а®бва ­¥­¨¥ ¯ ª¥вл MATLAB ¨ Simulink [32, 72, 81, 82], з бв® ¨б¯®«м§г¥- ¬л¥ ¨ ¢ ¤ ­­®© ª­¨£¥ (б¬. в ª¦¥ [10]).

¤® § ¬¥â¨âì, çâ® å à ªâ¥à­®© ®á®¡¥­­®áâìî ¯à®æ¥áá ¯à®¥ªâ¨à®¢ ­¨ï ¤ ¯â¨¢­ëå á¨á⥬ ã¯à ¢«¥­¨ï ï¥âáï ¥£® 横«¨ç­®áâì. ª ¯à ¢¨«®, «£®à¨â¬ ¤ ¯â 樨 㤠¥âáï ᨭ- ⥧¨à®¢ âì ¯à¨ §­ ç¨â¥«ì­®¬ ã¯à®é¥­¨¨ ¬®¤¥«¨ ®¡ê¥ªâ , ¨ ­ á«¥¤ãîé¨å áâ ¤¨ïå ¯à®¥ªâ¨à®¢ ­¨ï ¬®¦¥â ®ª § âìáï, çâ® ¢ë¡à ­­ë© «£®à¨â¬, ¨«¨ ¤ ¦¥ ¬¥â®¤ ¤ ¯â¨¢­®£® ã¯à ¢«¥- ­¨ï, ­¥ ®â¢¥ç ¥â ãá«®¢¨ï¬ ¯®áâ ¢«¥­­®© § ¤ ç¨ ¨ ¯à®æ¥áá ¯à®¥ªâ¨à®¢ ­¨ï ¯®¢â®àï¥âáï.

¡à ⨬áï ª § ¤ ç¥ ¤ ¯â¨¢­®£® ã¯à ¢«¥­¨ï ­¥¯à¥à뢭ë- ¬¨ ®¡ê¥ªâ ¬¨. 8 á­®¢­®¥ ç¨á«® ¡¥á¯®¨áª®¢ëå «£®à¨â-

¬®¢ ¤ ¯в ж¨¨, ¤«п ª®в®але ¨¬¥овбп гб«®¢¨п а ¡®в®б¯®- б®¡­®бв¨, п¢«повбп «£®а¨в¬ ¬¨ ᪮à®áâ­®£® £à ¤¨¥­â (á¬. [9, 103, 106] ¨ ਫ®¦¥­¨¥ A. á. 407). ®í⮬㠨§«®¦¥­¨¥ ¡ã- ¤¥â ¢¥áâ¨áì ­ ®á­®¢¥ 㪠§ ­­®© á奬ë, å®âï ¬­®£¨¥ ¨§ à á- ᬮâ७­ëå «£®à¨â¬®¢ ¡ë«¨ ¯®«ãç¥­ë ­¥§ ¢¨á¨¬®.

¡è¨à­ ï ¡¨¡«¨®£à ä¨ï ­ ¤ ­­ãî ⥬ã ᮤ¥à¦¨âáï ¢ ®¡- §®à å [9, 141], â ª¦¥ ¢ ¬®­®£à ä¨ïå [23, 74, 93, 103, 106] ¨ ã祡­®© «¨â¥à âãॠ[2, 7, 8]. ®«¥¥ ä®à¬ «¨§®¢ ­­®¥ ¨§«®- ¦¥­¨¥, ᮤ¥à¦ 饥 â ª¦¥ àï¤ ­®¢ëå «£®à¨â¬®¢ ¤ ¯â¨¢­®- £® ã¯à ¢«¥­¨ï ¯® ¢ë室ã (¡¥§ ¨§¬¥à¥­¨ï ¯à®¨§¢®¤­ëå), á¬. ¢ [64].

ª ®â¬¥ç¥­® ¢ëè¥, 楫ìî ¯à¨¬¥­¥­¨ï ¬¥â®¤®¢ ¤ ¯â¨¢­®- £® ã¯à ¢«¥­¨ï ï¥âáï ®¡¥á¯¥ç¥­¨¥ § ¤ ­­ëå ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å ᢮©á⢠á¨áâ¥¬ë ¢ ãá«®¢¨ïå ¯à¨®à­®© ­¥®¯à¥¤¥«¥­­®á⨠¯ - à ¬¥â஢ ®¡ê¥ªâ ¨ å à ªâ¥à¨á⨪ ¢­¥è­¨å ¢®§¬ã饭¨©.

