Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления
.pdfq0(A) ©¤¥¬, çâ®
|
|
1 |
Z0 |
2 |
|
|
|
|
|
||
q(A ) |
= |
'(A sin |
) sin |
d |
(11.6) |
||||||
|
|
||||||||||
|
A |
||||||||||
|
|
1 |
Z0 |
2 |
|
|
|
|
|
||
q0(A ) |
= |
'(A sin |
) cos |
d |
(11.7) |
||||||
|
A |
||||||||||
ëç¨á«¥¨ï ¯® ¯à¨¢¥¤¥ë¬ ä®à¬ã« ¬ ¤®áâ â®ç® ¯à®áâë, ¨ |
|||||||||||
¤«п ¬®£¨е в¨¯®¢ле ¥«¨¥©ле §¢¥м¥¢ ¢л¯®«повбп |
Ǭ- |
||||||||||
â¨ç¥áª¨. ¯à¨¬¥à, ¤«ï |
५¥©®£® §¢¥ |
á å à ªâ¥à¨á⨪®© |
|||||||||
'( ) = c sign( ) ¯®«ãç ¥âáï q(A) = |
4c |
q0 |
(A) = 0: |
|
|||||||
|
|
||||||||||
¡à ⨬ ¢¨¬ ¨¥ |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|||
â®, çâ® ¢ ¤ ®¬ ¬¥â®¤¥ ¢ ¢¨¤¥ àï¤ |
|||||||||||
¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¥ ¥«¨¥© ï § ¢¨á¨¬®áâì (ª ª ¯à¨ ®¡ë箩 «¨¥ ਧ 樨 ¯® ¥©«®àã), ¯à®æ¥áá (äãªæ¨ï ®â ¢à¥¬¥- ¨), çâ® ¯®§¢®«ï¥â ãç¥áâì ᯥæ¨ä¨ç¥áª¨¥ ¢â®ª®«¥¡ ⥫ìë¥ á¢®©á⢠¥«¨¥©ëå á¨á⥬.
¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨ ᨬ¬¥âà¨çëå ª®«¥¡ ¨ïå ¨ ¥ç¥â®© ®¤®§ 箩 áâ â¨ç¥áª®© ¥«¨¥©®á⨠'( ) ª ª ¢¨¤® ¨§ (11.7) q0 = 0 çâ® ã¯à®é ¥â ¤ «ì¥©è¨© «¨§.
⬥⨬ â ª¦¥, çâ® ª®íää¨æ¨¥âë £ ମ¨ç¥áª®© «¨¥- ਧ 樨 ¬®¦® ¯®«ãç¨âì ¨ ¯à¨ «¨ç¨¨ ¯®áâ®ï®© (¬¥- ¤«¥® ¬¥ïî饩áï) á®áâ ¢«ïî饩 ¢ë室¥ «¨¥©®© ç -
á⨠á¨á⥬ë: (t) = 0 + A sin t: â® ¯®§¢®«ï¥â ¨áá«¥¤®¢ âì ¥á¨¬¬¥âà¨çë¥ ª®«¥¡ ¨ï ¨ ¢«¨ï¨¥ ¢¥è¥£® ¢®§¤¥©á⢨ï á¨á⥬ã (¡®«¥¥ ¯®¤à®¡ë¥ ᢥ¤¥¨ï ¯à¨¢¥¤¥ë, ¯à¨¬¥à, ¢ [94, 113]).
¡à ⨬áï ⥯¥àì ¥¯®á।á⢥® ª ¨áá«¥¤®¢ ¨î § - ¬ªã⮩ á¨á⥬ë (11.2).
11.3.3. à ¢¥¨¥ £ ମ¨ç¥áª®£® ¡ « á
áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ § ¬ªã⮩ á¨á⥬ë (11.2), § ¯¨á ®¥ ¢ ¢¨¤¥ (11.3). ०¤¥ 祬 ®¡à â¨âìáï ª ¨áá«¥¤®¢ ¨î ¯à¥- ¤¥«ìëå 横«®¢ ¢ ¥«¨¥©®© («¨¥ ਧ®¢ ®©) á¨á⥬¥, ¯®- ¢â®à¨¬ ¯à¨¢¥¤¥ë¥ ¢ ¯. 1.6.1. á. 46, à áá㦤¥¨ï ® ॠª- 樨 «¨¥©®© á¨áâ¥¬ë £ ମ¨ç¥áª®¥ ¢å®¤®¥ ¢®§¤¥©á⢨¥ ¯à¨¬¥¨â¥«ì® ª à áᬠâਢ ¥¬®¬ã á«ãç î.
