Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления

.pdf
Скачиваний:
54
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
2.56 Mб
Скачать

q0(A) ­ ©¤¥¬, çâ®

 

 

1

Z0

2

 

 

 

 

 

q(A )

=

'(A sin

) sin

d

(11.6)

 

 

 

A

 

 

1

Z0

2

 

 

 

 

 

q0(A )

=

'(A sin

) cos

d

(11.7)

 

A

ëç¨á«¥­¨ï ¯® ¯à¨¢¥¤¥­­ë¬ ä®à¬ã« ¬ ¤®áâ â®ç­® ¯à®áâë, ¨

¤«п ¬­®£¨е в¨¯®¢ле ­¥«¨­¥©­ле §¢¥­м¥¢ ¢л¯®«­повбп

­ «¨-

â¨ç¥áª¨. ¯à¨¬¥à, ¤«ï

५¥©­®£® §¢¥­

á å à ªâ¥à¨á⨪®©

'( ) = c sign( ) ¯®«ãç ¥âáï q(A) =

4c

q0

(A) = 0:

 

 

 

¡à ⨬ ¢­¨¬ ­¨¥ ­

 

 

 

 

A

 

 

 

â®, çâ® ¢ ¤ ­­®¬ ¬¥â®¤¥ ¢ ¢¨¤¥ àï¤

¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ­¥ ­¥«¨­¥©­ ï § ¢¨á¨¬®áâì (ª ª ¯à¨ ®¡ëç­®© «¨­¥ ਧ 樨 ¯® ¥©«®àã), ¯à®æ¥áá (äã­ªæ¨ï ®â ¢à¥¬¥- ­¨), çâ® ¯®§¢®«ï¥â ãç¥áâì ᯥæ¨ä¨ç¥áª¨¥ ¢â®ª®«¥¡ ⥫ì­ë¥ ᢮©á⢠­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬.

¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨ ᨬ¬¥âà¨ç­ëå ª®«¥¡ ­¨ïå ¨ ­¥ç¥â­®© ®¤­®§­ ç­®© áâ â¨ç¥áª®© ­¥«¨­¥©­®á⨠'( ) ª ª ¢¨¤­® ¨§ (11.7) q0 = 0 çâ® ã¯à®é ¥â ¤ «ì­¥©è¨© ­ «¨§.

⬥⨬ â ª¦¥, çâ® ª®íää¨æ¨¥­âë £ ମ­¨ç¥áª®© «¨­¥- ਧ 樨 ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì ¨ ¯à¨ ­ «¨ç¨¨ ¯®áâ®ï­­®© (¬¥- ¤«¥­­® ¬¥­ïî饩áï) á®áâ ¢«ïî饩 ­ ¢ë室¥ «¨­¥©­®© ç -

á⨠á¨á⥬ë: (t) = 0 + A sin t: â® ¯®§¢®«ï¥â ¨áá«¥¤®¢ âì ­¥á¨¬¬¥âà¨ç­ë¥ ª®«¥¡ ­¨ï ¨ ¢«¨ï­¨¥ ¢­¥è­¥£® ¢®§¤¥©áâ¢¨ï ­ á¨á⥬ã (¡®«¥¥ ¯®¤à®¡­ë¥ ᢥ¤¥­¨ï ¯à¨¢¥¤¥­ë, ­ ¯à¨¬¥à, ¢ [94, 113]).

¡à ⨬áï ⥯¥àì ­¥¯®á।á⢥­­® ª ¨áá«¥¤®¢ ­¨î § - ¬ª­ã⮩ á¨á⥬ë (11.2).

11.3.3. à ¢­¥­¨¥ £ ମ­¨ç¥áª®£® ¡ « ­á

áᬮâਬ ãà ¢­¥­¨¥ § ¬ª­ã⮩ á¨á⥬ë (11.2), § ¯¨á ­­®¥ ¢ ¢¨¤¥ (11.3). ०¤¥ 祬 ®¡à â¨âìáï ª ¨áá«¥¤®¢ ­¨î ¯à¥- ¤¥«ì­ëå 横«®¢ ¢ ­¥«¨­¥©­®© («¨­¥ ਧ®¢ ­­®©) á¨á⥬¥, ¯®- ¢â®à¨¬ ¯à¨¢¥¤¥­­ë¥ ¢ ¯. 1.6.1. á. 46, à áá㦤¥­¨ï ® ॠª- 樨 «¨­¥©­®© á¨áâ¥¬ë ­ £ ମ­¨ç¥áª®¥ ¢å®¤­®¥ ¢®§¤¥©á⢨¥ ¯à¨¬¥­¨â¥«ì­® ª à áᬠâਢ ¥¬®¬ã á«ãç î.

ãáâì «¨­¥©­ ï áâ 樮­ à­ ï á¨á⥬ ®¯¨áë¢ ¥âáï ¤¨ä- ä¥à¥­æ¨ «ì­ë¬ ãà ¢­¥­¨¥¬, ª®â®à®¥ ¤«ï ª®¬¯ ªâ­®á⨠§ ¯¨- ᨠ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ®¯¥à â®à­®© ä®à¬¥ (á¬.(11.3)):

