- •Лекция 1
- •Основные законы динамики
- •Каждую из сил можно представить , а так как , то , откуда , то есть модули ускорений, сообщаемых друг другу материальными точками при взаимодействии, обратно пропорциональны их массам.
- •Системы единиц
- •Дифференциальные уравнения движения материальной точки Пользуясь основным законом динамики, можно вывести дифференциальные уравнения движения мт в различных системах координат.
- •Две основные задачи динамики материальной точки
- •Проекции силы на оси
- •Лекция 2
- •Вторая задача динамики точки
- •Частные случаи прямолинейного движения материальной точки
- •Прямолинейные колебания материальной точки
- •Свободные колебания
- •Лекция 3
- •Затухающие колебания
- •Апериодическое движение
- •Вынужденные колебания без учета сопротивления
- •Явление резонанса
- •Лекция 4
- •Лекция 5
- •Количество движения материальной точки
- •Импульс силы
- •Теорема об изменении количества движения мт
- •Момент количества движения мт относительно центра и оси
- •Теорема об изменении момента количества движения мт
- •Движение мт под действием центральной силы
- •Лекция 6
- •Работа силы
- •Мощность
- •Частные случаи определения работы силы
- •Работа линейной силы упругости
- •Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки
- •Лекция 7
- •Механическая система. Классификация сил
- •Центр масс механической системы
- •Моменты инерции
- •Теорема Штейнера-Гюйгенса
- •М оменты инерции однородных тел
- •Лекция 8
- •Работа внутренних сил
- •Работа и мощность сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси
- •Кинетическая энергия механической системы
- •Вычисление кинетической энергии твердого тела в различных случаях его движения
- •Теорема об изменении кинетической энергии механической системы
- •Лекция 9
- •Количество движения системы
- •Теорема об изменении количества движения системы
- •Теорема о движении центра масс системы
- •Кинетический момент системы относительно центра и оси
- •Кинетический момент тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
- •Теорема об изменении кинетического момента системы
- •Лекция 10
- •Поступательное движение
- •Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси
- •Плоское движение
- •Физический маятник
- •Лекция 11
- •Силы инерции. Принцип Даламбера для мт
- •Принцип Даламбера для механической системы
- •Главный вектор и главный момент сил инерции
- •Частные случаи
- •Лекция 12
- •Связи и их уравнения
- •Классификация связей
- •Возможное (виртуальное) перемещение
- •Идеальные связи
- •Принцип возможных (виртуальных) перемещений
- •Лекция 13
- •Условия равновесия в обобщенных координатах
- •Общее уравнение динамики
- •Лекция 14
- •Уравнение Лагранжа II-го рода
- •Лекция 15
- •Устойчивость равновесия и движения механической системы
- •Теорема Лагранжа-Дирихле
- •Малые колебания механической системы с одной степенью свободы
- •Лекция 16
- •Явление удара
- •Действие ударной силы на мт
- •Теорема об изменении количества движения системы
- •Удар шара о неподвижную поверхность. Коэффициент восстановления
- •Лекция 17
- •Прямой центральный удар двух тел
- •Потеря кинетической энергии (теорема Карно)
- •Частные случаи прямого центрального удара двух тел
- •Теорема об изменении кинетического момента системы
- •Действие ударных сил на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси. Центр удара
- •Заключение
Мощность
Мощность, или работоспособность какого-либо источника, оценивается той работой, которую он может совершить за единицу времени.
По определению,
.
Учитывая формулу для определения элементарной работы (6.3), мощность можно представить в виде , то есть мощность равна скалярному произведению силы на скорость точки.
Из этой формулы видно, что от источника с заданной мощностью можно получить большую силу при меньшей скорости ("золотое правило механики"). Пример: локомотив трогает с места железнодорожный состав при малой скорости, развивая значительно большую силу тяги, чем при движении.
Размерность мощности .
В технической системе единиц , в системе CИ [ ]=[ ]=[вт], (вт - ватт), 1 квт=1000 вт.
В инженерной практике существует единица мощности «лошадиная сила» (л.с.): ,
Частные случаи определения работы силы
Работа силы тяжести (рис. 6.3).
Силу тяжести G считаем постоянной, направленной вертикально вниз. Ее проекции на координатные оси Gх=0, Gy=0, Gz=-mg.
Вычислим работу силы тяжести при перемещении из точки М0 в точку М1
(6.9)
О бозначив высоту опускания , имеем А=mgh, то есть работа силы тяжести равна произведению силы тяжести на разность горизонтальных уровней в начале и конце перемещения.
В общем случае A=±mgh (при опускании "+", при поднятии "-").
Работа на замкнутом перемещении равна нулю.
Работа линейной силы упругости
Линейной силой упругости (линейной восстанавливающей силой) называется сила, действующая по закону Гука,
, (6.10)
где - радиус-вектор точки М (рис. 6.4), его модуль - расстояние от рассматриваемой точки до точки статического равновесия, то есть точки, в которой эта сила равна нулю, с - постоянная величина.
Выбрав начало координат в положении статического равновесия, имеем
Fx=-cx, Fy=-cy, Fz=-cz.
Тогда
,
так как xdx+ydy+zdz=rdr, где r2=x2+y2+z2.
Выполняя интегрирование, имеем
. (6.11)
Если точка М0 совпадает с точкой статического равновесия, то работа силы упругости на этом перемещении , где r - кратчайшее расстояние от рассматриваемой точки до точки О
Обозначим , тогда , то есть работа линейной силы упругости на перемещении из положения статического равновесия всегда отрицательна и равна половине произведения коэффициента жесткости на квадрат перемещения из положения статического равновесия. Отсюда следует, что работа линейной силы упругости не зависит от формы перемещения и работа по любому замкнутому перемещению равна нулю.
Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки
Кинетической энергией МТ (ее «живой силой») называется половина произведения ее массы на квадрат скорости
. (6.12)
Размерность в системе СИ , то есть такая же, как и у работы.
Напишем основное уравнение динамики для МТ
.
Умножим обе части этого выражения скалярно на дифференциал радиуса-вектора точки
, или ,
где .
Учитывая, что - элементарная работа, имеем .
Так как , то окончательно
. (6.13)
Это теорема об изменении кинетической энергии МТ в дифференциальной форме: дифференциал кинетической энергии МТ равен элементарной работе силы, действующей на нее.
Разделив обе части на dt, получим
, (6.14)
то есть производная по времени от кинетической энергии МТ равна мощности, подводимой к ней.
Интегрируя обе части (6.3) от точки М0 до точки М1, получим теорему об изменении кинетической энергии МТ в конечной форме
, (6.15)
то есть изменение кинетической энергии МТ на каком-либо перемещении равно работе силы, действующей на МТ, на том же перемещении.