ãáâì «¨¥© ï áâ 樮 à ï á¨á⥬ ®¯¨áë¢ ¥âáï ¤¨ä- ä¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨¥¬, ª®â®à®¥ ¤«ï ª®¬¯ ªâ®á⨠§ ¯¨- ᨠ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ®¯¥à â®à®© ä®à¬¥ (á¬.(11.3)):
A(p) (t) = ;B(p) (t): 252
©¤¥¬ ç á⮥ à¥è¥¨¥ í⮣® ãà ¢¥¨ï ¯à¨ (t) = 0e t ¤«ï ¥ª®â®à®£® ¯®áâ®ï®£® 2 C: â® à¥è¥¨¥ ¡ã¤¥¬ ¨áª âì ¢ ¢¨¤¥ (t) = 0e t: ®¤áâ ®¢ª®© ¢ëà ¦¥¨© ¤«ï (t) (t) ¢ ¤ ®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯®«ã稬, çâ® ¥á«¨ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¥à¥- §® áë© á«ãç ©, â.¥. A( ) 6= 0 £¤¥ A(s) { ¬®£®ç«¥ ®â ¯¥à¥¬¥®© s 2 C ª®íää¨æ¨¥âë ª®â®à®£® ᮢ¯ ¤ îâ á á®- ®â¢¥âáâ¢ãî騬¨ ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ®¯¥à â®à®£® ¬®£®ç«¥ A(p) äãªæ¨ï (t) 㪠§ ®£® ¢¨¤ ï¥âáï à¥è¥¨¥¬, ¯à¨- 祬 0 = ;B( ) 0: ª®ç ⥫ì®, ¨áª®¬®¥ à¥è¥¨¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤
(t) = ;W«( ) (t) £¤¥ W«( ) = W«(s) s= W« (s) { ¯¥à¥¤ â®ç-
ï äãªæ¨ï, ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ãà ¢¥¨î (11.3) (á¬. (11.2) ¨ ¯. 1.6.). ®«®¦¨¬ ⥯¥àì = | : ®£¤ (t) = ;W(| ) (t) W«(| ) { ç áâ®â ï ¯¥à¥¤ â®ç ï äãªæ¨ï à áᬠâਢ ¥¬®© á¨á⥬ë. ®«ã祮¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤ ¥â ¢®§¬®¦®áâì ©â¨A( )
ॠªæ¨î £ ମ¨ç¥áª®¥ ¢å®¤®¥ ¢®§¤¥©á⢨¥ ¢ ¥à¥§®-
ᮬ á«ãç ¥. ¥©á⢨⥫ì®, ¯à¥¤áâ ¢¨¢ ¯à®æ¥áá (t) = |
|||||||||||||
|
|
0 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 cos t ª ª (t) = |
|
e| t + e;| t |
¨á¯®«ì§ãï ᢮©á⢮ á㯥à- |
||||||||||
¯®§¨æ¨¨, ¯®«ã稬 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t) = |
|
0 |
|
W« (| )e| t |
|
+ W« ( |
| )e;| t |
|
: |
||||
|
; 2 ; |
|
|
| ( ) |
; |
|
|
||||||
।áâ ¢¨¢ ⥯¥àì W« (| )=H( )e |
|
|
|
£¤¥ H( )=abs(W« (| )) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(| )) { ä §®ç áâ®â- |
||
{ ¬¯«¨â㤮ç áâ®â ï, ( ) = arg(W« |
|||||||||||||
ï å à 0ªâ¥à¨á⨪¨ «¨¥©®© ç á⨠á¨á⥬ë, ¯®«ã稬 |
|||||||||||||
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t)=; 2 H( ) e|( t+ ( ) +e;|( t+ ( )) |
|
= ; 0H( ) cos( t + ( ): |
|||||||||||
áᬮâਬ ⥯¥àì § ¬ªãâãî á¨á⥬ã á «¨¥©®© ®¡à â- ®© á¢ï§ìî, ¯®« £ ï (t) = q (t): ®« £ ï ¯®-¯à¥¦¥¬ã, çâ®(t) = 0e| t 0 6= 0 ¯®«ã稬 á¨á⥬ã ãà ¢¥¨©
(t) = ;W(| ) (t)
(t) = q (t):
®¤áâ ®¢ª®© ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï (t) ¨§ ¯¥à¢®£® ãà ¢¥¨ï ¢® ¢â®à®¥ 室¨¬, çâ® ¤ ë¥ ãà ¢¥¨ï ¡ã¤ãâ ᮢ¬¥áâë ¤«ï ¢á¥å t, ¥á«¨ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ëà ¦¥¨¥
qW«(| ) = ;1 |
(11.8) |
ª®â®à®¥ ï¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ £ ମ¨ç¥áª®£® ¡ « á |
¤«ï |
«¨¥©ëå á¨á⥬. â ª, ¤«ï áãé¥á⢮¢ ¨ï ¥§ âãå îé¨å
253
ª®«¥¡ ¨© ¢ ¢â®®¬®© «¨¥©®© á¨á⥬¥ á ¯¥à¥¤ â®ç®© äãªæ¨¥© W« (s), § ¬ªã⮩ ®âà¨æ ⥫쮩 ®¡à ⮩ á¢ï§ìî á ª®íää¨æ¨¥â®¬ q ¥®¡å®¤¨¬®, çâ®¡ë ¯à¨ ¥ª®â®à®¬ § -
票¨ ! = |
¬¯«¨â㤮-ä §®¢ ï å à ªâ¥à¨á⨪ "«¨¥©®© |
|
ç áâ¨" á¨á⥬ë W«(|!) ¯à®å®¤¨« ª®¬¯«¥ªá®© ¯«®áª®á⨠|
||
ç¥à¥§ â®çªã ( |
q |
0):9 ¬¥â¨¬, çâ® ¢ëà ¦¥¨¥ (11.8) ¥ ¯®§¢®- |
|
; |
¬¯«¨âã¤ë ª®«¥¡ ¨© 0 0 (â ª ª ª ãá«®¢¨¥ |
«ï¥â ®¯à¥¤¥«¨âì |
||
¡ « б (11.8) ¥ ᮤ¥а¦¨в нв¨е ¢¥«¨з¨). н⮬ ¯а®п¢«п¥в- бп ®в¬¥з¥®¥ ¤«п «¨¥©ле б¨бв¥¬ ®вбгвбв¢¨¥ ¨§®«¨а®¢ -
ëå § ¬ªãâëå âà ¥ªâ®à¨© ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì® { ¢â®ª®«¥¡ - ¨©. §ë¥ ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï ¢ â ª¨å á¨á⥬ å ¯à¨¢®¤ïâ ª à §ë¬ ¬¯«¨â㤠¬ ª®«¥¡ ¨©.
