7.2. Оценка параметров авторегрессионных моделей
Параметры
авторегрессионных моделей не могут
быть оценены традиционным МНК по причине
нарушения его предпосылок. Об этом
свидетельствует наличие лаговых
переменных
,
что не соответствует предположению о
делении всех переменных на случайные
(результирующие) и детерминированные
(факторные). Кроме того, по причине
наличия остатков теряет актуальность
предположение об отсутствии взаимосвязи
между фактором и остатками. Вследствие
этого, применение традиционного МНК
приводит к получению смещенной оценки
.
В этой ситуации можно применять или метод инструментальных переменных или метод максимального правдоподобия. Далее более подробно рассматривается метод инструментальных переменных.
Суть данного метода проявляется в том, что переменная заменяется новой, включение которой в модель не нарушает предпосылок МНК. Такая переменная обладает следующими свойствами:
тесная корреляция с лаговой переменной ;
отсутствие корреляции с остатками модели.
Так как
зависит от
,
то можно предположить, что
зависит от переменной
,
т.е.
(7.3)
или
,
(7.4)
где
–
расчетное значение.
Параметры
определяются обычным МНК.
Оценка считается инструментальной переменной для и обладает соответствующими традиционному МНК свойствами.
Таким образом, оценки параметров авторегрессионной модели (7.2) можно найти из соотношения
,
(7.5)
предварительно
определив расчетное значение
инструментальной переменной
.
При этом возможна модификация данного
метода: в модель авторегрессии вместо
лаговой переменной подставляется ее
линейная комбинация, выраженная из
(7.3)
.
(7.6)
Получим следующую модель:
.
(7.7)
Модель (7.7) является моделью с распределенным лагом, для которой не нарушаются предпосылки МНК.
Таким образом,
определив параметры (7.3) и (7.7), можно
оценить параметры авторегрессионной
модели
.
Практическая
реализация данного метода осложняется
появлением проблемы мультиколлинеарности
факторов в модели (7.5), т.к. существует
функциональная связь между
(расчетным значением лаговой переменной)
и
.
В некоторых случаях проблема может быть решена за счет включения в данную модель и в соответствующую модель авторегрессии фактора времени в явном виде, т.е. в качестве независимой переменной.
7.3. Интерпретация параметров модели с распределенным лагом
Модель с распределенным лагом (7.1) отражает влияние изменения фактора в момент времени на значение , причем, в течение l следующих моментов времени. Параметр называется краткосрочным мультипликатором. Он характеризует среднее абсолютное изменение при изменении фактора на единицу своего измерения в фиксированный момент времени без учета воздействия всех лаговых значений фактора.
Параметры
,
и т.д.
представляют собой промежуточные
мультипликаторы,
характеризующие совокупное влияние
на
в моменты времени
и т.д.
Долгосрочный мультипликатор
(7.8)
отражает абсолютное
изменение результативного показателя
в долгосрочной перспективе
при изменении фактора на единицу.
На основе параметров модели можно рассчитать также ее относительные коэффициенты по следующей формуле:
.
(7.9)
Данные коэффициенты
представляют собой вес, т.е. значимость
определенного
.
Если все
имеют
одинаковые знаки, то для любого
j
,
т.е.
.
Кроме того, можно также рассчитать средний лаг как средневзвешенную величину, т.е. по формуле
.
(7.10)
Средний лаг характеризует средний период, в течение которого будет происходить изменение под влиянием изменения фактора в момент . Небольшое значение среднего лага свидетельствует о быстром реагировании на изменение фактора.
Медианный лаг, величина которого равна
,
(7.11)
представляет собой период времени, в течение которого будет реализована половина общего воздействия фактора на результат.
