Свободные колебания

На МТ действует сила тяжести и упругая сила пружины (рис. 2.8-в). Рассмотрим движение точки в текущий момент времени , когда ее координата равна .

Дифференциальное уравнение движения МТ

, (2.25)

где , .

Учитывая, что , имеем

, или . (2.26)

Обозначим , тогда

. (2.27)

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, однородное. Оно решается с помощью характеристического уравнения

, откуда . (2.28)

Заметим, что наличие комплексных корней характеристического уравнения здесь и далее является признаком колебательного движения.

Общее решение записывается в виде

, (2.29)

где A и B - произвольные постоянные интегрирования.

Обозначив , можно написать иначе

,

или в амплитудной форме

. (2.30)

Это гармоническое колебательное движение (рис. 2.9).

Колебания точки, происходящие под действием только восстанавливающей силы, называются свободными, или собственными.

Период колебаний

, (2.31)

где k - циклическая (круговая) частота колебаний:

. (2.32)

Следовательно, .

Частота и период свободных колебаний зависят от массы точки и коэффициента с. Величина - фаза колебаний, - начальная фаза колебаний, а - амплитуда свободных колебаний.

Определим a и из начальных условий. Дифференцируем (2.30) по времени

. (2.33)

Подставляя , и в (2.30) и (2.31), имеем уравнения

. (2.34)

Решая эти уравнения совместно, находим

, , , . (2.35)

Лекция 3

Затухающие колебания материальной точки. Период и декремент колебаний. Апериодическое движение. Вынужденные колебания точки без учета сопротивления среды. Случай резонанса

Затухающие колебания

При затухающих колебаниях, кроме силы тяжести и упругой силы пружины, на МТ массой действует сила сопротивления среды.

Рассмотрим случай, когда она пропорциональна первой степени скорости, (направлена противоположно вектору ) (рис. 2.8-г). Дифференциальное уравнение движения

,

где . Тогда

, или .

Обозначим ( - коэффициент затухания), ( - частота собственных колебаний). Тогда

. (3.1)

Размерности и одинаковы ( ), поэтому можно их сравнивать.

Уравнение (3.1) представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, однородное. Соответствующее характеристическое уравнение

, откуда .

Рассмотрим случай < , тогда

,

где - частота затухающих колебаний.

Общее решение уравнения

, (3.2)

где найденные из начальных условий постоянные интегрирования , .

Полагая , получим решение в амплитудной форме

, (3.3)

где постоянные интегрирования, найденные из начальных условий,

, . (3.4)

Э

Рис. 3.1

ти колебания называются затухающими, так как амплитуда убывает с течением времени. Их график – затухающая синусоида, ограниченная двумя симметричными кривыми и , так как изменяется пределах от до (рис. 3.1).

Промежуток времени между двумя соседними крайними (нижними или верхними) положениями точки называется периодом затухающих колебаний

. (3.5)

Так как < , то > , то есть период затухающих колебаний больше периода свободных колебаний. В случае малых сопротивлений ( << ) их разницей можно пренебречь и считать .

Определим значения амплитуд

,

,

, (3.6)

……………………………………………

.

Число называется декрементом колебаний, а его натуральной логарифм, величина , логарифмическим декрементом колебаний.

Очевидно, последовательные значения амплитуд затухающих колебаний представляют собой убывающую геометрическую прогрессию, знаменатель которой равен декременту колебаний.