4.3. Состав динамического ряда

Динамический ряд не является однородным. Его составляющие анализируются и моделируются различными математическими способами. Каждый уровень динамического ряда формируют следующие элементы.

1. Основная тенденция (тренд ) складывается под воздействием длительно действующих факторов, определяющих специфику данного процесса, поэтому называется также вековой составляющей.

2. Случайная составляющая отражает влияние различных факторов стохастического характера, поэтому искажает .

Любой динамический ряд, как минимум, содержит эти две составляющие.

3. Сезонные (квартальные) колебания .

4. Периодические колебания: продолжительность цикла колебаний не равна 1 кварталу.

Если указанные элементы динамического ряда находятся в аддитивной связи, то говорят об аддитивном ряде вида , если в мультипликативной, то – о мультипликативном динамическом ряде, который может быть представлен как .

Для аддитивного ряда характерны примерно одинаковые отклонения от тренда за весь исследуемый период времени, а для мультипликативного амплитуда таких колебаний либо увеличивается, либо уменьшается с течением времени.

4.4. Моделирование одномерных динамических рядов

4.4.1. Типы экономического развития и их трендовые модели

Траектории, как математические модели экономического развития, классифицируются в зависимости от динамики цепного абсолютного прироста (формулы (4.1) и (4.4)).

Первому типу экономического развития соответствуют траектории с постоянной скоростью (с константным или приблизительно постоянным ростом). Данный тип развития может аппроксимироваться следующими моделями (без учета ):

• – линейной;

• – линейно-гиперболической;

• – линейно-логарифмической второго порядка.

Второй вид развития может моделироваться траекториями с увеличивающейся скоростью, в частности,

• – параболической (при );

• – параболой третьего порядка (при );

• – степенной;

• – кинетической.

Третий тип развития – это изменение с уменьшающимся ростом. Выделяют следующие подгруппы моделей данного класса:

• уменьшающийся рост, не имеющий предела:

a) – линейно-логарифмическая;

b) ;

c) ;

• уменьшающийся рост, имеющий предел:

d) – гипербола первого порядка;

e) – гипербола второго порядка.

Особый класс представляют собой модели экономического развития с качественным изменением характеристик. Их особенностью является наличие точки перегиба , в которой скорость меняет свой знак, проходя через нулевое значение абсолютного ускорения (формула (4.6)),

.

Примеры функций данного типа:

• линейно-логарифмическая второго порядка (при ), для которой

;

• парабола третьего порядка (при ) с точкой перегиба

.

Следует указать, что возможна не только кусочная аппроксимация развития на различных участках времени t, но и моделирование всего интервала времени одной функцией (п. 4.4.4).

4.4.2. Построение трендовых моделей

Методика построения трендовых моделей представляет собой сочетание качественного экономического анализа с формализованными математическими процедурами и реализуется в следующей последовательности.

1. Выбор класса (вида) уравнения тренда исходя из особенностей динамики исследуемого процесса (раздел 4.4.1.).

2. Расчет формальных критериев качества аппроксимации, отражающих степень соответствия модели тренда исходному ряду, а именно, чем меньше значение критерия, тем точнее уравнение (по которому рассчитываются теоретические значения ) моделирует эмпирические данные :

• средней квадратичной ошибки аппроксимации (по аналогии с остаточной дисперсией – формула (1.10))

,

где n – длина динамического ряда;

k – количество оцениваемых параметров уравнения тренда;

• относительной (линейной) ошибки аппроксимации

.

3. Статистический анализ случайной компоненты , которая должна удовлетворять ряду формальных требований (п. 4.4.5).

4. Моделирование сезонных и циклических колебаний в случае установления факта их наличия (п. 4.4.5).

5. Окончательный выбор функции тренда с учетом формальных критериев и характера решаемых задач. Если решаются ретроспективные задачи, то уравнение тренда должно иметь наилучшие значения критериев для всего динамического ряда, если же – перспективные задачи, то предпочтение отдается функции, имеющей минимальные значения ошибок аппроксимации и на последнем (в пределах ретроспективы) интервале оси времени.