12.4. ¤ ¯â¨¢­ë¥ á¨á⥬ë á ®© íâ «®­­®© ¬®¤¥«ìî

12.4.1.«£®à¨â¬ë ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®© ¤ ¯â 樨

1. áâனª ª®íää¨æ¨¥­â®¢ ãà ¢­¥­¨© á®áâ®ï­¨ïáᬠâਢ ¥âáï ®¡®¡é¥­­ë© ­ áâà ¨¢ ¥¬ë© ®¡ê¥ªâ ( )

8 ®«¥¥ в®з­® ¡л«® ¡л бª § вм "ª «£®а¨в¬ ¬ г¯а ¢«¥­¨п ­¥¯а¥ал¢- ­®£® ¤¥©бв¢¨п, " в ª ª ª ¤¨бªа¥в­л¥ «£®а¨в¬л г¯а ¢«¥­¨п ¯а¨¬¥­повбп ¨ ¤«п ­¥¯а¥ал¢­ле ®¡к¥ªв®¢.

314

£¤¥ x(t) 2Rn { ¢¥ªâ®à á®áâ®ï­¨ï ®¡®¡é¥­­®£® ®¡ê¥ªâ \ r(t)2 Rm { ¢­¥è­¥¥ ª®¬ ­¤­®¥ (§ ¤ î饥) ¢®§¤¥©á⢨¥\ A, B { n n- ¨ n m-¬ âà¨æë ­¥¨§¢¥áâ­ëå ¯ à ¬¥â஢ \ A, B { n n-

¨ n m-¬ âà¨æë ­ áâà ¨¢ ¥¬ëå ¯ à ¬¥â஢. ¥«ì ã¯à ¢«¥- ­¨ï { ᮢ¯ ¤¥­¨¥ ¢¥ªâ®à á®áâ®ï­¨ï x(t) á ¢¥ªâ®à®¬ á®-

£¤¥ AM , BM { n n- ¨ n m-¬ âà¨æë, ®¯¨áë¢ î騥 ¦¥« ¥¬ãî ¤¨­ ¬¨ªã § ¬ª­ã⮩ á¨á⥬ë (¬ âà¨æ AM £ãࢨ楢 ).

«£®à¨â¬ë ¤ ¯â¨¢­®£® ã¯à ¢«¥­¨ï ¤«ï à¥è¥­¨ï ¯®áâ -

¢«¥­­®© § ¤ ç¨ ¯®«ãç¥­ë ¢ à拉 ¨§¢¥áâ­ëå ¯ã¡«¨ª 権 ¯® ⥮ਨ ¡¥á¯®¨áª®¢ëå á ¬®­ áâà ¨¢ îé¨åáï á¨á⥬ á íâ «®­-

®ç¥¢¨¤­®, ¢ë¯®«­¥­® ¯à¨ = colfAM ; A BM ; Bg: âà¨æ

9¥ªâ®à®¬ ­ áâà ¨¢ ¥¬ëå ¯ à ¬¥â஢ ¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ ï¥âáï

­¡®à í«¥¬¥­â®¢ ¬ âà¨æ A(t), B(t):

315

P = PT > 0 ¤®«¦­ 㤮¢«¥â¢®àïâì ãà ¢­¥­¨î ï¯ã­®¢ 10 P AM + ATM P = ;G ¤«ï ­¥ª®â®à®© G = GT > 0: ¥©á⢨⥫쭮, ⮣¤ áãé¥áâ¢ã¥â ­¥ª®â®à®¥ 0 > 0 â ª®¥ çâ®

!(x t) = e(t)T P AM e(t) = ;0:5e(t)T Ge(t) ; 0Qt:

á«®¢¨¥ à®á⠢믮«­¥­® ¤«ï ®£à ­¨ç¥­­®£® xM (t) â.¥. ¤«ï ®£à ­¨ç¥­­®£® ª®¬ ­¤­®£® ᨣ­ « r(t):

