- •«Основы автоматики и систем автоматического управления
- •1Лекция №1 Введение
- •1.1Цель и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе
- •1.2История развития сау
- •1.3Основные определения и термины
- •1.4Принцип обратной связи
- •1.5Система и ее среда
- •1.6Вопросы
- •2Лекция №2 Постановка задачи управления технологическими процессами производства рэс
- •2.1Рабочие операции и операции управления
- •2.2Понятие об объекте управления и управляющей подсистеме
- •2.3Постановка задачи
- •Вопросы
- •3Лекция №3 Решение задачи управления
- •3.1Решение общей задачи управления
- •3.2Частные решения задачи управления
- •3.3Вопросы
- •4Лекция №4 Сведения о технических средствах автоматики
- •4.1Сравнение биологических и технических систем управления
- •4.2Исполнительные устройства
- •Классификация технических задач управления
- •4.3Элементы системы автоматического управления технологическими процессами
- •4.4Устройства измерения параметров технологических процессов
- •4.5Различитель уровня
- •4.6Вопросы
- •5Лекция №5 Вторичные приборы сау
- •5.1Классификация вторичных приборов
- •5.2Усилительные устройства
- •5.3Проектирование и теория управления производственными процессами
- •5.4Вопросы
- •6Лекция №6 Математическое описание линейных систем автоматического управления
- •6.1Классификация систем
- •6.2Принцип суперпозиции
- •6.3Уравнения динамических систем
- •6.4Передаточные функции
- •6.5Частотные функции
- •6.6Временные характеристики сау. Понятие о функции Грина
- •6.7Вопросы
- •7Лекция №7 Типовые звенья сау
- •7.1Вопросы
- •8Лекция №8 Передаточные функции типовых звеньев
- •8.1Вопросы
- •9Лекция №9 Устойчивость линейных стационарных систем
- •9.1Понятие устойчивости
- •9.2Устойчивость по входу
- •9.3Характеристическое уравнение
- •9.4Необходимое и достаточное условие устойчивости
- •9.5Условие строгой реализуемости передаточной функции
- •9.6Алгебраические критерии устойчивости
- •9.7Критерий устойчивости Гурвица
- •9.8Критерий Льенара
- •9.9Критерий устойчивости Рауса
- •9.10 Вопросы
- •10Лекция № 10 Частотные критерии устойчивости
- •10.1Критерий Михайлова
- •10.2Анализ устойчивости типовых структур
- •10.3Понятие запаса устойчивости по амплитуде и фазе
- •10.4Влияние звена чистого запаздывания на устойчивость
- •10.5Вопросы
- •11Лекция №11 Основы анализа качества линейных стационарных сау
- •11.1Постановка задачи
- •11.2Показатели качества переходного процесса
- •11.3 Интегральные показатели качества
- •11.4Вопросы
- •12Лекция №12 Анализ точности работы линейной системы автоматического управления
- •12.1Случайные процессы в линейных стационарных системах
- •12.2Вопросы
- •13Лекция №13 Полигауссовы модели случайных воздействий и методы их анализа
- •13.1Дифференцирующее звено
- •13.2Средняя квадратическая ошибка системы
- •13.3Вопросы
- •14Лекция №14 Синтез линейных стационарных систем
- •14.1Проектирование сау
- •14.2Синтез линейных систем методом частотных характеристик
- •14.3Вопросы
- •15Лекция №15 Расчет передаточных функций корректирующих устройств
- •15.1Вопросы
- •16Лекция № 16 Синтез сау методом логарифмических частотных характеристик
- •16.1 Общие замечания
- •16.2Синтез сау методом логарифмических частотных характеристик
- •16.3Подчиненное управление в сау
- •Примечание:
- •16.4 Модальное управление в сау
- •16.5 Вопросы
- •17Лекция № 17 Синтез систем с неполной информацией о входных воздействиях
- •17.1Ограничение суммарной ошибки
- •17.2Вопросы
6.5Частотные функции
Если входное возмущение представляет собой гармоническое колебание , то передаточная функция превращается в частотную функцию или в частотную характеристику линейной системы
- называется частотной передаточной функцией.
Ее можно представить в виде:
(6.24.)
где ; ; (6.25.)
A()- амплитудно-частотная характеристика;
()- фазочастотная характеристика.