¡à ⨬áï ⥯¥àì ¥¯®á।á⢥® ª § ¤ ç¥ ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å ०¨¬®¢ ¢ ¥«¨¥©®© á¨á⥬¥, ¯à¥¤¯®« £ ï, çâ® ¢¬¥áâ® ¥«¨¥©®£® §¢¥ ¢§ïâë «¨¥ ਧ®¢ ë¥ ãà ¢- ¥¨ï, ¯®«ãç¥ë¥ à áᬮâà¥ë¬ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯ à £à - ä¥ ¬¥â®¤®¬. â ª, ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® á¨á⥬ ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨ï¬¨
A(p) (t) = |
;B(p) (t) |
q0 |
(A ) |
(11.9) |
|
(t) = |
q(A ) (t) + |
(t) |
|||
|
|
||||
|
|
|
|
¢ ª®â®à®¬ ª®íää¨æ¨¥âë £ ମ¨ç¥áª®© «¨¥ ਧ 樨 q(A ) q0(A ) ®¯а¥¤¥«повбп б®®в®и¥¨п¬¨ (11.6), (11.7). гбвм
®¯ïâì ¨é¥âáï à¥è¥¨¥ ¢ ¯à¥¤¯®«®¦¥¨¨, çâ® (t) = 0e| t: § ¯¥à¢®£® ãà ¢¥¨ï ¯®«ãç ¥¬ (t) = 0W« (| )e| t ⮣¤
|
|
(t) = ;| 0W« (| )e| t: |
|
|||
¬¥¥¬ 楯®çªã à ¢¥á⢠|
|
|
|
|
||
(t)=q(A ) (t)+ |
q0 |
(A ) |
; |
|
||
|
|
|
|
(t)= 0e| tW« (| ) q(A )+|q0 |
(A ) : |
|
ª ¨ ¢ëè¥, ãç¨âë¢ ï çâ® (t) = 0e| t ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî饥 |
||||||
ãà ¢¥¨¥ £ ମ¨ç¥áª®£® ¡ « á ¤«ï ¥«¨¥©®© («¨¥ à¨- |
||||||
§®¢ ®©) á¨á⥬ë: |
|
|
|
|
|
|
q(A ) + |q0(A ) W« (| ) = ;1: |
(11.10) |
|||||
9 ®«ãç¥ë©; १ã«ìâ â |
¯®«®áâìî ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¨§¢¥á⮬㠪à¨â¥- |
|||||
à¨î ãá⮩稢®á⨠©ª¢¨áâ |
«¨¥©ëå á¨á⥬ [15, 66, 76]. ¬¥â¨¬, çâ® |
|||||
§¤¥áì ¥ ®¡á㦤 «áï ¢®¯à®á ®¡ ãá⮩稢®á⨠§ ¬ªã⮩ á¨á⥬ë. ©- ¤¥ë¥ ãá«®¢¨ï ¥áâì ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ãá«®¢¨ï áãé¥á⢮¢ ¨ï ¥§ âãå îé¨å ª®«¥¡ ¨©. á¨á⥬¥ â ª¦¥ ¨¬¥îâáï ¯¥à¥å®¤ë¥ á®áâ ¢«ïî騥, ª®â®àë¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¨ à á室ï騬¨áï.
254
©¤¥®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ï¥âáï ®á®¢ë¬ á®®â®è¥¨¥¬ ¬¥- ⮤ £ ମ¨ç¥áª®© «¨¥ ਧ 樨 ¨ á«ã¦¨â ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥- ¨ï ¯ à ¬¥â஢ ª®«¥¡ ¨© ¥«¨¥©®© á¨á⥬ë. ¦® ®â- ¬¥â¨âì, çâ® ¢ ãá«®¢¨¥ £ ମ¨ç¥áª®£® ¡ « á (11.10) ¢å®¤¨â ¨ ¬¯«¨â㤠ª®«¥¡ ¨©. 10 «¥¤®¢ ⥫ì®, ®® àãè ¥âáï ¯à¨ ¨§¬¥¥¨¨ ¬¯«¨âã¤ë. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬¥â®¤ £ ମ¨ç¥- ᪮© «¨¥ ਧ 樨 ¯®§¢®«ï¥â ãç¥áâì ¢®§¬®¦®áâì áãé¥á⢮- ¢ ¨ï ¯à¥¤¥«ìëå 横«®¢ ã ¥«¨¥©ëå á¨á⥬.
à ¢¥¨¥ (11.10) § ¯¨á ® ¢ ª®¬¯«¥ªáëå ¢¥«¨ç¨ å. ¬ã ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á¨á⥬ ¨§ ¤¢ãå ãà ¢¥¨© á ¢¥é¥á⢥묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨. í⮩ á¨á⥬¥ ¨¬¥îâáï ¤¢¥ ¥¨§¢¥áâë¥ ¢¥«¨ç¨ë { ¯ à ¬¥âàë A ¨ : «¥¤ãî騬 è £®¬ ¨á¯®«ì§®- ¢ ¨ï ¬¥â®¤ ï¥âáï à §à¥è¥¨¥ (11.10) ®â®á¨â¥«ì® 㪠- § ëå ¯¥à¥¬¥ëå.
à ¢¥¨¥ (11.10) § ¯¨áë¢ îâ ¢ à §®© ä®à¬¥ [15, 76, 94, 113].
