Содержание учебной дисциплины

Раздел I. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Понятие матрицы. Сложение матриц, умножение матрицы на число. Произведение матриц. Квадратные матрицы. Транспонирование матриц. Определитель квадратной матрицы. Свойства определителей. Вычисление определителей второго и третьего порядка по правилу треугольника. Вычисление определителей n-ного порядка приведением к треугольному виду. Миноры и их алгебраические дополнения.. Вычисление определителей n-го порядка по правилу Лапласа (разложением по строке или столбцу). Невырожденная матрица, единичная матрица. Обратная матрица и правила ее отыскания. Ранг матрицы. Системы линейных алгебраических уравнений. Правило Крамера. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы. Метод Гаусса. Решение произвольных систем, теорема Кронекера-Капелли. Понятие об однородных системах и фундаментальной системе решений. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики. Матрица прямых затрат. Уравнения межотраслевого баланса. Продуктивность матрицы прямых затрат.

Определение вектора. Коллинеарные и компланарные вектора. Равенство векторов. Линейные операции над векторами. Правило параллелограмма и треугольника. Базис. Разложение вектора по базису. Координаты вектора в данном базисе. Правая и левая тройка векторов. Ортонормированный базис. Правая и левая система координат. Декартова прямоугольная система координат. Координаты вектора в декартовой прямоугольной системе координат. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения. Скалярное произведение векторов, заданных в ортонормированном базисе . Направляющие косинусы вектора . Проекция вектора на ось. Векторное произведение векторов, его свойства и геометрический смысл. Векторное произведение векторов, заданных в ортонормированном базисе . Смешанное произведение векторов. Двойное векторное произведение.

Прямая линия на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пучок прямых. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках. Общее уравнение прямой. Нормальный вектор прямой. Взаимное расположение двух прямых. Угол между прямыми на плоскости. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Плоскость. Общее уравнение плоскости, нормальный вектор плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. Прямая линия в пространстве. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола.

Раздел II. Введение в Математический анализ. Понятие множества. Подмножество. Равенство множеств. Пустое множество. Операции над множествами. Множества натуральных, целых рациональных и иррациональных чисел. Алгебраические и трансцендентные числа. Структура множества действительных чисел. Модуль действительного числа и его геометрический смысл. Свойства модуля. Основные понятия в множестве действительных чисел: сегмент, интервал, полуинтервал, ε-окрестность. Понятие расширенной системы действительных чисел и несобственного числа. Верхние и нижние границы числовых множеств. Ограниченные и неограниченные числовые множества. Множество комплексных чисел.. Действия с комплексными числами в алгебраической форме. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа.

Высказывания. Операции над высказываниями. Необходимые и достаточные условия. Логические символы, правила построения отрицаний.

Сочетания, размещения перестановки и их свойства. Бином Ньютона, свойства биноминальных коэффициентов, треугольник Паскаля.

Понятия функции. Область определения и множество значений функции. Способы задания функции. График функции. Обратные тригонометрические функции. Преобразования графиков.

Раздел III. Теория пределов. Непрерывность. Определение числовой последовательности и ее предела. Единственность предела сходящейся последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности. Арифметические операции с пределами последовательностей. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Монотонные последовательности. Свойства монотонных последовательностей. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Определение предела функции по Коши и по Гейне. Арифметические операции с пределами функций. Односторонние пределы. Бесконечно малые величины. Главная часть бесконечно малой. Теорема о представлении бесконечно малой. Бесконечно большие величины.

Непрерывность функции в точке и на множестве. Арифметические свойства непрерывных функций. Классификация точек разрыва. Первая и вторая теоремы Вейерштрасса. Первая и вторая теоремы Коши для непрерывных функций.

Раздел IV. Дифференциальное исчисление функции одного переменного. Определение производной, ее геометрический и физический смысл. Таблица производных. Правила дифференцирования. Производные обратной и неявно заданной функции. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Непрерывность дифференцируемой функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Определение производной и дифференциала n-ного порядка. Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ролля. Теорема Коши для дифференцируемых функций. Теорема Лагранжа и ее геометрический смысл. Формула Коши. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Разложение основных функций по формуле Тейлора.

Условия монотонности функции. Экстремумы функции. Теорема Ферма. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Выпуклые функции. Точки перегиба. Асимптоты графика функции. Полное исследование функций и построение графиков.

Раздел V. Интегральное исчисление функции одного переменного. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Свойство неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования: метод разложения, внесение под знак дифференциала, замена переменной, интегрирование по частям. Понятие рациональной дроби. Простейшие рациональные дроби. Разложение рациональной дроби на простейшие. Интегрирование рациональных дробей.

Задачи, приводимые к понятию определенного интеграла: задача о нахождении площади криволинейной трапеции и задача о нахождении массы стержня. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле. Вычисление площадей. Понятие о вычислении длин дуг и объемов тел вращения. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку. Сходимость несобственных интегралов.

Раздел VI. Функции многих переменных. Определение функции двух и n переменных. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность функции многих переменных. Теоремы о непрерывных функциях: первая теорема Вейерштрасса, вторая теорема Вейерштрасса, теорема Коши о промежуточных значениях. Определение частных производных. Дифференцируемые функции. Дифференциал. Частные производные и дифференциал высших порядков. Экстремум функции многих пременных. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Условный экстремум (с ограничениями типа равенств). Метод подстановки. Функция Лагранжа. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Определение градиента функции и его свойства. Определение производной по направлению. Связь производной по направлению и градиента.

Раздел VII. Элементы теории вероятностей и математической статистики. Понятие случайного события. Невозможное и достоверное события. Сумма, произведение и разность событий. Противоположное событие. Полная группа событий. Полная группа попарно несовместимых событий. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности и формула Байеса. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли и приближенная формула Пуассона. Теоремы Муавра Лапласа.

Дискретные и непрерывные случайные величины. Многоугольник распределения, ряд распределения. Функция распределения и ее свойства. Плотность распределения и ее свойства. Числовые характеристики случайных величин. Законы распределения и их числовые характеристики: закон равномерной плотности, биноминальный закон, закон Пуассона, экспоненциальный закон, нормальный закон.

Понятие многомерной случайной величины и закона ее распределения. Таблица (матрица) распределения двумерной дискретной случайной величины (X,Y). Условные распределения и условные вероятности одномерных составляющих двумерной случайной величины (X,Y). Функция распределения многомерной случайной величины и ее свойства. Плотность вероятности непрерывной двумерной случайной величины (X,Y) и ее свойства. Вероятность попадания двумерной случайной величины в заданную область. Числовые характеристики одномерных составляющих X и Y. Ковариация (корреляционный момент). Коэффициент корреляции.

Статистическое распределение выборки. Характеристики статистического распределения. Интервальные оценки. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма. Выравнивание статистических рядов.