4.5. Середня арифметична проста та зважена, порядок її розрахунку

Одним з найпоширеніших видів середніх величин є середня арифметична. Її застосовують у тих випадках, коли відомі індивідуальні значення усереднювальної ознаки та їх кількість у сукупності. Вона обчисляється діленням загального обсягу значень ознаки на обсяг сукупності.

Середня арифметична буває двох видів: ► середня арифметична проста; ► середня арифметична зважена.

Формула середньої арифметичної простої має наступний вигляд:

, *¹

де – середнє значення ознаки;

– конкретні значення ознаки (варіанти);

– число варіант, тобто обсяг сукупності.

Формула середньої арифметичної простої використовується за первинними, незгрупованими даними. При розрахунках роблять дві прості операції: складання значень варіантів і ділення отриманої суми на їхню кількість. Тому і формула носить назву середньої арифметичної простої.

Однак статистика має справу з великими сукупностями. У великих за обсягом сукупностях окремі значення групувальної ознаки (варіанти) повторюються при цьому неоднакове число разів. У даному випадку використовують технічний прийом, який називають зважуванням. Технічний прийом зважування дозволяє обсяг значень ознаки визначити як суму добутків варіант на відповідні їм частоти .

Формула середньої арифметичної зваженої має наступний вигляд:

або ,

де – частоти.

Формула середньої арифметичної зваженої використовується у випадках, коли знаменник логічної формули відомий, а чисельник визначається шляхом суми добутків варіантів на їхні частоти.

Середня арифметична має цілу низку математичних властивостей. Розглянемо найважливіші з них:

► алгебраїчна сума відхилень окремих варіант ознаки від середньої дорівнює нулю, тобто ;

► добуток середньої на суму частот завжди дорівнює сумі добутків варіантів на відповідні їм частоти, тобто ;

► якщо усі ваги зменшити або збільшити в декілька разів, то середня арифметична від цього не зміниться;

► якщо всі варіанти збільшити чи зменшити на одну й ту саму величину або у декілька разів, то середня величина збільшиться або зменшиться аналогічно.

Викладені вище властивості середньої арифметичної дають змогу в багатьох випадках суттєво спростити її обчислення.

4.6. Середня гармонічна проста та зважена, умови та порядок її розрахунку

Середня гармонічна – це величина, обернена середній арифметичній із обернених значень ознаки, тому середня гармонічна також буває двох видів: середня гармонічна проста; середня гармонічна зважена.

Середня гармонічна проста дуже рідко застосовується у статистиці. Формула для її розрахунку має наступний вигляд:

Середня гармонічна зважена розраховується за формулою:

,

де – добуток варіант на частоти ( ).

Середня гармонічна зважена використовується тоді, коли чисельник логічної формули відомий, невідомий знаменник, тобто чисельність сукупності, однак дану чисельність можливо розрахувати.

Порядок розрахунку середньої хронологічної, квадратичної, геометричної, та структурних середніх буде розглянуто пізніше в інших розділах.