A(p) (t) = ;B(p) (t): 252

©¤¥¬ ç áâ­®¥ à¥è¥­¨¥ í⮣® ãà ¢­¥­¨ï ¯à¨ (t) = 0e t ¤«ï ­¥ª®â®à®£® ¯®áâ®ï­­®£® 2 C: â® à¥è¥­¨¥ ¡ã¤¥¬ ¨áª âì ¢ ¢¨¤¥ (t) = 0e t: ®¤áâ ­®¢ª®© ¢ëà ¦¥­¨© ¤«ï (t) (t) ¢ ¤ ­­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¯®«ã稬, çâ® ¥á«¨ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ­¥à¥- §®­ ­á­ë© á«ãç ©, â.¥. A( ) 6= 0 £¤¥ A(s) { ¬­®£®ç«¥­ ®â ¯¥à¥¬¥­­®© s 2 C ª®íää¨æ¨¥­âë ª®â®à®£® ᮢ¯ ¤ îâ á á®- ®â¢¥âáâ¢ãî騬¨ ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨ ®¯¥à â®à­®£® ¬­®£®ç«¥­ A(p) äã­ªæ¨ï (t) 㪠§ ­­®£® ¢¨¤ ï¥âáï à¥è¥­¨¥¬, ¯à¨- 祬 0 = ;B( ) 0: ª®­ç ⥫쭮, ¨áª®¬®¥ à¥è¥­¨¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤

(t) = ;W«( ) (t) £¤¥ W«( ) = W«(s) s= W« (s) { ¯¥à¥¤ â®ç-

­ï äã­ªæ¨ï, ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ãà ¢­¥­¨î (11.3) (á¬. (11.2) ¨ ¯. 1.6.). ®«®¦¨¬ ⥯¥àì = | : ®£¤ (t) = ;W(| ) (t) W«(| ) { ç áâ®â­ ï ¯¥à¥¤ â®ç­ ï äã­ªæ¨ï à áᬠâਢ ¥¬®© á¨á⥬ë. ®«ã祭­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤ ¥â ¢®§¬®¦­®áâì ­ ©â¨A( )

ॠªæ¨î ­ £ ମ­¨ç¥áª®¥ ¢å®¤­®¥ ¢®§¤¥©á⢨¥ ¢ ­¥à¥§®-

­ ­á­®¬ á«ãç ¥. ¥©á⢨⥫쭮, ¯à¥¤áâ ¢¨¢ ¯à®æ¥áá (t) =

 

 

0

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 cos t ª ª (t) =

 

e| t + e;| t

¨á¯®«ì§ãï ᢮©á⢮ á㯥à-

¯®§¨æ¨¨, ¯®«ã稬

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t) =

 

0

 

W« (| )e| t

 

+ W« (

| )e;| t

 

:

 

; 2 ;

 

 

| ( )

;

 

 

।áâ ¢¨¢ ⥯¥àì W« (| )=H( )e

 

 

 

£¤¥ H( )=abs(W« (| ))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(| )) { ä §®ç áâ®â-

{ ¬¯«¨â㤭®ç áâ®â­ ï, ( ) = arg(W«

­ ï å à 0ªâ¥à¨á⨪¨ «¨­¥©­®© ç á⨠á¨á⥬ë, ¯®«ã稬

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t)=; 2 H( ) e|( t+ ( ) +e;|( t+ ( ))

 

= ; 0H( ) cos( t + ( ):

áᬮâਬ ⥯¥àì § ¬ª­ãâãî á¨á⥬ã á «¨­¥©­®© ®¡à â- ­®© á¢ï§ìî, ¯®« £ ï (t) = q (t): ®« £ ï ¯®-¯à¥¦­¥¬ã, çâ®(t) = 0e| t 0 6= 0 ¯®«ã稬 á¨á⥬ã ãà ¢­¥­¨©

(t) = ;W(| ) (t)

(t) = q (t):

®¤áâ ­®¢ª®© ¢ëà ¦¥­¨ï ¤«ï (t) ¨§ ¯¥à¢®£® ãà ¢­¥­¨ï ¢® ¢â®à®¥ ­ 室¨¬, çâ® ¤ ­­ë¥ ãà ¢­¥­¨ï ¡ã¤ãâ ᮢ¬¥áâ­ë ¤«ï ¢á¥å t, ¥á«¨ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ëà ¦¥­¨¥

qW«(| ) = ;1

(11.8)

ª®â®à®¥ ï¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬ £ ମ­¨ç¥áª®£® ¡ « ­á

¤«ï

«¨­¥©­ëå á¨á⥬. â ª, ¤«ï áãé¥á⢮¢ ­¨ï ­¥§ âãå îé¨å

253

ª®«¥¡ ­¨© ¢ ¢â®­®¬­®© «¨­¥©­®© á¨á⥬¥ á ¯¥à¥¤ â®ç­®© ä㭪樥© W« (s), § ¬ª­ã⮩ ®âà¨æ ⥫쭮© ®¡à â­®© á¢ï§ìî á ª®íää¨æ¨¥­â®¬ q ­¥®¡å®¤¨¬®, çâ®¡ë ¯à¨ ­¥ª®â®à®¬ §­ -

祭¨¨ ! =

¬¯«¨â㤭®-ä §®¢ ï å à ªâ¥à¨á⨪ "«¨­¥©­®©

ç áâ¨" á¨á⥬ë W«(|!) ¯à®å®¤¨« ­ ª®¬¯«¥ªá­®© ¯«®áª®áâ¨

ç¥à¥§ â®çªã (

q

0):9 ¬¥â¨¬, çâ® ¢ëà ¦¥­¨¥ (11.8) ­¥ ¯®§¢®-

 

;

¬¯«¨âã¤ë ª®«¥¡ ­¨© 0 0 (â ª ª ª ãá«®¢¨¥

«ï¥â ®¯à¥¤¥«¨âì

¡ « ­б (11.8) ­¥ ᮤ¥а¦¨в нв¨е ¢¥«¨з¨­). н⮬ ¯а®п¢«п¥в- бп ®в¬¥з¥­­®¥ ¤«п «¨­¥©­ле б¨бв¥¬ ®вбгвбв¢¨¥ ¨§®«¨а®¢ ­-

­ëå § ¬ª­ãâëå âà ¥ªâ®à¨© ¨, á«¥¤®¢ ⥫쭮 { ¢â®ª®«¥¡ - ­¨©. §­ë¥ ­ ç «ì­ë¥ ãá«®¢¨ï ¢ â ª¨å á¨á⥬ å ¯à¨¢®¤ïâ ª à §­ë¬ ¬¯«¨â㤠¬ ª®«¥¡ ­¨©.

