Глава 12. Перевірка статистичних гіпотез

12.1. Основні поняття

Статистичні гіпотези – це припущення про вигляд розподілу гене­ральної сукупності або про параметри відомих розподілів, якщо відома вибірка з гене­ральної сукупності. Суть перевірки гіпотез полягає в тому, щоб визначити, узгоджуються чи ні ре­зультат вибірки з гіпотезою, випадковими чи невипадковими є розбіжності між гіпотезою і даними вибірки.

Найчастіше гіпотеза, яку належить перевірити, формулюється як відсутність розбіжності (нульова розбіжність) між невідомим параметром генеральної сукупності G і заданою величиною А, а тому її позначають H₀. Зміст гіпотези записують після двокрапки, наприклад H₀: G=А.

Кожній нульовій гіпотезі протиставляють альтернативну Н_a. При формулюванні Н_a враховується вагомість відхилень (G-А): для додатних відхилень Н₁: G > А, для від’ємних – Н₁: G < А, для тих і інших – Н₁: G ≠ А.

Наприклад, як­що H₀: випадкова величина X роз­по­ді­ле­на за нормальним законом, то H₁: випадкова величина X не розподіле­на за нормальним законом.

Якщо вибіркові дані суперечать гіпотезі H₀, вона відхиляється, коли ці дані узгоджуються з гіпотезею Н₀, вона приймається. При цьому за да­ни­ми випадкової вибірки можна зробити хибний висновок. Похибки мо­жуть бути пер­шо­го або дру­го­го роду. Якщо за висновком бу­де відкинута правильна гіпотеза, то кажуть, що це похибка І роду. Ймовірність здій­снити по­хиб­ку першого роду по­зна­чають a і називають рівнем зна­чу­щості. Якщо ж за висновком буде прийнята непра­виль­на гіпотеза, то кажуть, що це похибка ІІ роду. Ці висновки конкуруючі, і зменшення ймовірності α одного зумовлює збільшення ймовірності β іншо­го. Оскільки уникнути похибки неможливо, а наслідки їх, як пра­вило, різновагомі, то в кожному конкретному дослідженні праг­нуть мінімізувати ту похибку, яка пов’язана з більшими втра­тами. Ймовірності похибок наведено в табл. 12.1.

Таблиця 12.1.

Ймовірність ризиків помилкових рішень при перевірці гіпотез

Правильна гіпотеза	Прийнята гіпотеза
	Н0	Н1
Н0	1 – α	α
Нa	β	1 – β

Правило, за яким гіпотеза Н₀ відхиляється або приймається, називається статистичним критерієм. Математичною основою будь-якого критерію є статистична характеристика Z з відомим розподілом, значення якої визначається за даними вибірки. Кожне значення характеристики Z має певну ймовірність F(Z). Якщо вибіркове значення Z малоймовірне, гі­потеза Н₁ відхиляється.

Межу малоймовірності Z називають рівнем значущості α. Очевидно, що α – це ймовірність похибки І роду, а тому залежно від змісту гіпотези Н₀ і наслідків її відхилення рівень значущості визначають у кожному конкретному дослідженні. Зазвичай виби­рають один із рівнів α, для яких табульовані значення статистич­них характеристик критеріїв. Це α = 0,10; 0,05; 0,025; 0,01.

Значення статистичної характеристики критерію Z_1-α поділяє множину вибіркових значень Z на дві частини: а) область прийняття гіпотези і б) критичну область. Якщо вибіркове значення Z потрапляє у критичну область, гіпотеза Н₀ відхиляється, якщо в область прийняття гіпотези — приймається. Саме тому зна­чення Z_1-α називають критичним.

Рис. 12.1. Лівостороння та двостороння критичні області

Залежно від того, як сформульована альтернативна гіпотеза, критична область може бути односторонньою (ліво- чи правосторонньою) або двосторонньою (рис. 12.1).