5.4. Види та математичні властивості дисперсії

Дисперсія посідає особливе місце у статистичному аналізі соціально-економічних явищ та процесів. Вона є невід'ємним і важливим елементом інших статистичних методів, зокрема вибіркового спостереження, кореляційно-регресійного та дисперсійного аналізу. Тому виникає необхідність більш детального розглядання даного показника та його властивостей.

Основною метою дисперсійного аналізу є виявлення на основі величини загальної дисперсії впливу окремих чинників чи умов, які визначають варіацію ознаки. Для оцінки частки варіації, зумовленої тією чи іншою ознакою, сукупність розподіляють на групи за ознакою, вплив якої досліджується.

Це дозволяє розкласти загальну варіацію (дисперсію) ознаки на дві дисперсії, з яких одна частина варіації вивчається впливом чинника, закладеного в основу групування, а інша – варіацією, зумовленою впливом усіх інших чинників, крім того, що вивчається. Тому при розрахунках використовують декілька видів дисперсії: загальну, міжгрупову та групову (внутрішньогрупову).

Загальна дисперсія характеризує загальну варіацію ознаки під впливом усіх умов і причин, що зумовили цю варіацію. Порядок визначення загальної дисперсії вже було розглянуто раніше (у таб.5.1).

Міжгрупова дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень групових середніх від загальної середньої . Вона показує результат впливу фактора, який покладено в основу групування. Міжгрупова дисперсія визначається за формулою:

= ,

де – загальна середня варіюючої ознаки;

– середня величина -ї групи;

– частоти -ї групи.

Групова (внутрішньогрупова) дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки всередині групи від середньої арифметичної відповідної групи. Ця дисперсія характеризує варіацію ознаки всередині кожної групи статистичного групування. Її можна обчислити як середню просту і як зважену. На практиці найчастіше розрахунок проводять за формулою середньої арифметичної простої:

,

де – значення ознаки окремо за групами;

– кількість частот у кожній групі.

Групова дисперсія розраховується окремо для кожної -ї групи. Для всіх груп в цілому розраховується середня з групових дисперсій.

Середня з групових дисперсій (залишкова) – це узагальнююча міра внутрішньогрупової варіації. Ця дисперсія показує результат впливу інших факторів, окрім групувального. Середня з групових дисперсій - це середня арифметична зважена з групових дисперсій:

.

Так як загальна дисперсія характеризує варіацію ознаки за рахунок впливу всіх факторів (причин), міжгрупова – за рахунок фактора, покладеного в основу групування, внутрішньогрупова – за рахунок інших факторів, не врахованих у групуванні, то між різними видами дисперсії існує певний зв’язок. Загальна дисперсія дорівнює сумі середньої з групових дисперсій та міжгрупової дисперсії:

+

Це правило додавання дисперсій має велике практичне значення. Так як дозволяє, знаючи два види дисперсій, визначити третій, а також виявити залежність результатів варіації результативної ознаки, яка пов’язана з варіацією групувальної ознаки. Дану залежність встановлюють на основі коефіцієнта детермінації, який визначають відношенням міжгрупової дисперсії до загальної:

.

Коефіцієнт детермінації виражається у коефіцієнтах чи відсотках.

У статистиці поряд із показниками варіації кількісної ознаки використовують показники варіації альтернативної ознаки. Альтернативними ознаками вважаються ознаки, які властиві одним одиницям сукупності та відсутні в інших одиницях сукупності. Наприклад, робітники підприємства підрозділяються на чоловіків та жінок, за місцем проживання населення поділяється на міське та сільське, тобто у даних випадках є два взаємовиняткових варіанти.

Дисперсія альтернативної ознаки обчислюється як добуток часток, які мають цю ознаку, на частку одиниць, що її не мають:

,

де – частка одиниць сукупності, яким властива ознака;

– частка решти одиниць ( ).

За відсутності первинних даних про розподіл сукупності припускають, що (так як ), тоді не складно допустити, що дисперсія альтернативної ознаки не може перевищувати значення 0,25.

Дисперсія альтернативної ознаки широко використовується при обробці даних соціологічних опитувань, проектуванні вибіркових досліджень тощо.

Як і будь-яка середня величина, дисперсія має певні математичні властивості:

► якщо всі значення варіант збільшити (зменшити) на певну величину А, то дисперсія не зміниться.

► якщо всі значення варіант збільшити (зменшити) в А разів, то дисперсія збільшиться (зменшиться) в разів, а середнє квадратичне відхилення – в А разів.

► дисперсія постійної величини дорівнює нулю.

► якщо частоти замінити частками, дисперсія не зміниться.