8.2. Методы статистического прогнозирования
8.2.1. Экстраполяция динамических рядов
С точки зрения
математики данный метод прогнозирования
сводится к определению значения, которое
будет принимать переменная величина
в момент времени
,
если известен ряд ее значений за
предыдущие периоды (моменты) времени
и т.д.
Экстраполяция – это распространение тенденций, выявленных в прошлом, на будущий период. Данный метод реализует пассивный прогноз. Кроме того, необходимо учитывать основные условия допустимости и правомерности экстраполяции, в числе которых выделяют следующие:
достаточная длительность ретроспективного периода;
исследуемый процесс должен быть достаточно устойчивым к внешним воздействиям;
не ожидается сильных внешних воздействий на исследуемый процесс.
Функционирование социально-экономических систем, за очень редким исключением, не удовлетворяет этим предположениям. Поэтому ограничена область практического применения экстраполяции начальными этапами разработки методик прогнозирования и горизонтом прогнозирования (не далее краткосрочного прогноза).
Одной из разновидностью данного метода является экстраполяция на основе уравнений тренда.
Если n
– это ретроспективный период (период
сглаживания, по данным которого построено
уравнение тренда), а l
– горизонт прогнозирования, то прогнозное
значение
может быть определено по функции
соответствующего тренда (например, для
линейной функции как
)
Абсолютная ошибка прогноза по сравнению с фактическим значением может быть определена следующим образом:
.
Относительная ошибка прогноза рассчитывается по формуле
.
В случае построения интервального прогноза определяется величина доверительного интервала с границами
,
где – точечный прогноз;
–
табличное значение
t-критерия
Стьюдента при числе степеней свободы
и доверительной вероятности
;
–
средняя квадратичная
ошибка аппроксимации по уравнению
тренда (п.4.4.2).
Если фактическое значение не выходит за границы доверительного интервала, то можно говорить о качественном прогнозировании.
В систему математических методов экстраполяции входят также приемы, основанные на средних характеристиках динамических рядов (п.4.2.), которые могут использоваться только лишь при условии неизменности этих величин.
В частности, экстраполяция на основе среднего значения ряда за ретроспективу предполагает расчет прогнозного значения по следующей формуле:
,
где
–
средний уровень ряда (выражения (4.9) –
(4.11)).
Границы доверительного интервала (при небольшом числе наблюдений) рекомендуется определять следующим образом:
,
где
–
средняя квадратическая ошибка среднего
уровня ряда, определяемая по формуле
.
В свою очередь, среднее квадратичное отклонение S для выборки равно
.
Интервал учитывает
неопределенность, связанную с оценкой
среднего уровня ряда, и его применение
увеличивает степень надежности прогноза,
но при этом не учитывается горизонт
прогнозирования. Для учета вариации
уровней ряда относительно среднего
значения в будущем (по аналогии с
ретроспективой) при идентификации
доверительного интервала общая
дисперсия, связанная с колебаниями
выборочной средней и с варьированием
индивидуальных значений вокруг средней,
должна быть определена как
.
Экстраполяция по среднему абсолютному приросту может применяться только лишь к линейным трендам. Причем, должно выполняться неравенство
,
где – остаточная дисперсия, необъясняемая экстраполяцией по среднему абсолютному приросту;
–
сумма всех цепных
абсолютных приростов (базисный абсолютный
прирост – выражения (4.1)).
Прогнозируемое значение определяется по соотношению вида
,
где
–
уровень ряда, принятый за базу экстраполяции
(обычно последний);
l – период прогноза;
–
средний абсолютный
прирост (формула (4.7)) .
Экстраполяция
по среднему темпу роста
-
(формула (4.8)) используется в том случае,
если ряд изменяется по показательному
или экспоненциальному тренду. Прогнозное
значение определяется по формуле
.
Параметр
имеет тот же смыл, что и в предыдущей
формуле.
Основной недостаток методов экстраполяции связан с тем, что качество прогноза оценивается только после того, как произошло исследуемое событие, т.е. апостериорно.