ਠ¢«¨ï­¨¨ ¢®§¬ã饭¨© ¬®¦¥â ¢®§­¨ª­ãâì ­¥®£à ­¨ç¥­- ­ë© à®áâ §­ 祭¨© ¯ à ¬¥â஢ ॣã«ïâ®à . «ï ¥£® ¯à¥¤®â-

¢à 饭¨ï 楫¥á®®¡à §­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ॣã«ïਧ®¢ ­­ë© «-

£¤¥ A B { ­¥ª®â®àë¥ ¯à¨®à­ë¥ ®æ¥­ª¨ ­ áâà ¨¢ ¥¬ëå ¯ à ¬¥â஢ (¯®¤à®¡­¥¥ á¬. ¢ [64]).

ª®à®áâì ­ áâனª¨ ¯ à ¬¥â஢ ¬®¦­® 㢥«¨ç¨âì, ¥á«¨

¨á¯®«ì§®¢ âì ¢ ª®­¥ç­®-¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®© ä®à¬¥ (A.6), (A.8), ª®â®à ï ¤ ¥â á«¥¤ãî騥 ¯à®¯®à樮­ «ì­®-¤¨ää¥à¥­æ¨-

®¡« ¤ îâ ¨¤¥­â¨ä¨æ¨àãî騬¨ ᢮©á⢠¬¨, â.¥. A+ A(t)! ! AM B + B(t) ! BM ¯à¨ t ! 1 ¥á«¨ ¢¥ªâ®à-äã­ªæ¨ï colfxM (t) r(t)g ®¡« ¤ ¥â ¤®áâ â®ç­ë¬ à §­®®¡à §¨¥¬, â.¥. ¬®- ¤¥«ì (12.26) ¤®áâ â®ç­® ¯®«­® ¢®§¡ã¦¤ ¥âáï ¢å®¤­ë¬ ᨣ­ -

«®¬ (­ ¯à¨¬¥à, r(t) ᮤ¥à¦¨â ­¥ ¬¥­¥¥ n à §«¨ç­ëå ¯® ç áâ®- ⥠£ ମ­¨ª, ¬®¤¥«ì ¯®«­®áâìî ã¯à ¢«ï¥¬ ï).

2. áâனª ª®íää¨æ¨¥­â®¢ ॣã«ïâ®à

10 뢮¤ í⮣® ãà ¢­¥­¨ï ¨§ ãá«®¢¨© áãé¥á⢮¢ ­¨ï ã «¨­¥©­®© á¨áâ¥- ¬ë ª¢ ¤à â¨ç­®© ä㭪樨 ï¯ã­®¢ ¯à¨¢¥¤¥­ ¢ 11.4.4. ­ á. 274.

316

¤¥áì K = B+B K = B+(A ; A) â.¥. A ; A L(B)

r M x M M

BM L(B) £¤¥ L(B) { «¨­¥©­®¥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮, ¯®à®¦¤¥­- ­®¥ á⮫¡æ ¬¨ ¬ âà¨æë B: â® ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì íª¢¨¢ «¥­â­® ᮮ⭮襭¨î

á«®¢¨ï (12.35) ­ §ë¢ îâáï ãá«®¢¨ï¬¨ à桥ࣥà , ãá«®¢¨- ﬨ ¤ ¯â¨à㥬®áâ¨, ᮢ¬¥á⨬®á⨠¨«¨ â®ç­®£® ᮮ⢥â- áâ¢¨ï ¬®¤¥«¨".

ਠ¢ë¯®«­¥­¨¨ íâ¨å ãá«®¢¨© áãé¥áâ¢ãîâ ¬ âà¨æ P =

=PT >0 ¨ ¢¥ªâ®à-äã­ªæ¨ï u (t)â ª¨¥, çâ® !(x t) ;e(t)TGe(t); 0Qt â.¥. ãá«®¢¨¥ ¤®á⨦¨¬®á⨠(A.10) ¢ë¯®«­¥­® ¯à¨(Qt) = 0Qt: âà¨æ P ¬®¦¥â ¡ëâì ­ ©¤¥­ ¨§ à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨ï ï¯ã­®¢