¯à¨¬¥à, ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¥£® ¢ ¢¨¤¥ á®®â®è¥¨ï ¬¥- ¦¤ã ¬®£®ç«¥ ¬¨ ¢ ç¨á«¨â¥«¥ ¨ § ¬¥ ⥫¥ ¯¥à¥¤ â®ç®© äãªæ¨¨ «¨¥©®© ç áâ¨. ®£¤ ®® ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤
A(| ) + (;q(A ) + |q0(A ) B(| ) = 0 |
(11.11) |
||||||
᫨ ®¯à¥¤¥«¨âì å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬®£®ç«¥ § ¬ªã⮩ |
|||||||
|
; |
|
q0(A ) |
|
B(s) â® (11.11) |
||
á¨áâ¥¬ë ª ª D(s) = A(s)+ |
|
|
|||||
|
q(A )+ s |
|
|
||||
ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯à®å®¦¤¥¨î |
|
¬¯«¨â㤮-ä §®¢®© å à ªâ¥à¨- |
|||||
á⨪¨ ¬®£®ç«¥ D(s) 11 ç¥à¥§ ç «® ª®®à¤¨ â, D(| ) = 0:¥ª®â®àëå á«ãç ïå 㤮¡¥¥ à áᬠâਢ âì (11.10) ª ª à ¢¥á⢮ ¤¢ãå ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨ § ¤ ëå äãªæ¨© W«(|!) ¨
; 1 : ª®© ᯮᮡ 㤮¡¥, ª®£¤ ª®íää¨æ¨- q(a !) + |q0(a !)
¥âë £ ମ¨ç¥áª®© «¨¥ ਧ 樨 ¥ § ¢¨áïâ  ®â ç áâ®- âë. í⮬ á«ãç ¥ áâà®ïâáï ¤¢¥ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ªà¨¢ë¥ {
10 ¬¥â¨¬, çâ®, ¯®áª®«ìªã ¯à¨ ¢ë¢®¤¥ ª®íää¨æ¨¥â®¢ £ ମ¨ç¥áª®© «¨¥ ਧ 樨 ¨á¯®«ì§®¢ « áì ¬¯«¨â㤠A ¯à®æ¥áá ¢ë室¥ «¨¥©- ®© ç á⨠á¨á⥬ë, â® ¨¬¥® ® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ (11.10). «ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¬¯«¨â㤠ª®«¥¡ ¨© ¢ ¤à㣨å â®çª å ( ¯à¨¬¥à, ¢ëå®- ¤¥ á¨á⥬ë, ª®â®àë© ¬®¦¥â ¥ ᮢ¯ ¤ âì á ¢ë室®¬ ¥¥ «¨¥©®© ç áâ¨), á«¥¤ã¥â ãç¨âë¢ âì ç áâ®âë¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¯à®¬¥¦ãâ®çëå §¢¥ì¥¢.
11 ¬¯«¨â㤮-ä §®¢®© å à ªâ¥à¨á⨪®© ¬®£®ç«¥ D(s) (ªà¨¢®© ¨-
å ©«®¢ ) §ë¢ ¥âáï £®¤®£à ä äãªæ¨¨ D(|!) ª®¬¯«¥ªá®© ¯«®áª®á⨠¯à¨ ¨§¬¥¥¨¨ ! ®â ;1 ¤® +1 [15, 76, 80].
255
£®¤®£à ä «¨¥©®© ç á⨠á¨áâ¥¬ë ®â ¯ à ¬¥âà ! ¨ £®¤®£à ä
äãªæ¨¨ ; 1 { ®â ¯ à ¬¥âà a. ®çª¨ ¨å ¯¥à¥á¥ç¥- q(a) + |q0(a)
¨ï ®â¢¥ç îâ ãà ¢¥¨î £ ମ¨ç¥áª®£® ¡ « á . íâ¨å
в®зª е ®¯а¥¤¥«повбп = ! { ¯® ¯¥à¢®© ªà¨¢®© ¨ A = a { ¯® ¢â®à®© ªà¨¢®©.
«¥¤ãî騬 è £®¬ ï¥âáï «¨§ ãá⮩稢®á⨠¯¥à¨®- ¤¨ç¥áª®£® ०¨¬ . ë© «¨§ ¡¥§ áâண®£® ®¡®á®¢ ¨ï ¢ë¯®«ï¥âáï ¢ à ¬ª å à áᬠâਢ ¥¬®£® ¬¥â®¤ á ¨á¯®«ì- §®¢ ¨¥¬ ®â¬¥ç¥ëå ¨â¥à¯à¥â 権 ãà ¢¥¨ï £ ମ¨ç¥-
᪮£® ¡ « á á ¯®¬®éìî ªà¨â¥à¨¥¢ ãá⮩稢®á⨠«¨¥©ëå á¨á⥬ ( ¬¯«¨â㤮-ä §®¢®£® ªà¨â¥à¨ï ନâ { ¨å ©«®¢ , ªà¨â¥à¨¥¢ ©ª¢¨áâ , ãࢨæ ). ®áâ â®ç® ¯®¤à®¡ë¥ ᢥ- ¤¥¨ï ¯à¨¢¥¤¥ë ¢ «¨â¥à âãॠ(á¬., ¯à¨¬¥à, [15, 66, 76, 94, 113]).
11.3.4. ਬ¥à. áá«¥¤®¢ ¨¥ £¥¥à â®à ª®«¥¡ ¨©
áᬮâਬ ã¯à®é¥ãî ¬®¤¥«ì £¥¥à â®à ¥§ âãå îé¨å ª®«¥¡ ¨© [79, 94]. ®¤¥«ì ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ª®«¥¡ ⥫ì-
®¥ §¢¥® á ¯¥à¥¤ â®ç®© äãªæ¨¥© W(s) = 2 2 k ,
T0 s + 2 T0s + 1 § ¬ªã⮥ ¯®«®¦¨â¥«ì®© ®¡à ⮩ á¢ï§ìî ¯® ᪮à®á⨠ç¥- १ ५¥©ë© í«¥¬¥â u = c signx (à¨á. 11.1). ¡à ⨬áï ¢ -
¨á. 11.1. âàãªâãà ï á奬 £¥¥à â®à ª®«¥¡ ¨©.
ç «¥ ª ®¯¨á ®¬ã ¢ ¯. 11.2.2. ¬¥â®¤ã â®ç¥çëå ®â®¡à ¦¥¨©.
