Тема 7. Статистическое изучение вариации

Цель: усвоить понятие вариации признака, показатели ее измерения, практическую значимость показателей.

План:

1. Понятие вариации признаков

2. Абсолютные показатели вариации

3. Относительные показатели вариации

4. Свойства дисперсии

5. Дисперсия альтернативного признака

6. Правило сложения дисперсий

1. Понятие вариации признаков

Вариация – различие индивидуальных значений (изменение, колеблемость) признаков внутри изучаемой совокупности.

В пределах совокупности признаки могут принимать различные значения. Например, объем реализации продукции за каждый месяц текущего года, колебание среднесуточной температуры по дням декады, успеваемость студента по итогам зимней сессии (в баллах) и т.д. Изучение вариации признаков в статистической совокупности ставит целью определить:

– типичность и устойчивость (надежность) средней величины;

– зависимость колеблемости изучаемого признака от вариации другого или нескольких других признаков в данной совокупности;

– степень однородности совокупности;

– величину ошибок выборочного наблюдения;

Показатели закономерности выборочного распределения и др.

2. Абсолютные показатели вариации

К абсолютным показателям вариации относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Размах вариации, среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение измеряются в тех же единицах, что и значение признаков в совокупности.

Размах вариации (колебаний) (R) – характеризует общую колеблемость признака, представляет собой разность между максимальным и минимальным значением признаков совокупности:

. (7.1)

Среднее линейное отклонение ( ) – это среднее арифметическое из отклонений индивидуальных значений от средних. Оно учитывает отличие всех единиц совокупности от средней арифметической. Расчет, исходя из нулевого свойства средней арифметической, ведется по модулю, т.е. .

Среднее линейное отклонение ( ) определяют:

– по несгруппированным (первичным) данным:

, (7.2)

где – индивидуальные значения признака в совокупности; – среднее значение признака в совокупности; - численность признаков в совокупности;

– по сгруппированным данным, т.е.вариационным (дискретным и интервальным) рядам:

, (7.3)

где – частота варьирующего признака.

Более полную характеристику степени вариации признака в совокупности, ее зависимости от вариации другого признака, для расчета погрешности выборочного наблюдения и т.д. можно дать с помощью дисперсии и среднего квадратического отклонения.

Дисперсия ( ) – это средняя из квадратов отклонений вариант значений признаков от их средней величины. Она определяется по следующим формулам:

– по несгруппированным данным:

; (7.4)

– по сгруппированным данным:

. (7.5)

Дисперсию можно рассчитать и вторым способом, как разность между средним квадратом вариант и квадратом их средней величины:

. (7.6)

Применительно к исходным данным формула принимает вид:

– по несгруппированным данным:

; (7.7)

– по сгруппированным данным:

. (7.8)

В последнем случае средний квадрат вариант ( ) определяют как .

Среднее квадратическое отклонение ( ) – это корень квадратный из дисперсии. Оно показывает, как основная масса индивидуальных значений признака в совокупности колеблется относительно средней арифметической величины, т.е. типичность средней величины расчета:

– по несгруппированным данным:

; (7.9)

– по сгруппированным данным:

. (7.10)