Лекция 12

Связи и их уравнения. Классификация связей. Связи голономные и неголономные, стационарные и нестационарные, двусторонние и односторонние. Идеальные связи. Принцип возможных (виртуальных) перемещений

Связи и их уравнения

Условия, которым должны удовлетворять в процессе движения системы координаты точек, их скорости и ускорения (при действии на точки системы любых активных сил), называются связями.

В декартовой системе координат связи могут быть выражены соотношениями между координатами (k=1,2,…,N), их первыми производными по времени – компонентами скоростей и вторыми производными – компонентами ускорений. В них может входить также время t. Эти соотношения могут представлять собой уравнения или неравенства.

Связи, наложенные на систему, могут ограничивать её возможные движения под действием активных сил по сравнению с теми движениями, которые может иметь свободная система, то есть система, не подчиненная связям. Свободная система под действием активных сил может получать любое движение в пространстве, но ограничения, налагаемые связями, могут иметь характер направленности, специальное назначение, необходимое для достижения целей в соответствующих областях техники.

Аксиома связей состоит в том, что их влияние на положение и движение МТ осуществляется посредством реакций. Приложив к точкам реакции связей, систему можно рассматривать как свободную.

Классификация связей

Существует два основных типа связей: голономные и неголономные.

Голономными называются такие связи, которые выражаются или уравнениями относительно координат, или неравенствами, или же интегрируемыми дифференциальными уравнениями относительно координат. Голономные связи ещё называют геометрическими.

Неголономными называются связи, выраженные неинтегрируемыми дифференциальными уравнениями относительно координат, то есть уравнениями, содержащими не только координаты точек, но и их производные по времени. Уравнения неголономных связей не интегрируются ни по отдельности каждое, ни в целом.

Таким образом, неголономные связи первого порядка выражаются неинтегрируемыми уравнениями типа

. (12.1)

Неинтегрируемость уравнения состоит в том, что его нельзя привести к уравнению, в левой части которого находился бы полный дифференциал некоторой функции только от координат точек системы, то есть к виду , после интегрирования которого получились бы уравнения голономной связи .

Неголономные связи называются также кинематическими, так как они налагают условия не только на координаты точек, но и на их скорости и ускорения.

Связи разделяются на зависящие и не зависящие от времени.

Связью, не зависящей от времени, называется такая связь, уравнение которой не содержит время t.

Так, например, уравнение означает, что точка находится на поверхности эллипсоида, который сам не перемещается и не деформируется, что вид связи со временем не изменяется.

Связи, не зависящие от времени, называются склерономными (то есть не изменяемые по своему виду, подобно неизменяемому твердому телу), или стационарными.

Связью, зависящей от времени, называется связь, выраженная уравнением или неравенством, содержащим явно время t. Уравнение, выражающее голономную связь, зависящую от времени, имеет вид

. (12.2)

Например, уравнение означает, что точка находится на движущемся эллипсоиде, центр которого перемещается вдоль оси со скоростью .

Связи, зависящие от времени, называют реономными (подвижными), или нестационарными.

Двусторонними голономными связями называются связи, выражающиеся уравнениями, например, для одной точки

. (12.3)

Это уравнение показывает, что точка находится только на поверхности, выраженной уравнением. Такая связь не позволяет ей покинуть поверхность ни с какой из двух ее сторон (она как бы заключена между двумя бесконечно близкими слоями, составляющими поверхность, на которой она остается при любых активных силах, приложенных к ней). Двусторонние связи называют также удерживающими, или неосвобождающими.

Односторонними (освобождающими, неудерживающими) называются связи, выраженные неравенствами. Например, неравенство означает, что точка может находиться на поверхности эллипсоида или сойти с него во внешнюю область.