«ï ¨áá«¥¤®¢ ¨ï á¨áâ¥¬ë ¨á¯®«ì§ã¥¬ ª ®¨ç¥áªãî ä®à- ¬ã ä §®¢®© ¯¥à¥¬¥®© (á¬. á. 74), ¢ ª®â®à®© ¯¥à¥¬¥ë¥ á®áâ®ï¨ï á¢ï§ ë ª ª äãªæ¨ï ¨ ¯à®¨§¢®¤ ï:
256
¨á. 11.2. ®ç¥ç®¥ ®â®¡à ¦¥¨¥ ( ) ¨ ¯¥à¥å®¤ ï å à ªâ¥- à¨á⨪ ª®«¥¡ ⥫쮣® §¢¥ (¡).
|
|
|
|
|
|
|
x1(t) = x(t) x2 (t) = x(t): ।¯®« £ ï «¨ç¨¥ ¢ á¨á⥬¥ ¯à¥- |
||||||
¤¥«ì®£® 横« |
G, ¯®«ã稬 äãªæ¨î ¯®á«¥¤®¢ ¨ï. «ï íâ®- |
|||||
£® ¯à®¢¥¤¥¬ ¨§ ç « |
ª®®à¤¨ â ¢ áâ®à®ã ¯®«®¦¨â¥«ìëå |
|||||
§ 票© x «ãç |
L |
(à¨á. |
11.2, |
, â ª¦¥ à¨á. 10.2,¡ á. 234). |
||
|
|
0 |
|
. ॡã¥âáï ¯®«ãç¨âì ª®®à- |
||
롥६ ç «ìãî â®çªã x |
2 L |
|||||
00 |
|
|
|
|
||
¤¨ âë â®çª¨ x |
|
2 L ¢ ª®â®à®© ¯à®¨á室¨â á«¥¤ãî饥 ¯¥à¥- |
||||
á¥ç¥¨¥ âà ¥ªâ®à¨¨ ¨ «¨¨¨ |
L. ¢ë¡à ®¬ ¡ §¨á¥ â®çª ¬ |
|||||
«ãç¥ L ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ã«¥¢ë¥ § 票ï x ¢ ¢¥à奩 ¯®«ã- |
||||||
¯«®áª®á⨠x > 0 á«¥¤®¢ â¥«ì® u = c\ ¢ ¨¦¥© ¯®«ã¯«®áª®- |
||||||
á⨠x < 0 ¨ u = |
;c: ®í⮬ã çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì äãªæ¨î ¯®á«¥- |
|||||
¤®¢ ¨ï ¤® à áᬮâà¥âì ¯¥à¥å®¤ãî å à ªâ¥à¨á⨪㠪®«¥- |
||||||
¡ ⥫쮣® §¢¥ |
|
¯à¨ ç «ìëå ãá«®¢¨ïå x(0) = g x(0) = 0 ¨ |
||||
x(0) = g0 x(0) = 0 (à¨á. 11.2,¡). ª ¨§¢¥áâ® [15, 76], íâ å -
à ªâ¥à¨á⨪ áâ६¨âáï ª ãáâ ®¢¨¢è¥¬ãáï § 票î x1 =
limt!1 x(t) = ku £¤¥ k { ª®íää¨æ¨¥â ¯¥à¥¤ ç¨, u { ¢¥«¨ç¨- ¢å®¤®£® ¢®§¤¥©á⢨ï (¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ á«ãç ¥ u = c ¯®í⮬ã x;1 = ;ck x+1 = ck). ᫨ ¨§¢¥áâ® ¯¥à¥à¥£ã«¨à®¢ - ¨¥ 12 â®, ª ª ¥âà㤮 ã¡¥¤¨âìáï, ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì®¬ x(0) ¨ x(0) = 0 ¢ë¯®«¥® maxt x(t) = x1+ ;x1;x(0) : ਬ¥ïï íâã ä®à¬ã«ã ¤¢ ¦¤ë (¯à¨ x1 = ;ck x(0) = g ¨ x1 = ck x(0) = g0),
12ਠ㫥¢ëå ç «ìëå ãá«®¢¨ïå ¯¥à¥à¥£ã«¨à®¢ ¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï
;x1
|
t |
|
|
ª ª = |
|
x1 |
. |
257
¨á. 11.3. ãªæ¨ï ¯®á«¥¤®¢ ¨ï h = '(g).