Рисунок 6‑25 Частотная передаточная функция
На комплексной плоскости частотная передаточная функция определяет вектор 0C (длина) модуль - АЧХ, ( )- фазочастотная характеристика (рис 6-3).
Физический смысл частотной характеристики
Установим, какой же физический смысл имеют частотные характеристики. Если на вход устойчивой линейной системы (стационарной) подается гармонический сигнал , то на ее выходе после окончания переходного процесса устанавливается гармонический процесс с амплитудой в b и фазой сдвинутой относительно фазы входного сигнала на угол (рис 6-5)
Рисунок 6‑26 Линейная система
Амплитуда b и сдвиг фазы зависят от частоты входного сигнала и свойств системы. Кроме того, амплитуда b зависит еще от амплитуды входного сигнала а. Но отношение не зависит от амплитуды a. Оказывается, что и , то есть амплитудная частотная функция равна отношению амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного гармонического сигнала (в установившемся режиме), а фазовая частотная функция сдвигу фазы выходного сигнала.
Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Кроме перечисленных логарифмических частотных характеристик используются (ЛЧХ) - логарифмические амплитудно-частотные характеристики (ЛАЧХ) и логарифмические фазовые частотные характеристики (ЛФЧХ).
ЛАЧХ - это график зависимости от логарифма частоты . При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе (на отметке, соответствующей значению , указывают значение , а по оси ординат - L()).
ЛФЧХ - это график зависимости фазовой частотной функции () от логарифма частоты .
6.6Временные характеристики сау. Понятие о функции Грина
Для описания нелинейных детерминированных систем очень полезным является понятие функция Грина.
Пусть L представляет собой операторы дифференцирования, интегрирования и умножения на константу.
Например: ;
где - выходной процесс, - входной процесс, a0, a1, a2 - постоянные коэффициенты. Это линейные уравнения второго порядка. Видно, если - является решением уравнения , то - также решением. Если y и z - решения уравнения, то и , то есть
y+ z - также являются решением.
Рассмотрим x1 решение уравнения и решение x2 решение уравнения . Тогда . Это наш первый и очень полезный результат, из которого вытекает следующее очень важное заключение:
Любое сложное входное воздействие можно представить в виде суммы составляющих, для каждой из которых уравнение можно решить отдельно. Складывая их, можно получить решение, соответствующее полному входному воздействию .
1. то есть ;
Например - ряд Фурье.
2. можно выбрать и другой набор
Это импульсные функции единичной интенсивности. Отклик на такой импульс имеет характер затухающих колебаний.
Общее решение получается в результате интегрирования по всем откликам, соответствующим импульсам, которые образуют входное воздействие. В этом заключается идея метода функций Грина.
Понятие функции Грина
Чтобы решить уравнение , где L= p линейный дифференциальный оператор. Предположим, что мы нашли оператор, обратный к L (обозначим его через L-1), такой что (где I - тождественный оператор). Например, если , то L-1 является оператором интегрирования ; .
Для дифференциального оператора общего вида можно предположить, что
L-1 представляет собой интегральный оператор с ядром , то есть
(6.26.)
Если найдено ядро G, то с помощью этого равенства можно найти решение дифференциального уравнения. Причем - это функция Грина, которая является очень полезным понятием. Это мы раскроем чуть позже.
Действуя вновь оператором по (1), получаем
(6.27.)
Поскольку оператор интегрирования и дифференцирования являются линейными, то их можно поменять местами. Тогда первая часть
(6.28.)
И поскольку слева, очевидно стоит , то получаем
(6.29.)
Известно, что должно иметь следующее соотношение
(6.30.)
Из уравнения (5) вытекает очень важный факт, что ядро , которое называется функцией Грина, удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению, если входное воздействие заменить на - функцию.
Оказывается функция Грина имеет простой физический смысл: это отклик на единичное импульсное воздействие
Простые системы типа "вход-выход" и функция Грина
x (t) y(t)
Система называется инвариантной во времени (или систем с постоянными параметрами), если входное воздействие возрождает отклик .
Если входным сигналам x1(t) и x2(t) соответствуют выходные сигналы y1(t)и y2(t)и при этом входной сигнал (а1 и а2 - константы) соответствует выходному сигналу - то система называется линейной.
при - условие физической реализуемости.
Для стационарных систем
.