5. Структурные средние
Структурные
средние характеризуют структуру
совокупности. К их числу относятся мода
и медиана.
применяют при экспертных оценках,
–
статистическом контроле качества.
Мода ( ) – это наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности. Она соответствует определенному значению признака в дискретном ряду.
Пример 7.
Распределение рабочих цеха по разрядам
Тарифный разряд (x) |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Число рабочих (f) |
10 |
22 |
48 |
55 |
20 |
Накопленные частоты (F) |
10 |
32 |
80 |
135 |
155 |
Решение:
Модальный разряд (варианта) – 5, т.к. он имеет наибольшую частоту (f=55).
Медиана ( ) – это величина варьирующегося признака, которая делит совокупность пополам, т.е. лежит в середине ранжированного ряда.
Место медианы в ряду:
а) с нечетным числом единиц:
;
б) с четным числом единиц:
.
В нашем примере медианным является 4 разряд.
Формулы расчета структурных средних по сгруппированным данным (с интервалами):
,
(6.21)
где
– нижняя граница модального интервала
(интервала с наибольшей частотой); i
– величина интервала;
– соответственно частоты модального,
предмодального и послемодального
интервалов.
,
(6.22)
где
– нижняя граница медианного интервала,
в котором находится половина единиц
объема совокупности;
i – величина
интервала;
– сумма всех частот;
– сумма частот, предшествующих медианному
интервалу;
– частота медианного интервала.
Пример 8. В таблице приведены данные о стаже работы 30 рабочих цеха.
Стаж работы, лет (x) |
Численность рабочих, человек (f) |
Накопленные частоты, |
До 6 |
7 |
7 |
6-12 |
12 |
19 |
12-18 |
5 |
24 |
18-24 |
4 |
28 |
Более 24 |
2 |
30 |
Решение:
Модальный интервал при стаже работы от 6 до 12 лет имеет частоту 12. Тогда мода равна:
лет.
Мода показывает, что наиболее часто рабочие цеха имеют стаж 8,5 лет.
Медианный интервал (в котором находится половина частот совокупности, т.е. 15 человек), будет также при стаже от 6 до 12 лет.
Медиана равна:
лет.
Медиана показывает, что половина рабочих имеет стаж до 10 лет, половина – более 10 лет.
Структурные средние можно определить не только по формулам, но и графически: моду по гистограмме, медиану по кумуляте.
Для графического определения моды в гистограмме используют три столбика: самый высокий и два прилегающих к нему – слева и справа. Внутри столбика с наибольшей высотой проводят две линии: первая соединяет его правый верхний угол с правым верхним углом предшествующего столбика, а левый – с верхним левым углом следующего. Абсцисса точки пересечения этих прямых – это мода распределения, представленного в виде гистограммы (рис. 6.1).
Рисунок 6.1 Графическое представление моды на гистограмме распределения
Для графического определения медианы строят кумуляту и последнюю ординату кумуляты делят пополам. Через полученную точку проводят прямую параллельно оси абсцисс до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения – это медиана представленного графически распределения (рис. 6.2).
Рисунок 6.2 Графическое представление медианы на кумуляте распределения