室¨¬ g0 = ;(1+ ck); g h = ck+ (ck;g0) = ck(1+ )2 + 2g:«¥¤®¢ ⥫ì®, äãªæ¨ï ¯®á«¥¤®¢ ¨ï '(g) ¢ à áᬠâਢ ¥- ¬®¬ ¯à¨¬¥à¥ «¨¥© ï ¨ ¨¬¥¥â '(g) = ck(1 + )2 + 2g: «ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¬¯«¨âã¤ë ¯à¥¤¥«ì®£® 横« á«¥¤ã¥â à¥è¨âì
ãà ¢¥¨¥ g0 = '(g0) çâ® ¯à¨¢®¤¨â ª ä®à¬ã«¥
|
1 |
+ |
|
|
g0 = ck 1 |
; |
: |
(11.12) |
|
ãá⮩稢ëå ª®«¥¡ ⥫ìëå §¢¥ì¥¢ ¯ à ¬¥âà 0 < < 1 ¯®- |
||||
í⮬ã ä®à¬ã« (11.12) ¯à¨¢®¤¨â ª ª®¥çë¬ ¯®«®¦¨â¥«ìë¬
§ ç¥¨ï¬ ¬¯«¨âã¤ë ª®«¥¡ ¨© |
¢ë室¥ á¨á⥬ë (®ç¥¢¨¤- |
®, çâ® ¤«ï ¯à¥¤¥«ì®£® 横« Ax |
|
= maxt x(t) g0 ). à - |
|
¨çë¬ ï¢«ï¥âáï á«ãç © = 1 ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ª®á¥à- |
|
¢ ⨢®¬ã §¢¥ã ( = 0). ਠí⮬ ¯®«®¦¨â¥«ì ï ®¡à â- |
|
п б¢п§м б ®£а ¨з¥л¬ ¯® га®¢о б¨£ «®¬ ¯а¨¢®¤¨в ª ¥®£а ¨з¥®¬г а®бвг " ¬¯«¨вг¤л" ¢л室®£® ¯а®ж¥бб .а д¨з¥бª¨ нв® п¢«¥¨¥ ¯а¥¤бв ¢«п¥вбп ®вбгвбв¢¨¥¬ ¯¥а¥б¥- з¥¨п дгªж¨¨ ¯®б«¥¤®¢ ¨п '(g) á ¡¨áᥪâà¨á®© ª®®à¤¨ â-
®£® 㣫 ¯«®áª®á⨠(g h). áá«¥¤®¢ ¨¥ ãá⮩稢®á⨠¯¥à¨-
®¤¨ç¥áª®£® ०¨¬ ¯à®¨§¢®¤¨âáï ¯® § ç¥¨î ¯à®¨§¢®¤®© |
||
d'(g) |
g=g0: à áᬠâਢ ¥¬®¬ ¯à¨¬¥à¥ í⠯ந§¢®¤ ï à ¢- |
|
dg |
|
|
0 |
< 2 < 1, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ á¨á⥬¥ ãáâ ¢«¨¢ îâáï ¢- |
|
⮪®«¥¡ ¨ï á ¬¯«¨â㤮©, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© ä®à¬ã«®© (11.12).à ä¨ç¥áª¨ á室¨¬®áâì ª®«¥¡ ¨© ª ¯à¥¤¥«ì®¬ã 横«ã ¨§ à §ëå ç «ìëå § 票© x(0) = g0 ¨ x(0) = g00 ¯®ª § à¨á. 11.3.
258
áâ®âã |
|
¢â®ª®«¥¡ ¨© ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì ¨áå®¤ï ¨§ ¢¨- |
|
||||||||||||||||||||||
¤ ¢¥á®¢®© |
|
äãªæ¨¨ |
|
w(t) |
ª®«¥¡ ⥫쮣® |
§¢¥ . |
ª |
ª ª |
|||||||||||||||||
w(t) = |
k |
|
|
exp |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
( t |
|
0), |
£¤¥ |
|
= |
p |
|
|
L |
|||
|
|
; |
t |
|
|
t |
|
|
|
1 |
; |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
T0 |
|
|
T0 |
|
|
|
T0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¯à¥¤¥«ì®£® 横« |
á «¨¨¥© |
|
|
||||||||||||||
[15, 76], â® â®çª¨ ¯¥à¥á¥ç¥¨ï |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
®âáâ®ïâ ¢® ¢à¥¬¥¨ |
|
2 T0 |
|
: |
®í⮬ã ç áâ®â |
¢â®ª®«¥¡ - |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ; 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
¨© á¢ï§ á ¯ à ¬¥âà ¬¨ T0 §¢¥ |
W(s) á®®â®è¥¨¥¬ |
|
|||||||||||||||||||||||
= |
p1T;0 2 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
áᬮâਬ ⥯¥àì à¥è¥¨¥ ⮩ ¦¥ § ¤ ç¨ ¬¥â®¤®¬ £ ମ- |
|
||||||||||||||||||||||||
¨ç¥áª®£® ¡ « á . ë室®¬ «¨¥©®© ç á⨠á¨á⥬ë ï-
¥âáï ᨣ « (t) x(t): ¨¥© ï ç áâì ®¯¨áë¢ ¥âáï ¯¥à¥¤ - |
|||
|
|
ks |
®â ¢å®¤ (t) u(t) |
â®ç®© äãªæ¨¥© W«(s) = T 2s2 |
+ 2 T s + 1 |
||
0 |
0 |
|
|
ª ¢ë室ã (t): «¥¤ã¥â ãç¥áâì, çâ® ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ ¯à¨¬¥-
ॠ®¡à â ï á¢ï§ì ¯®«®¦¨â¥«ì ï (à¨á. 11.1), ¯®í⮬ã ãà ¢- ¥¨¥ £ ମ¨ç¥áª®£® ¡ « á (11.10) § ¯¨áë¢ ¥âáï á ¯à®â¨-
¢®¯®«®¦ë¬ § ª®¬ ¢ ¯à ¢®© ç áâ¨: q(A )+
+|q0(A ) W« (| ) = 1: à ¢¥¨¥ ¥«¨¥©®© ç á⨠á¨á⥬ë |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
4c |
|
||
