2.3. Частные уравнения регрессии

Частные уравнения регрессии строятся на основе линейной регрессии

и имеют следующий вид:

Каждое из уравнений связывает изменение Y с соответствующими факторами при закреплении всех остальных факторов на среднем уровне, т.е.

После подстановки в эти выражения соответствующих средних значений они принимают вид парных уравнений линейной регрессии

В отличие от парной регрессии, данные уравнения характеризуют изолированное влияние факторов на результат, т.к. остальные закрепляются на постоянном уровне. Для количественной оценки этого влияния рассчитываются частные коэффициенты эластичности следующим образом:

, (2.4)

где – коэффициенты регрессии для фактора в уравнении множественной регрессии;

частное уравнение регрессии.

Каждый из частных коэффициентов эластичности показывает, на сколько процентов изменяется Y при изменении соответствующего фактора на 1 %.

2.4. Выбор формы уравнения множественной регрессии

В эконометрических исследованиях используются следующие функции для построения множественных регрессионных уравнений.

1. Линейная функция

,

где коэффициенты «чистой» регрессии, характеризующие среднее изменение Y при изменении соответствующего фактора на единицу своего измерения при условии, что все остальные факторы закреплены на среднем уровне, т.е. неизменны.

2. Степенная функция

где – коэффициенты эластичности, которые используются при сравнении влияния разноименных факторов. Их сумма может достигать различных значений. В частности:

В первом случае отдача (эффективность) факторов не меняется в случае увеличения их величины, во втором – увеличивается (имеет место «положительный эффект масштаба»), в третьем – снижается («отрицательный эффект масштаба»).

3. Экспонента

.

4. Гипербола

.

5. Комбинированные функции

.

6. Тригонометрические функции

.

7. Полиномиальные функции (более подробно рассмотрены в разделе 2.6)

При выборе функции необходимо учитывать возможности ее линеаризации и экономической интерпретации, а также выполнение соотношения между числом параметров и числом наблюдений (п. 1.6).

5. Оценка параметров уравнения множественной регрессии

Модель множественной регрессии может быть представлена в виде

(2.5)

где i-тое наблюдение результативного показателя;

-ое наблюдение факторных признаков.

Включение в регрессионную модель новых объясняющих переменных усложняет полученные вычисления. Это приводит к целесообразности использования матричных обозначений:

а) Y – вектор-столбец зависимых переменных размерности n, т.е.

;

б) Х – матрица значений объясняющих переменных размерности , значения элементов первого столбца которой объясняется тем, что умножается на фиктивную переменную для всех i

;

в) B – матрица-столбец (вектор) параметров регрессии размерности p

;

г) – вектор случайных ошибок размерности n

Тогда, в матричной форме модель (2.5) примет вид

. (2.6)

Для нахождения значений матрицы B (без учета вектора случайных ошибок) используют следующие преобразования выражения (2.6):

Для сравнительного анализа влияния факторов на изменение Y (в случае разных единиц измерения факторов) рассчитывают частные коэффициенты эластичности (формула (2.4)).

Расчет значений параметров уравнений регрессии может быть упрощен за счет использования выборочных частных коэффициентов корреляции и средних квадратичных отклонений. Так, для уравнения вида параметры могут быть найдены по формулам

где средние квадратичные отклонения признаков соответственно;

– частные коэффициенты корреляции между результативным признаком Y и первым (вторым) фактором соответственно;

– частный коэффициент корреляции между признаками и .