P AM + ATM P = ;G G = GT > 0:

317

®£¤ ¢ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®© ä®à¬¥ § ¯¨áë¢ ¥âáï ª ª [41, 75]

«£®à¨â¬ë ¢¨¤ (12.37) ¡ë«¨ ¯®«ãç¥­ë ¢ à ¡®â å [38, 41, 75].§¢¥áâ­ë १ã«ìâ âë, ᮣ« á­® ª®â®àë¬ ç¨á«® ¯à®¨§¢®¤- ­ëå ®â ¢ë室 ®¡ê¥ªâ á ¯¥à¥¤ â®ç­®© ä㭪樥© W(s)= A(B(ss)) ¨á¯®«ì§ã¥¬ëå ¢ «£®à¨â¬¥ ã¯à ¢«¥­¨ï, ¬®¦­® á­¨§¨âì ¤®

n; k ; 1 £¤¥ k = degB(s): ਠí⮬ âॡã¥âáï ¬¨­¨¬ «ì­®-

䧮¢®áâì ®¡ê¥ªâ , â.¥. £ãࢨ楢®áâì ¯®«¨­®¬ B(s) (¯® íâ®- ¬ã ¯®¢®¤ã á¬. â ª¦¥ ¯. 12.1. ã⢥ত¥­¨¥ ®â­®á¨â¥«ì­® ¯¥-

। â®ç­®© ä㭪樨 (12.18) ­ á. 304).

஬¥ ⮣®, ­ 稭 ï á 70-å £®¤®¢ ¯®ï¢¨«®áì ¡®«ì讥 ç¨- á«® ¯ã¡«¨ª 権, ¯®á¢ï饭­ëå § ¤ ç¥ ¤ ¯â¨¢­®£® ã¯à ¢«¥- ­¨ï ¡¥§ ¨§¬¥à¥­¨ï ¯à®¨§¢®¤­ëå ®â ¢ë室 [39, 64, 69]. 12.6.5. ªà ⪮ ®¯¨áë¢ ¥âáï ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ¤«ï í⮩ 楫¨ ¤ ¯â¨¢­ëå ­ ¡«î¤ îé¨å ãáâனáâ¢. à㣮© ¯®¤å®¤, ®á­®¢ ­­ë© ­ ¬¥-

⮤ å ­¥ï¢­®© íâ «®­­®© ¬®¤¥«¨ ¨ èã­â¨à®¢ ­¨ï, ¯à¥¤áâ - ¢«¥­ ¢ ¯. 12.7.

12.4.2.«£®à¨â¬ë ᨣ­ «ì­®© ¤ ¯â 樨

«£®а¨в¬л б¨£­ «м­®© ¤ ¯в ж¨¨ [74, 75, 170] ­¥ ¯а¥¤¯®« £ - ов ­ бва®©ª¨ ¯ а ¬¥ва®¢ а¥£г«пв®а . ­¨ ®в­®бпвбп ª

¢ª®­¥ç­®© ä®à¬¥.

áᬮâਬ á­®¢ § ¤ çã á«¥¦¥­¨ï á ®© íâ «®­­®© ¬®-

¬¥â஢ ­¥¯®á।á⢥­­® ᨣ­ « ã¯à ¢«¥­¨ï u(t) ( (t) u(t)) ¨ ¯®«ã稬 «£®à¨â¬ ã¯à ¢«¥­¨ï ¢ ¢¨¤¥ ¢ ª®­¥ç­®© ä®à- ¬¥ (A.15), (A.9). «ï í⮣® ¢ëç¨á«¨¬ ᪮à®áâ­®© £à ¤¨¥­â

ru!(x ) = BT P e(t):

318

®ç¥¢¨¤­®, â ª ª ª ­¥â ­ áâà ¨¢ ¥¬ëå ¯ à ¬¥â஢). ਠ¨§- ¬¥­¥­¨¨ ¯ à ¬¥â஢ ®¡ê¥ªâ ¢ è¨à®ª¨å ¯à¥¤¥« å 楫¥á®- ®¡à §­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ᨣ­ «ì­®-¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ «£®à¨â- ¬ë, ®¯¨á ­­ë¥ ¢ ­¨¦¥.