¡à ⨬áï ⥯¥àì ­¥¯®á।á⢥­­® ª § ¤ ç¥ ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å ०¨¬®¢ ¢ ­¥«¨­¥©­®© á¨á⥬¥, ¯à¥¤¯®« £ ï, çâ® ¢¬¥áâ® ­¥«¨­¥©­®£® §¢¥­ ¢§ïâë «¨­¥ ਧ®¢ ­­ë¥ ãà ¢- ­¥­¨ï, ¯®«ã祭­ë¥ à áᬮâ७­ë¬ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯ à £à - ä¥ ¬¥â®¤®¬. â ª, ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® á¨á⥬ ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨ï¬¨

A(p) (t) =

;B(p) (t)

q0

(A )

(11.9)

(t) =

q(A ) (t) +

(t)

 

 

 

 

 

 

¢ ª®â®à®¬ ª®íää¨æ¨¥­âë £ ମ­¨ç¥áª®© «¨­¥ ਧ 樨 q(A ) q0(A ) ®¯а¥¤¥«повбп б®®в­®и¥­¨п¬¨ (11.6), (11.7). гбвм

®¯ïâì ¨é¥âáï à¥è¥­¨¥ ¢ ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨¨, çâ® (t) = 0e| t: § ¯¥à¢®£® ãà ¢­¥­¨ï ¯®«ãç ¥¬ (t) = 0W« (| )e| t ⮣¤

 

 

(t) = ;| 0W« (| )e| t:

 

¬¥¥¬ 楯®çªã à ¢¥­áâ¢

 

 

 

 

(t)=q(A ) (t)+

q0

(A )

;

 

 

 

 

 

(t)= 0e| tW« (| ) q(A )+|q0

(A ) :

ª ¨ ¢ëè¥, ãç¨âë¢ ï çâ® (t) = 0e| t ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî饥

ãà ¢­¥­¨¥ £ ମ­¨ç¥áª®£® ¡ « ­á ¤«ï ­¥«¨­¥©­®© («¨­¥ à¨-

§®¢ ­­®©) á¨á⥬ë:

 

 

 

 

 

q(A ) + |q0(A ) W« (| ) = ;1:

(11.10)

9 ®«ã祭­ë©; १ã«ìâ â

¯®«­®áâìî ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¨§¢¥áâ­®¬ã ªà¨â¥-

à¨î ãá⮩稢®á⨠©ª¢¨áâ

«¨­¥©­ëå á¨á⥬ [15, 66, 76]. ¬¥â¨¬, çâ®

§¤¥áì ­¥ ®¡á㦤 «áï ¢®¯à®á ®¡ ãá⮩稢®á⨠§ ¬ª­ã⮩ á¨á⥬ë. ©- ¤¥­­ë¥ ãá«®¢¨ï ¥áâì ­¥®¡å®¤¨¬ë¥ ãá«®¢¨ï áãé¥á⢮¢ ­¨ï ­¥§ âãå îé¨å ª®«¥¡ ­¨©. á¨á⥬¥ â ª¦¥ ¨¬¥îâáï ¯¥à¥å®¤­ë¥ á®áâ ¢«ïî騥, ª®â®àë¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¨ à á室ï騬¨áï.

254

©¤¥­­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ï¥âáï ®á­®¢­ë¬ ᮮ⭮襭¨¥¬ ¬¥- ⮤ £ ମ­¨ç¥áª®© «¨­¥ ਧ 樨 ¨ á«ã¦¨â ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥- ­¨ï ¯ à ¬¥â஢ ª®«¥¡ ­¨© ­¥«¨­¥©­®© á¨á⥬ë. ¦­® ®â- ¬¥â¨âì, çâ® ¢ ãá«®¢¨¥ £ ମ­¨ç¥áª®£® ¡ « ­á (11.10) ¢å®¤¨â ¨ ¬¯«¨â㤠ª®«¥¡ ­¨©. 10 «¥¤®¢ ⥫쭮, ®­® ­ àãè ¥âáï ¯à¨ ¨§¬¥­¥­¨¨ ¬¯«¨âã¤ë. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬¥â®¤ £ ମ­¨ç¥- ᪮© «¨­¥ ਧ 樨 ¯®§¢®«ï¥â ãç¥áâì ¢®§¬®¦­®áâì áãé¥á⢮- ¢ ­¨ï ¯à¥¤¥«ì­ëå 横«®¢ ã ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬.

à ¢­¥­¨¥ (11.10) § ¯¨á ­® ¢ ª®¬¯«¥ªá­ëå ¢¥«¨ç¨­ å. ¬ã ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á¨á⥬ ¨§ ¤¢ãå ãà ¢­¥­¨© á ¢¥é¥á⢥­­ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨. í⮩ á¨á⥬¥ ¨¬¥îâáï ¤¢¥ ­¥¨§¢¥áâ­ë¥ ¢¥«¨ç¨­ë { ¯ à ¬¥âàë A ¨ : «¥¤ãî騬 è £®¬ ¨á¯®«ì§®- ¢ ­¨ï ¬¥â®¤ ï¥âáï à §à¥è¥­¨¥ (11.10) ®â­®á¨â¥«ì­® 㪠- § ­­ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå.

à ¢­¥­¨¥ (11.10) § ¯¨áë¢ îâ ¢ à §­®© ä®à¬¥ [15, 76, 94, 113].