¨¬¥¥â ¢¨¤ (t) = c sign (t): «ï ५¥©®£® §¢¥ |
q(A) = |
: |
||||||||||||||
|
||||||||||||||||
®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî饥 ãà ¢¥¨¥: |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
4ck| |
|
|
|
= 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A ;T02 2 + 2 T0| + 1 |
|
|
|
|
|
||||||||
âáî¤ å®¤¨¬ ¯ à; ¬¥âàë ¯à¥¤¥«ì®£® 横« |
= |
1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
2ck |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T0 |
|
|||
A = |
: ®áª®«ìªã ¢ë室®¬ «¨¥©®© ç á⨠á¨áâ¥¬ë §¤¥áì |
|||||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
T0 |
|
ª®«¥¡ ⥫쮣® §¢¥ , ¤«ï |
|
||||||||||||
ï¥âáï ¯à®¨§¢®¤ ï ®â ¢ë室 |
|
|||||||||||||||
¢ëç¨á«¥¨ï Ax á«¥¤ã¥â ©¤¥ãî |
¬¯«¨âã¤ã A à §¤¥«¨âì |
|
||||||||||||||
§ 票¥ ¤¨ää¥à¥æ¨àãî饣® §¢¥ |
ç áâ®â¥ ! = : |
|
||||||||||||||
â ª, ¯® ¬¥â®¤ã £ ମ¨ç¥áª®£® ¡ « á |
|
¯®«ãç ¥¬ |
|
|
|
|
||||||||||
= |
1 |
|
Ax |
= |
2ck |
: |
|
(11.13) |
||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
T0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
â¥à¥á® áà ¢¨âì ¯®«ãç¥ë© १ã«ìâ â á â®ç®© ä®à¬ã- «®© (11.12). «ï í⮣® á«¥¤ã¥â ãáâ ®¢¨âì á¢ï§ì ¬¥¦¤ã ®â-
®á¨â¥«ìë¬ ª®íää¨æ¨¥â®¬ ¤¥¬¯ä¨à®¢ ¨ï ª®«¥¡ ⥫ì-
®£® §¢¥ ¨ ¯¥à¥à¥£ã«¨à®¢ ¨¥¬ . áå®¤ï ¨§ «¨â¨ç¥- ᪮£® ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï ¯¥à¥å®¤®© äãªæ¨¨ [15, 76], ¥âà㤮
¯®«ãç¨âì, çâ® |
= exp ; |
|
|
: ᯮ«ì§ãï íâã § ¢¨á¨- |
||
|
|
|||||
|
1 ; 2 |
|||||
¬®áâì, ©¤¥¬ |
¡á®«îâãî A = |
Aâ |
A£ |
¨ ®â®á¨â¥«ìãî |
||
|
|
p |
|
x ; |
x |
|
|
|
|
259 |
|
|
|
¨á. 11.4. ¬¯«¨â㤠|
ª®«¥¡ ¨© £¥¥à â®à |
¨ ®è¨¡ª ¥¥ |
®¯à¥¤¥«¥¨ï ¬¥â®¤®¬ £ ମ¨ç¥áª®£® ¡ « á . |
|
|
A |
¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ (11.12), Ax£ { |
|
A = j Aâ j ®è¨¡ª¨ (Axâ |
||
x |
|
|
¯® ä®à¬ã«¥ (11.13)). ¥§ã«ìâ âë ®âà ¦¥ë |
à¨á. 11.4, £¤¥ |
|
¯®ª § ë £à 䨪¨ ®â®á¨â¥«ìëå (ª ¢¥«¨ç¨¥ ª®íää¨æ¨¥â
¯¥à¥¤ ç¨ ck) ¬¯«¨â㤠ª®«¥¡ ¨© Aâ |
¨ A£ |
â ª¦¥ £à 䨪 |
|
|
x |
x |
|
®â®á¨â¥«ì®© ®è¨¡ª¨ ä®à¬ã«ë (11.13) ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¯ - |
|||
à ¬¥âà |
: § £à 䨪®¢ ¢¨¤®, çâ® ¯à¨ < 0:5 ®â®á¨â¥«ì ï |
||
®è¨¡ª |
¥ ¯à¥¢ëè ¥â 10%, ç⮠ï¥âáï ¢¯®«¥ 㤮¢«¥â¢®- |
||
à¨â¥«ì®© â®ç®áâìî ®¯à¥¤¥«¥¨ï å à ªâ¥à¨á⨪ á¨á⥬ë á ãç¥â®¬ ¯®£à¥è®á⥩, ¥¨§¡¥¦® ¨¬¥îé¨åáï ¢ ¥¥ ¬ ⥬ â¨-
ç¥áª®© ¬®¤¥«¨ [72, 87]. ¬¥â¨¬, çâ® ®â®á¨â¥«ì ï ®è¨¡ª ®¯à¥¤¥«¥¨ï ç áâ®âë ª®«¥¡ ¨© ¥áª®«ìª® ¡®«ìè¥. ª á«¥¤ã¥â ¨§ â®ç®© ¨ ¯à¨¡«¨¦¥®© ä®à¬ã«, ¯à¨ = 0:5 í⠮訡ª á®áâ ¢«ï¥â ®ª®«® 15%, ¯à¨ = 0:6 ® а ¢ 25%.бᬮва¥л© ¯а¨¬¥а ¯®ª §л¢ ¥в, зв® ¬¥в®¤ £ ମ¨з¥- бª®£® ¡ « б ¬®¦¥в б«г¦¨вм ¤®бв в®з® ¤¥¦л¬ б¯®б®- ¡®¬ ®¯а¥¤¥«¥¨п ¯ а ¬¥ва®¢ ¯а¥¤¥«мле ж¨ª«®¢, ®¤ ª® ¯®- «гз¥л¥ б ¥£® ¯®¬®ймо а¥§г«мв вл 㦤 овбп ¢ ¯а®¢¥аª¥ (б¬. б®бªг 6 б. 249). б«¨ ¢¥агвмбп ª а бᬮва¥®- ¬г ¯а¨¬¥аг, в® ®в®и¥¨¥ ¬¯«¨в㤮-з бв®вле е а ªв¥-
à¨á⨪ «¨¥©®© ç á⨠á¨á⥬ë ç áâ®â å = T10 ¨ 2
á®áâ ¢«ï¥â ¯à¨ = 0:2 ¢¥«¨ç¨ã 3.9, ¯à¨ = 0:5 { 1.8, ¯à¨= 1:0 { 1.25 . «¥¤®¢ ⥫ì®, £¨¯®â¥§ã 䨫ìâà ¯à¨ ¡«¨§- ª®© ª ¥¤¨¨æ¥, ¥«ì§ï áç¨â âì ¢ë¯®«¥®©.