12.4.3. «£®à¨â¬ë ᨣ­ «ì­®-¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®© ¤ ¯â 樨

á¨á⥬ å á ᨣ­ «ì­®-¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®© ¤ ¯â 樥© [43, 75] ᨣ­ «ì­ ï á®áâ ¢«ïîé ï ¢¢®¤¨âáï ®¡ëç­® ¤«ï ®¡¥á¯¥ç¥­¨ï ¢ë᮪®© ᪮à®á⨠­ áâனª¨ ¨ ª®¬¯¥­á 樨 ¡ëáâண® ¨§¬¥-

­¥­¨п ¯ а ¬¥ва®¢. а ¬¥ва¨з¥бª п ¤ ¯в ж¨п ¢ª«оз ¥в ¨­в¥£а «м­го б®бв ¢«пойго ¤«п ª®¬¯¥­б ж¨¨ ¯ а ¬¥ва¨- з¥бª¨е ¨ ª®®а¤¨­ в­ле ¢®§¬гй¥­¨©, ª®в®ал¥ ¬¥­повбп ¤®- бв в®з­® ¬¥¤«¥­­®, ­® ¢ и¨а®ª¨е ¯а¥¤¥« е.

ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à à áᬮâਬ á¨á⥬ã, ¢ ª®â®àãî ¢å®- ¤ïâ ®¡ê¥ªâ ã¯à ¢«¥­¨ï (12.31) ¨ íâ «®­­ ï ¬®¤¥«ì (12.26).

çâ® ¢ë¯®«­¥­¨¥ ãá«®¢¨© (12.35) ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â ¥¤¨­á⢥­­®áâì

¢¨¤ (12.39) â ª¨¥, çâ® ¢ë¯®«­ï¥âáï ãá«®¢¨¥ ¤®á⨦¨¬®á⨠(A.10). âà¨æ P ­ 室¨âáï ª ª à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï ï¯ã- ­®¢ P AM + ATM P = ;G £¤¥ G = GT > 0:

® ­ «®£¨¨ á ¢ëà ¦¥­¨¥¬ (12.39) ¢ë¡¥à¥¬ «£®à¨â¬ ã¯à - ¢«¥­¨ï ¢ ®á­®¢­®¬ ª®­âãॠ¢ ¢¨¤¥

319

£¤¥ KxM (t) Kr (t) us(t) { ­ áâà ¨¢ ¥¬ë¥ ¯ à ¬¥âàë, ®¡à §ãî- 騥 ¢¥ªâ®à (t) = colfKxM (t) Kr (t) us (t)g: ¤ ¢ ïáì ¬ âà¨æ¥© ; ¢ ¡«®ç­®-¤¨ £®­ «ì­®© ä®à¬¥

¬®á⨠(12.35). â® ¯à¨¢®¤¨â ª á«®¦­®© áâàãªâãॠá¨áâ¥¬ë ¤«ï ®¡ê¥ªâ®¢ ¢ë᮪®£® ¯®à浪 ¨ ¬­®£®á¢ï§­ëå (MIMO) ®¡ê- ¥ªâ®¢ [74, 93]. áᬮâ७­ë¥ ¢ á«¥¤ãî饬 ¯ à £à ä¥ «£®- à¨â¬ë á ­¥ï¢­®© ¬®¤¥«ìî, â ª¦¥ ¡«¨§ª¨¥ ª ­¨¬ «£®à¨â¬ë á¨á⥬ á ¯¥à¥¬¥­­®© áâàãªâãன (á¬. £« ¢ã 12.1.) «¨è¥­ë í⮣® ­¥¤®áâ ⪠. ®í⮬ã â ª¨¥ á¨áâ¥¬ë ¬®£ãâ ¡ëâì à¥- ª®¬¥­¤®¢ ­ë, ª®£¤ á¨á⥬ë á ®© ¬®¤¥«ìî ­¥à¥ «¨§ã¥¬ë «¨¡® ᫨誮¬ á«®¦­ë ¤«ï ¨á¯®«ì§®¢ ­¨ï.