¯à¨¬¥à, ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¥£® ¢ ¢¨¤¥ ᮮ⭮襭¨ï ¬¥- ¦¤ã ¬­®£®ç«¥­ ¬¨ ¢ ç¨á«¨â¥«¥ ¨ §­ ¬¥­ ⥫¥ ¯¥à¥¤ â®ç­®© ä㪭樨 «¨­¥©­®© ç áâ¨. ®£¤ ®­® ¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤

A(| ) + (;q(A ) + |q0(A ) B(| ) = 0

(11.11)

᫨ ®¯à¥¤¥«¨âì å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬­®£®ç«¥­ § ¬ª­ã⮩

 

;

 

q0(A )

 

B(s) â® (11.11)

á¨áâ¥¬ë ª ª D(s) = A(s)+

 

 

 

q(A )+ s

 

 

ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯à®å®¦¤¥­¨î

 

¬¯«¨â㤭®-ä §®¢®© å à ªâ¥à¨-

á⨪¨ ¬­®£®ç«¥­ D(s) 11 ç¥à¥§ ­ ç «® ª®®à¤¨­ â, D(| ) = 0:­¥ª®â®àëå á«ãç ïå 㤮¡­¥¥ à áᬠâਢ âì (11.10) ª ª à ¢¥­á⢮ ¤¢ãå ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨ § ¤ ­­ëå ä㭪権 W«(|!) ¨

; 1 : ª®© ᯮᮡ 㤮¡¥­, ª®£¤ ª®íää¨æ¨- q(a !) + |q0(a !)

¥­âë £ ମ­¨ç¥áª®© «¨­¥ ਧ 樨 ­¥ § ¢¨áïâ ® ®â ç áâ®- âë. í⮬ á«ãç ¥ áâà®ïâáï ¤¢¥ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ªà¨¢ë¥ {

10 ¬¥â¨¬, çâ®, ¯®áª®«ìªã ¯à¨ ¢ë¢®¤¥ ª®íää¨æ¨¥­â®¢ £ ମ­¨ç¥áª®© «¨­¥ ਧ 樨 ¨á¯®«ì§®¢ « áì ¬¯«¨â㤠A ¯à®æ¥áá ­ ¢ë室¥ «¨­¥©­- ®© ç á⨠á¨á⥬ë, â® ¨¬¥­­® ®­ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬ (11.10). «ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¬¯«¨â㤠ª®«¥¡ ­¨© ¢ ¤à㣨å â®çª å (­ ¯à¨¬¥à, ­ ¢ëå®- ¤¥ á¨á⥬ë, ª®â®àë© ¬®¦¥â ­¥ ᮢ¯ ¤ âì á ¢ë室®¬ ¥¥ «¨­¥©­®© ç áâ¨), á«¥¤ã¥â ãç¨âë¢ âì ç áâ®â­ë¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¯à®¬¥¦ãâ®ç­ëå §¢¥­ì¥¢.

11 ¬¯«¨â㤭®-ä §®¢®© å à ªâ¥à¨á⨪®© ¬­®£®ç«¥­ D(s) (ªà¨¢®© ¨-

å ©«®¢ ) ­ §ë¢ ¥âáï £®¤®£à ä ä㭪樨 D(|!) ­ ª®¬¯«¥ªá­®© ¯«®áª®á⨠¯à¨ ¨§¬¥­¥­¨¨ ! ®â ;1 ¤® +1 [15, 76, 80].

255

£®¤®£à ä «¨­¥©­®© ç á⨠á¨áâ¥¬ë ®â ¯ à ¬¥âà ! ¨ £®¤®£à ä

ä㭪樨 ; 1 { ®â ¯ à ¬¥âà a. ®çª¨ ¨å ¯¥à¥á¥ç¥- q(a) + |q0(a)

­¨ï ®â¢¥ç îâ ãà ¢­¥­¨î £ ମ­¨ç¥áª®£® ¡ « ­á . íâ¨å

в®зª е ®¯а¥¤¥«повбп = ! { ¯® ¯¥à¢®© ªà¨¢®© ¨ A = a { ¯® ¢â®à®© ªà¨¢®©.

«¥¤ãî騬 è £®¬ ï¥âáï ­ «¨§ ãá⮩稢®á⨠¯¥à¨®- ¤¨ç¥áª®£® ०¨¬ . ­­ë© ­ «¨§ ¡¥§ áâண®£® ®¡®á­®¢ ­¨ï ¢ë¯®«­ï¥âáï ¢ à ¬ª å à áᬠâਢ ¥¬®£® ¬¥â®¤ á ¨á¯®«ì- §®¢ ­¨¥¬ ®â¬¥ç¥­­ëå ¨­â¥à¯à¥â 権 ãà ¢­¥­¨ï £ ମ­¨ç¥-

᪮£® ¡ « ­á á ¯®¬®éìî ªà¨â¥à¨¥¢ ãá⮩稢®á⨠«¨­¥©­ëå á¨á⥬ ( ¬¯«¨â㤭®-ä §®¢®£® ªà¨â¥à¨ï ନâ { ¨å ©«®¢ , ªà¨â¥à¨¥¢ ©ª¢¨áâ , ãࢨæ ). ®áâ â®ç­® ¯®¤à®¡­ë¥ ᢥ- ¤¥­¨ï ¯à¨¢¥¤¥­ë ¢ «¨â¥à âãॠ(á¬., ­ ¯à¨¬¥à, [15, 66, 76, 94, 113]).

11.3.4. ਬ¥à. áá«¥¤®¢ ­¨¥ £¥­¥à â®à ª®«¥¡ ­¨©

áᬮâਬ ã¯à®é¥­­ãî ¬®¤¥«ì £¥­¥à â®à ­¥§ âãå îé¨å ª®«¥¡ ­¨© [79, 94]. ®¤¥«ì ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ª®«¥¡ ⥫ì-

­®¥ §¢¥­® á ¯¥à¥¤ â®ç­®© ä㭪樥© W(s) = 2 2 k ,

T0 s + 2 T0s + 1 § ¬ª­ã⮥ ¯®«®¦¨â¥«ì­®© ®¡à â­®© á¢ï§ìî ¯® ᪮à®á⨠ç¥- १ ५¥©­ë© í«¥¬¥­â u = c signx (à¨á. 11.1). ¡à ⨬áï ¢­ -

¨á. 11.1. âàãªâãà­ ï á奬 £¥­¥à â®à ª®«¥¡ ­¨©.