260
11.4. |
¥â®¤ äãªæ¨© ï¯ã®¢ |
|
|
|
|
|
|||||||
¥â®¤ äãªæ¨© . . ï¯ã®¢ |
(¯àאַ©, ¨«¨ ¢â®à®© ¬¥â®¤ |
||||||||||||
ï¯ã®¢ ) ®â®á¨âáï ª â®çë¬ |
«¨â¨ç¥áª¨¬ ¬¥â®¤ ¬. |
||||||||||||
ï¥âáï ä㤠¬¥â®¬ ⥮ਨ ¥«¨¥©ëå á¨á⥬. ᮢë |
|
||||||||||||
í⮣® ¬¥â®¤ |
§ «®¦¥ë . . |
ï¯ã®¢ë¬ ¢ 90-å £®¤ å XIX |
|||||||||||
á⮫¥â¨ï. ¬¥¥âáï ¡®«ì讥 ç¨á«® ¯ã¡«¨ª 権 ¯® à §¢¨â¨î |
|
||||||||||||
१ã«ìâ ⮢ ï¯ã®¢ |
¨ ¥é¥ ¡®«ì襥 { ¯® ¯à¨¬¥¥¨î ¬¥â®- |
|
|||||||||||
¤ ï¯ã®¢ |
¢ à §«¨çëå ®¡« áâïå ⥮ਨ á¨á⥬ ã¯à ¢«¥- |
|
|||||||||||
¨ï. ¤¥áì ®£à ¨ç¨¬áï ªà ⪨¬¨ ᢥ¤¥¨ï¬¨ ®¡ ®á®¢ëå |
|
||||||||||||
¨¤¥ïå ¤ ®£® ¬¥â®¤ |
|
(¯®¤à®¡¥¥ á¬. ¢ [64]). |
|
|
|
|
|||||||
11.4.1. |
á®¢ë¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
áᬮâਬ ¢ ç «¥ ®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x(t) = f ;x(t) |
|
x(0) = x0 |
|
|
(11.14) |
||||||
¯®« £ ï, çâ® f (0) = 0: ®£¤ |
â®çª |
|
x = 0 ï¥âáï |
®á®¡®© |
|
||||||||
â®çª®© { á®áâ®ï¨¥¬ à ¢®¢¥á¨ï á¨á⥬ë. ⮬ã ç «ì®- |
|
||||||||||||
¬ã á®áâ®ï¨î ᮮ⢥âáâ¢ã¥â âਢ¨ «ì®¥ à¥è¥¨¥ x(t) |
0 |
|
|||||||||||
ª®â®à®¥ §ë¢ ¥âáï ¥¢®§¬ãé¥ë¬ ¤¢¨¦¥¨¥¬ (11.14). ਠ|
|||||||||||||
x0 = 0 ¯®«ãç ¥¬ ¢®§¬ã饮¥ ¤¢¨¦¥¨¥. â ¢¨âáï § ¤ ç |
|
||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¨áá«¥¤®¢ ¨ï ãá⮩稢®á⨠¯®«®¦¥¨ï à ¢®¢¥á¨ï. ᮤ¥- |
|
||||||||||||
ঠ⥫쮬 ã஢¥ ® ®§ ç ¥â ®¯à¥¤¥«¥¨¥ å à ªâ¥à |
¯®- |
|
|||||||||||
¢¥¤¥¨ï ¢®§¬ã饮£® à¥è¥¨ï: ¡ã¤¥â «¨ ®® ¯à¨ ¢®§à áâ - |
|
||||||||||||
¨¨ t ¯а¨¡«¨¦ вмбп ª б®бв®п¨о а ¢®¢¥б¨п ¨«¨ г¤ «пвмбп |
|
||||||||||||
®â ¥£®. ०¤¥ 祬 ¤ âì â®çë¥ ä®à¬ã«¨à®¢ª¨, à áᬮâਬ |
|
||||||||||||
¡®«¥¥ ®¡éãî § ¤ çã. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ëè¥ ¯à¨ïâ®, çâ® f (0) = 0: ᪮«ìª® ®¡é¨¬ ï¥âáï |
|||||||||||||
íâ® ãá«®¢¨¥? |
ãáâì, ¯à¨¬¥à, ¤«ï ¥ª®â®à®£® x |
|
= 0 ¢ë- |
|
|||||||||
|
|
) = 0: ®£¤ |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|||
¯®«¥® f (x |
á®áâ®ï¨¥¬ à ¢®¢¥á¨ï ï¥âáï |
||||||||||||
â®çª |
x ª®â®à®© ᮮ⢥âáâ¢ã¥â à¥è¥¨¥ x(t) x : ⮡ë |
|
|||||||||||
ᢥá⨠§ ¤ çã ª 㪠§ ®© ¢ëè¥, ᤥ« ¥¬ § ¬¥ã ¯¥à¥¬¥- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x0 = x0 ; x x(t) = x(t) + x |
|||||||
ëå x(t) = x(t) ; x : ®£¤ |
|||||||||||||
x(t) = x(t): âáî¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||
|
|
; |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
£¤¥ äãªæ¨ï f~ x(t) |
|
x +x (t) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î |
|||||||||||
= f |
|||||||||||||
f~(0) = 0: ®í⮬㠯®«ãç ¥¬ § ¤ çã ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ãá⮩稢®- |
|
||||||||||||
á⨠âਢ¨ «ì®£® à¥è¥¨ï x(t) |
|
0: |
|
|
|
|
|||||||
«®£¨ç®, ¥á«¨ âॡã¥âáï ¨áá«¥¤®¢ âì ãá⮩稢®áâì ¤¢¨- |
|
||||||||||||
¦¥¨ï ¯® ¥ª®â®à®© âà ¥ªâ®à¨¨ x (t) ïî饩áï à¥è¥¨¥¬ 261