12.5.¤ ¯â¨¢­ë¥ á¨á⥬ë á ­¥ï¢­®© íâ «®­­®© ¬®¤¥- «ìî

бᬮва¨¬ в¥¯¥ам ¬¥в®¤л ¯аאַ£® ¤ ¯в¨¢­®£® г¯а ¢«¥- ­¨п, ¢ ª®в®але ¬®¤¥«м ­¥ ¢ª«оз¥­ ¢ б¨бв¥¬г "п¢­®" { ¢ ¢¨¤¥ ­¥ª®в®а®£® ¤¨­ ¬¨з¥бª®£® §¢¥­ ( ­ «®£®¢®£® ¨«¨ ж¨да®¢®- £®), ¯а¨бгвбв¢г¥в "­¥п¢­®" ¢ ª з¥бв¢¥ ­¥ª®в®а®£® "íâ «®­- ­®£® ãà ¢­¥­¨ï". ਬ¥­¥­¨¥ â ª¨å á¨á⥬ á­¨¦ ¥â âॡ®¢ - ­¨ï ª áâàãªâãॠ®á­®¢­®£® ª®­âãà ¨ ¯®«­®â¥ ­ ¡«î¤ ¥¬ëå

¤­­ëå.

ª ¨ ¤«ï á¨á⥬ á ®© íâ «®­­®© ¬®¤¥«ìî, ¡ã¤ãâ à á- ᬮâà¥­ë «£®à¨â¬ë ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®© ¨ ᨣ­ «ì­®-¯ à ¬¥-

âà¨ç¥áª®© ¤ ¯â 樨. â® ª á ¥âáï ᨣ­ «ì­ëå «£®à¨â¬®¢, â®, ª ª ­¥âà㤭® ¢¨¤¥âì, ®­¨ ­¨ç¥¬ ­¥ ®â«¨ç îâáï ®â «£®- à¨â¬®¢ , 㦥 à áᬮâ७­ëå ¢ ¯. 12.1.

320

12.5.1. «£®à¨â¬ë ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®© ¤ ¯â 樨

áᬮâਬ ãà ¢­¥­¨ï ®¡®¡é¥­­®£® ­ áâà ¨¢ ¥¬®£® ®¡ê¥ª- â ¢ ¢¨¤¥

ª ª ª ¢ëà ¦¥­¨¥ x(t) P By(t) ¤®«¦­® § ¢¨á¥âì ⮫쪮 ®â ¨§¬¥à塞ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå (¨­ ç¥ ­¥¨§¬¥àï¥¬ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ ¢®©¤ãâ ¢ § ª®­ ã¯à ¢«¥­¨ï), ¯®«ãç ¥¬ ãá«®¢¨¥ P B = CT g ¤«ï ­¥ª®â®à®£® l-¬¥à­®£® ¢¥ªâ®à g: ।¯®« £ ï íâ® ãá«®¢¨¥ ¢ë- ¯®«­¥­­ë¬, § ¯¨è¥¬ ¢ ¢¨¤¥ [36]

¥è¥­¨¥ í⮩ § ¤ ç¨ ¤ ¥â á«¥¤ãîé ï ⥮६ (ç áâ®â­ ï ⥮६ á ®¡à â­®© á¢ï§ìî ¨«¨ ⥮६ ® ¯ áá¨ä¨ª 樨) [64, 104, 106].

¥®à¥¬ . «ï áãé¥á⢮¢ ­¨ï ¬ âà¨æë P = P T > 0 ¨ ¢¥ª- â®à K 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å (12.44), ­¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç­®, ç⮡ë äã­ªæ¨ï gT W(s) ¡ë« áâண®-¬¨­¨¬ «ì­®-ä §®¢®©. 11

11 ¯®¬­¨¬, çâ® ¯¥à¥¤ â®ç­ ï äã­ªæ¨ï W(s) = B(s) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â A(s)

áâண®-¬¨­¨¬ «ì­®-ä §®¢®© á¨á⥬¥, ¥á«¨ B(s) { £ãࢨ楢 (ãá⮩稢ë©) ¬­®£®ç«¥­ á⥯¥­¨ n ; 1, n = degA(s) á ¯®«®¦¨â¥«ì­ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨ [36, 106].

321