ç «¥ ª ®¯¨á ­­®¬ã ¢ ¯. 11.2.2. ¬¥â®¤ã â®ç¥ç­ëå ®â®¡à ¦¥­¨©.

«ï ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï á¨áâ¥¬ë ¨á¯®«ì§ã¥¬ ª ­®­¨ç¥áªãî ä®à- ¬ã ä §®¢®© ¯¥à¥¬¥­­®© (á¬. á. 74), ¢ ª®â®à®© ¯¥à¥¬¥­­ë¥ á®áâ®ï­¨ï á¢ï§ ­ë ª ª äã­ªæ¨ï ¨ ¯à®¨§¢®¤­ ï:

256

¨á. 11.2. ®ç¥ç­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ ( ) ¨ ¯¥à¥å®¤­ ï å à ªâ¥- à¨á⨪ ª®«¥¡ ⥫쭮£® §¢¥­ (¡).

 

 

 

 

 

 

x1(t) = x(t) x2 (t) = x(t): ।¯®« £ ï ­ «¨ç¨¥ ¢ á¨á⥬¥ ¯à¥-

¤¥«ì­®£® 横«

G, ¯®«ã稬 äã­ªæ¨î ¯®á«¥¤®¢ ­¨ï. «ï íâ®-

£® ¯à®¢¥¤¥¬ ¨§ ­ ç «

ª®®à¤¨­ â ¢ áâ®à®­ã ¯®«®¦¨â¥«ì­ëå

§­ 祭¨© x «ãç

L

(à¨á.

11.2,

, â ª¦¥ à¨á. 10.2,¡ ­ á. 234).

 

 

0

 

. ॡã¥âáï ¯®«ãç¨âì ª®®à-

롥६ ­ ç «ì­ãî â®çªã x

2 L

00

 

 

 

 

¤¨­ âë â®çª¨ x

 

2 L ¢ ª®â®à®© ¯à®¨á室¨â á«¥¤ãî饥 ¯¥à¥-

á¥ç¥­¨¥ âà ¥ªâ®à¨¨ ¨ «¨­¨¨

L. ¢ë¡à ­­®¬ ¡ §¨á¥ â®çª ¬

­ «ãç¥ L ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ­ã«¥¢ë¥ §­ 祭¨ï x ¢ ¢¥àå­¥© ¯®«ã-

¯«®áª®á⨠x > 0 á«¥¤®¢ ⥫쭮 u = c\ ¢ ­¨¦­¥© ¯®«ã¯«®áª®-

á⨠x < 0 ¨ u =

;c: ®í⮬ã çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì äã­ªæ¨î ¯®á«¥-

¤®¢ ­¨ï ­ ¤® à áᬮâà¥âì ¯¥à¥å®¤­ãî å à ªâ¥à¨á⨪㠪®«¥-

¡ ⥫쭮£® §¢¥­

 

¯à¨ ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨ïå x(0) = g x(0) = 0 ¨

x(0) = g0 x(0) = 0 (à¨á. 11.2,¡). ª ¨§¢¥áâ­® [15, 76], íâ å -

à ªâ¥à¨á⨪ áâ६¨âáï ª ãáâ ­®¢¨¢è¥¬ãáï §­ 祭¨î x1 =

limt!1 x(t) = ku £¤¥ k { ª®íää¨æ¨¥­â ¯¥à¥¤ ç¨, u { ¢¥«¨ç¨- ­ ¢å®¤­®£® ¢®§¤¥©á⢨ï (¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ á«ãç ¥ u = c ¯®í⮬ã x;1 = ;ck x+1 = ck). ᫨ ¨§¢¥áâ­® ¯¥à¥à¥£ã«¨à®¢ - ­¨¥ 12 â®, ª ª ­¥âà㤭® ã¡¥¤¨âìáï, ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì­®¬ x(0) ¨ x(0) = 0 ¢ë¯®«­¥­® maxt x(t) = x1+ ;x1;x(0) : ਬ¥­ïï íâã ä®à¬ã«ã ¤¢ ¦¤ë (¯à¨ x1 = ;ck x(0) = g ¨ x1 = ck x(0) = g0),

12ਠ­ã«¥¢ëå ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨ïå ¯¥à¥à¥£ã«¨à®¢ ­¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï

;x1

 

t

 

 

ª ª =

 

x1

.

257

¨á. 11.3. ã­ªæ¨ï ¯®á«¥¤®¢ ­¨ï h = '(g).

­ 室¨¬ g0 = ;(1+ ck); g h = ck+ (ck;g0) = ck(1+ )2 + 2g:«¥¤®¢ ⥫쭮, äã­ªæ¨ï ¯®á«¥¤®¢ ­¨ï '(g) ¢ à áᬠâਢ ¥- ¬®¬ ¯à¨¬¥à¥ «¨­¥©­ ï ¨ ¨¬¥¥â '(g) = ck(1 + )2 + 2g: «ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¬¯«¨âã¤ë ¯à¥¤¥«ì­®£® 横« á«¥¤ã¥â à¥è¨âì

ãà ¢­¥­¨¥ g0 = '(g0) çâ® ¯à¨¢®¤¨â ª ä®à¬ã«¥

 

1

+

 

 

g0 = ck 1

;

:

(11.12)

