3. Построение уравнений регрессии. Расчет коэффициента эластичности, аппроксимации
Регрессия – зависимость среднего значения какой-либо случайной величины от некоторой другой величины.
При регрессионной связи одному значению факторной величины Х могут соответствовать различные значения результирующей величины У.
По числу переменных различают регрессию:
парную – регрессия между двумя переменными.
множественную – регрессия между зависимой переменной у и несколькими переменными (x1, х2, …, хn).
Уравнение, связывающее величины у и х, называются уравнением регрессии, а его графическое представление – линией регрессии у по х, т.е. ух.
Теоретической линией регрессии называется та линия, вокруг которой группируются точки корреляционного поля и которая указывает основное направление, основную тенденцию связи.
Наиболее часто для характеристики связей экономических показателей используют следующие типы функций:
– линейную:
;
(11.4)
– гиперболическую:
;
(11.5)
– показательную:
;
(11.6)
– параболическую:
;
(11.7)
– степенную:
;
(11.8)
– логарифмическую:
;
(11.9)
– логистическую:
;
(11.10)
и др.
Построить уравнение регрессии – значит найти коэффициенты при факторах, входящих в уравнение. Обычно для нахождения этих коэффициентов пользуются методом наименьших квадратов. При этом:
.
Чаще используется линейное уравнение регрессии. Оно имеет вид:
,
где
–
факторный признак;
–
результативный теоретический показатель;
–
свободный параметр уравнения, который
характеризует уровень результативного
признака при
;
–
коэффициент регрессии. Он показывает,
на сколько изменится результативный
признак, если факторный увеличится на
единицу своего натурального выражения.
Для определения и решается система нормальных уравнений:
.
Решение этой системы дает следующие значения параметров:
;
(11.11)
.
(11.12)
После нахождения параметров, получаем уравнение регрессии, по которому находим теоретические значения для каждого значения .
При расчете параметров и качества уравнения регрессии целесообразно построить следующую таблицу:
№ п/п |
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы определить, с какой степенью достоверности построенное уравнение регрессии воспроизводит реальный характер зависимости результативного признака от факторного, рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации – А:
.
(11.13)
Уровень точности в зависимости от значений ошибки аппроксимации показан в табл. 11.1.
Таблица 11.1