4. Средняя гармоническая, геометрическая, квадратическая

Средняя гармоническая – это величина, обратная средней арифметической. Средняя гармоническая также может быть простая и взвешенная.

Среднюю гармоническую простую называют еще средней из обратных значений признаков, она применяется при , где .

. (6.15)

Пример 4. На решение задачи ученикам отведено одинаковое время. Один ученик затрачивает на решение задачи 1/3 часа, второй – 1/5 и третий 1/4 часа. Тогда средние затраты времени на решение задачи составят:

(часа).

Если известен ряд вариант ( ) и ряд произведений вариант на частоту , а сама частота ( ) неизвестна, расчет средней производится по средней гармонической взвешенной:

. (6.16)

Пример 5. Средний сбор картофеля за смену одним работником ( ) и общий объем собранной за смену продукции ( ) представлен следующими данными:

Номер бригады	Сбор картофеля, кг
	одним работником	всей бригадой
1	800	2400
2	1200	9600
3	900	5600
Всего		17600

На основании формулы величина среднего сбора картофеля одним работником по всем бригадам вместе составит:

(кг).

Средняя геометрическая простая:

, (6.17)

где – произведение значений признака.

Средняя геометрическая взвешенная:

, (6.18)

где – частота повторения индивидуального значения признака (вес).

Средняя геометрическая простая используется чаще для определения среднего темпа роста, анализа средних показателей динамики.

Пример 6. Известны данные о темпах роста производства продукции:

Год	2007	2008	2009	2010
Цепной темп роста	1,24	1,39	1,31	1,15

Решение:

Среднегодовой темп роста будет равен:

.

Итак, при выборе вида средней величины необходимо исходить из логической сущности осредняемого признака и его взаимосвязи с итоговым (определяющим) показателем.

Средняя квадратическая – это средняя степенная второго порядка, которая имеет ограниченное применение. Использование ее при расчете показателей вариации рассмотрено в теме 7.

Средняя квадратическая рассчитывается по формулам:

- простая:

; (6.19)

- взвешенная:

. (6.20)