ãá⮩稢ëå ª®«¥¡ ⥫ì­ëå §¢¥­ì¥¢ ¯ à ¬¥âà 0 < < 1 ¯®-

í⮬ã ä®à¬ã« (11.12) ¯à¨¢®¤¨â ª ª®­¥ç­ë¬ ¯®«®¦¨â¥«ì­ë¬

§­ 祭¨ï¬ ¬¯«¨âã¤ë ª®«¥¡ ­¨© ­

¢ë室¥ á¨á⥬ë (®ç¥¢¨¤-

­®, çâ® ¤«ï ¯à¥¤¥«ì­®£® 横« Ax

 

= maxt x(t) g0 ). à -

­¨ç­ë¬ ï¥âáï á«ãç © = 1 ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ª®­á¥à-

¢ ⨢­®¬ã §¢¥­ã ( = 0). ਠí⮬ ¯®«®¦¨â¥«ì­ ï ®¡à â-

­ п б¢п§м б ®£а ­¨з¥­­л¬ ¯® га®¢­о б¨£­ «®¬ ¯а¨¢®¤¨в ª ­¥®£а ­¨з¥­­®¬г а®бвг " ¬¯«¨вг¤л" ¢л室­®£® ¯а®ж¥бб .а д¨з¥бª¨ нв® п¢«¥­¨¥ ¯а¥¤бв ¢«п¥вбп ®вбгвбв¢¨¥¬ ¯¥а¥б¥- з¥­¨п дг­ªж¨¨ ¯®б«¥¤®¢ ­¨п '(g) á ¡¨áᥪâà¨á®© ª®®à¤¨­ â-

­®£® 㣫 ¯«®áª®á⨠(g h). áá«¥¤®¢ ­¨¥ ãá⮩稢®á⨠¯¥à¨-

®¤¨ç¥áª®£® ०¨¬ ¯à®¨§¢®¤¨âáï ¯® §­ 祭¨î ¯à®¨§¢®¤­®©

d'(g)

g=g0: à áᬠâਢ ¥¬®¬ ¯à¨¬¥à¥ í⠯ந§¢®¤­ ï à ¢-

dg

 

­ 0

< 2 < 1, á«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ á¨á⥬¥ ãáâ ­ ¢«¨¢ îâáï ¢-

⮪®«¥¡ ­¨ï á ¬¯«¨â㤮©, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© ä®à¬ã«®© (11.12).à ä¨ç¥áª¨ á室¨¬®áâì ª®«¥¡ ­¨© ª ¯à¥¤¥«ì­®¬ã 横«ã ¨§ à §­ëå ­ ç «ì­ëå §­ 祭¨© x(0) = g0 ¨ x(0) = g00 ¯®ª § ­ ­ à¨á. 11.3.

258

áâ®âã

 

¢â®ª®«¥¡ ­¨© ¬®¦­® ®¯à¥¤¥«¨âì ¨áå®¤ï ¨§ ¢¨-

 

¤ ¢¥á®¢®©

 

ä㭪樨

 

w(t)

ª®«¥¡ ⥫쭮£®

§¢¥­ .

ª

ª ª

w(t) =

k

 

 

exp

 

 

 

sin

 

 

 

 

( t

 

0),

£¤¥

 

=

p

 

 

L

 

 

;

t

 

 

t

 

 

 

1

;

2

 

 

 

 

 

 

 

T0

 

 

T0

 

 

 

T0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯à¥¤¥«ì­®£® 横«

á «¨­¨¥©

 

 

[15, 76], â® â®çª¨ ¯¥à¥á¥ç¥­¨ï

 

 

 

 

®âáâ®ïâ ¢® ¢à¥¬¥­¨ ­

 

2 T0

 

:

®í⮬ã ç áâ®â

¢â®ª®«¥¡ -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ; 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

­¨© á¢ï§ ­ á ¯ à ¬¥âà ¬¨ T0 §¢¥­

W(s) ᮮ⭮襭¨¥¬

 

=

p1T;0 2

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

áᬮâਬ ⥯¥àì à¥è¥­¨¥ ⮩ ¦¥ § ¤ ç¨ ¬¥â®¤®¬ £ ମ-

 

­¨ç¥áª®£® ¡ « ­á . ë室®¬ «¨­¥©­®© ç á⨠á¨á⥬ë ï-

¥âáï ᨣ­ « (t) x(t): ¨­¥©­ ï ç áâì ®¯¨áë¢ ¥âáï ¯¥à¥¤ -

 

 

ks

®â ¢å®¤ (t) u(t)

â®ç­®© ä㭪樥© W«(s) = T 2s2

+ 2 T s + 1

0

0

 

ª ¢ë室ã (t): «¥¤ã¥â ãç¥áâì, çâ® ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ ¯à¨¬¥-

ॠ®¡à â­ ï á¢ï§ì ¯®«®¦¨â¥«ì­ ï (à¨á. 11.1), ¯®í⮬ã ãà ¢- ­¥­¨¥ £ ମ­¨ç¥áª®£® ¡ « ­á (11.10) § ¯¨áë¢ ¥âáï á ¯à®â¨-

¢®¯®«®¦­ë¬ §­ ª®¬ ¢ ¯à ¢®© ç áâ¨: q(A )+

+|q0(A ) W« (| ) = 1: à ¢­¥­¨¥ ­¥«¨­¥©­®© ç á⨠á¨á⥬ë

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

4c

 

¨¬¥¥â ¢¨¤ (t) = c sign (t): «ï ५¥©­®£® §¢¥­

q(A) =

:

 

®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî饥 ãà ¢­¥­¨¥:

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

4ck|

 

 

 

= 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

A ;T02 2 + 2 T0| + 1

 

 

 

 

 

âáî¤ ­ 室¨¬ ¯ à; ¬¥âàë ¯à¥¤¥«ì­®£® 横«

=

1

 

 

 

 

 

 

 

2ck

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T0

 

A =

: ®áª®«ìªã ¢ë室®¬ «¨­¥©­®© ç á⨠á¨áâ¥¬ë §¤¥áì

 

 

T0

 

ª®«¥¡ ⥫쭮£® §¢¥­ , ¤«ï

 

ï¥âáï ¯à®¨§¢®¤­ ï ®â ¢ë室

 

¢ëç¨á«¥­¨ï Ax á«¥¤ã¥â ­ ©¤¥­­ãî

¬¯«¨âã¤ã A à §¤¥«¨âì ­

 

§­ 祭¨¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨àãî饣® §¢¥­

­ ç áâ®â¥ ! = :

 

â ª, ¯® ¬¥â®¤ã £ ମ­¨ç¥áª®£® ¡ « ­á

 

¯®«ãç ¥¬

 

 

 

 

=

1

 

Ax

=

2ck

:

 

(11.13)

 

 

 

 

 

 

 

T0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

­â¥à¥á­® áà ¢­¨âì ¯®«ã祭­ë© १ã«ìâ â á â®ç­®© ä®à¬ã- «®© (11.12). «ï í⮣® á«¥¤ã¥â ãáâ ­®¢¨âì á¢ï§ì ¬¥¦¤ã ®â-

­®á¨â¥«ì­ë¬ ª®íää¨æ¨¥­â®¬ ¤¥¬¯ä¨à®¢ ­¨ï ª®«¥¡ ⥫ì-

­®£® §¢¥­ ¨ ¯¥à¥à¥£ã«¨à®¢ ­¨¥¬ . áå®¤ï ¨§ ­ «¨â¨ç¥- ᪮£® ¢ëà ¦¥­¨ï ¤«ï ¯¥à¥å®¤­®© ä㭪樨 [15, 76], ­¥âà㤭®

¯®«ãç¨âì, çâ®

= exp ;

 

 

: ᯮ«ì§ãï íâã § ¢¨á¨-

 

 

 

1 ; 2

¬®áâì, ­ ©¤¥¬

¡á®«îâ­ãî A =

Aâ

A£

¨ ®â­®á¨â¥«ì­ãî

 

 

p

 

x ;

x

 

 

 

 

259

 

 

 

¨á. 11.4. ¬¯«¨âã¤

ª®«¥¡ ­¨© £¥­¥à â®à

¨ ®è¨¡ª ¥¥

®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¬¥â®¤®¬ £ ମ­¨ç¥áª®£® ¡ « ­á .

 

A

¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ (11.12), Ax£ {

A = j Aâ j ®è¨¡ª¨ (Axâ

x

 

 

¯® ä®à¬ã«¥ (11.13)). ¥§ã«ìâ âë ®âà ¦¥­ë ­

à¨á. 11.4, £¤¥

¯®ª § ­ë £à 䨪¨ ®â­®á¨â¥«ì­ëå (ª ¢¥«¨ç¨­¥ ª®íää¨æ¨¥­â

¯¥à¥¤ ç¨ ck) ¬¯«¨â㤠ª®«¥¡ ­¨© Aâ

¨ A£

â ª¦¥ £à 䨪

 

x

x

 

®â­®á¨â¥«ì­®© ®è¨¡ª¨ ä®à¬ã«ë (11.13) ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¯ -

à ¬¥âà

: § £à 䨪®¢ ¢¨¤­®, çâ® ¯à¨ < 0:5 ®â­®á¨â¥«ì­ ï

®è¨¡ª

­¥ ¯à¥¢ëè ¥â 10%, ç⮠ï¥âáï ¢¯®«­¥ 㤮¢«¥â¢®-

à¨â¥«ì­®© â®ç­®áâìî ®¯à¥¤¥«¥­¨ï å à ªâ¥à¨á⨪ á¨á⥬ë á ãç¥â®¬ ¯®£à¥è­®á⥩, ­¥¨§¡¥¦­® ¨¬¥îé¨åáï ¢ ¥¥ ¬ ⥬ â¨-

ç¥áª®© ¬®¤¥«¨ [72, 87]. ¬¥â¨¬, çâ® ®â­®á¨â¥«ì­ ï ®è¨¡ª ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ç áâ®âë ª®«¥¡ ­¨© ­¥áª®«ìª® ¡®«ìè¥. ª á«¥¤ã¥â ¨§ â®ç­®© ¨ ¯à¨¡«¨¦¥­­®© ä®à¬ã«, ¯à¨ = 0:5 í⠮訡ª á®áâ ¢«ï¥â ®ª®«® 15%, ¯à¨ = 0:6 ®­ а ¢­ 25%.бᬮва¥­­л© ¯а¨¬¥а ¯®ª §л¢ ¥в, зв® ¬¥в®¤ £ ମ­¨з¥- бª®£® ¡ « ­б ¬®¦¥в б«г¦¨вм ¤®бв в®з­® ­ ¤¥¦­л¬ б¯®б®- ¡®¬ ®¯а¥¤¥«¥­¨п ¯ а ¬¥ва®¢ ¯а¥¤¥«м­ле ж¨ª«®¢, ®¤­ ª® ¯®- «гз¥­­л¥ б ¥£® ¯®¬®ймо а¥§г«мв вл ­г¦¤ овбп ¢ ¯а®¢¥аª¥ (б¬. б­®бªг 6 ­ б. 249). б«¨ ¢¥а­гвмбп ª а бᬮва¥­­®- ¬г ¯а¨¬¥аг, в® ®в­®и¥­¨¥ ¬¯«¨вг¤­®-з бв®в­ле е а ªв¥-

à¨á⨪ «¨­¥©­®© ç á⨠á¨áâ¥¬ë ­ ç áâ®â å = T10 ¨ 2

á®áâ ¢«ï¥â ¯à¨ = 0:2 ¢¥«¨ç¨­ã 3.9, ¯à¨ = 0:5 { 1.8, ¯à¨= 1:0 { 1.25 . «¥¤®¢ ⥫쭮, £¨¯®â¥§ã 䨫ìâà ¯à¨ ¡«¨§- ª®© ª ¥¤¨­¨æ¥, ­¥«ì§ï áç¨â âì ¢ë¯®«­¥­­®©.

260

11.4.

¥â®¤ ä㭪権 ï¯ã­®¢

 

 

 

 

 

¥â®¤ ä㭪権 . . ï¯ã­®¢

(¯àאַ©, ¨«¨ ¢â®à®© ¬¥â®¤

ï¯ã­®¢ ) ®â­®á¨âáï ª â®ç­ë¬

­ «¨â¨ç¥áª¨¬ ¬¥â®¤ ¬. ­

ï¥âáï äã­¤ ¬¥­â®¬ ⥮ਨ ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬. á­®¢ë

 

í⮣® ¬¥â®¤

§ «®¦¥­ë . .

ï¯ã­®¢ë¬ ¢ 90-å £®¤ å XIX

á⮫¥â¨ï. ¬¥¥âáï ¡®«ì讥 ç¨á«® ¯ã¡«¨ª 権 ¯® à §¢¨â¨î

 

१ã«ìâ ⮢ ï¯ã­®¢

¨ ¥é¥ ¡®«ì襥 { ¯® ¯à¨¬¥­¥­¨î ¬¥â®-

 

¤ ï¯ã­®¢

¢ à §«¨ç­ëå ®¡« áâïå ⥮ਨ á¨á⥬ ã¯à ¢«¥-

 

­¨ï. ¤¥áì ®£à ­¨ç¨¬áï ªà ⪨¬¨ ᢥ¤¥­¨ï¬¨ ®¡ ®á­®¢­ëå

 

¨¤¥ïå ¤ ­­®£® ¬¥â®¤

 

(¯®¤à®¡­¥¥ á¬. ¢ [64]).

 

 

 

 

11.4.1.

á­®¢­ë¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï

 

 

 

 

 

 

 

áᬮâਬ ¢­ ç «¥ ®¤­®à®¤­®¥ ãà ¢­¥­¨¥

 

 

 

 

 

 

x(t) = f ;x(t)

 

x(0) = x0

 

 

(11.14)

¯®« £ ï, çâ® f (0) = 0: ®£¤

â®çª

 

x = 0 ï¥âáï

®á®¡®©

 

â®çª®© { á®áâ®ï­¨¥¬ à ¢­®¢¥á¨ï á¨á⥬ë. ⮬㠭 ç «ì­®-

 

¬ã á®áâ®ï­¨î ᮮ⢥âáâ¢ã¥â âਢ¨ «ì­®¥ à¥è¥­¨¥ x(t)

0

 

ª®â®à®¥ ­ §ë¢ ¥âáï ­¥¢®§¬ã饭­ë¬ ¤¢¨¦¥­¨¥¬ (11.14). à¨

x0 = 0 ¯®«ãç ¥¬ ¢®§¬ã饭­®¥ ¤¢¨¦¥­¨¥. â ¢¨âáï § ¤ ç

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ãá⮩稢®á⨠¯®«®¦¥­¨ï à ¢­®¢¥á¨ï. ᮤ¥-

 

ঠ⥫쭮¬ ã஢­¥ ®­ ®§­ ç ¥â ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ å à ªâ¥à

¯®-

 

¢¥¤¥­¨ï ¢®§¬ã饭­®£® à¥è¥­¨ï: ¡ã¤¥â «¨ ®­® ¯à¨ ¢®§à áâ -

 

­¨¨ t ¯а¨¡«¨¦ вмбп ª б®бв®п­¨о а ¢­®¢¥б¨п ¨«¨ г¤ «пвмбп

 

®â ­¥£®. ०¤¥ 祬 ¤ âì â®ç­ë¥ ä®à¬ã«¨à®¢ª¨, à áᬮâਬ

 

¡®«¥¥ ®¡éãî § ¤ çã.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ëè¥ ¯à¨­ïâ®, çâ® f (0) = 0: ᪮«ìª® ®¡é¨¬ ï¥âáï

íâ® ãá«®¢¨¥?

ãáâì, ­ ¯à¨¬¥à, ¤«ï ­¥ª®â®à®£® x

 

= 0 ¢ë-

 

 

 

) = 0: ®£¤

 

 

 

 

 

6

 

 

¯®«­¥­® f (x

á®áâ®ï­¨¥¬ à ¢­®¢¥á¨ï ï¥âáï

â®çª

x ª®â®à®© ᮮ⢥âáâ¢ã¥â à¥è¥­¨¥ x(t) x : ⮡ë

 

ᢥá⨠§ ¤ çã ª 㪠§ ­­®© ¢ëè¥, ᤥ« ¥¬ § ¬¥­ã ¯¥à¥¬¥­-

 

 

 

 

 

 

x0 = x0 ; x x(t) = x(t) + x

­ëå x(t) = x(t) ; x : ®£¤

x(t) = x(t): âáî¤

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

;

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

£¤¥ äã­ªæ¨ï f~ x(t)

 

x +x (t) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î

= f

f~(0) = 0: ®í⮬㠯®«ãç ¥¬ § ¤ çã ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ãá⮩稢®-

 

á⨠âਢ¨ «ì­®£® à¥è¥­¨ï x(t)

 

0:

 

 

 

 

­ «®£¨ç­®, ¥á«¨ âॡã¥âáï ¨áá«¥¤®¢ âì ãá⮩稢®áâì ¤¢¨-

 

¦¥­¨ï ¯® ­¥ª®â®à®© âà ¥ªâ®à¨¨ x (t) ïî饩áï à¥è¥­¨¥¬ 261