Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
dinamika.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
10.09.2019
Размер:
5.2 Mб
Скачать

Лекция 13

Обобщенная сила. Условия равновесия в обобщенных координатах.

Общее уравнение динамики (уравнение Даламбера-Лагранжа)

Условия равновесия в обобщенных координатах

Обобщенной силой , соответствующей обобщенной координате , называется скалярная величина, определяемая отношением элементарной работы действующих сил на перемещении системы, вызванном элементарным приращением координаты , к величине этого приращения

. (13.1)

Пусть механическая система состоит из N материальных точек с голономными связями, имеющих n степеней свободы (то есть n обобщенных координат q).

По принципу возможных перемещений имеем

. (13.2)

Через обобщенные силы это выражение имеет вид

, или . (13.3)

Так как все приращения независимы, то множители можно записывать произвольно.

Примем . Тогда на основании (13.3) , откуда .

Затем примем , тогда , следовательно, и т. д.

Таким образом, получены условия равновесия в обобщенных координатах

, ,…, . (13.4)

Для равновесия голономной системы с n степенями свободы в ее положении, характеризуемом обобщенными координатами q1, q2, …, qn , необходимо и достаточно, чтобы значения всех обобщенных сил, соответствующие значениям обобщенных координат, равнялись нулю.

Общее уравнение динамики

Пусть имеется система, состоящая из N материальных точек, имеющих произвольные двусторонние, неосвобождающие связи.

Тогда на основании принципа Даламбера для к-той точки можно написать

=0, (13.5)

где - векторы равнодействующих, соответственно, активных, реактивных и инерционных сил, действующих на точку.

Таким образом, точка находится в состоянии динамического равновесия, которое можно выразить принципом возможных перемещений. В результате принцип Даламбера объединяется с принципом возможных перемещений Лагранжа применительно к движущейся системе и образует общее уравнение динамики: сумма элементарных работ всех непосредственно приложенных к точкам системы активных, реактивных сил и сил инерции равна нулю на любом возможном перемещении системы из положения, занимаемого ею в текущий момент времени.

Оно имеет выражение

. (13.6)

При этом связи могут быть реономными ввиду равновесия системы.

Общее уравнение динамики можно представить в иной форме, используя выражения ,

, или

, (13.7)

Можно получить это уравнение в аналитической форме, использовав известные соотношения

,

,

,

,

.

Тогда на основании (13.7) имеем

(13.8)

В случае идеальных связей сумма элементарных работ их реакций тождественно равна нулю на любом возможном перемещении системы из положения, занимаемого в процессе движения,

. (13.9)

Уравнения приобретают вид

,

, (13.10)

Пример. Механическая система состоит из ступенчатых дисков 1 и 2, тел 3, 4, 5, 6 и невесомого блока (рис. 13.1-а). Известно: силы тяжести , момент ; радиусы ; радиусы инерции дисков . Коэффициент трения , коэффициент сопротивления качению . Определить ускорение центра колеса 4.

Р ешение.

Составим расчетную схему.

Выполним в масштабе чертеж. Покажем на нем:

- силы тяжести тел 3,4, 5, 6;

- линейные и угловые ускорения,

- инерционные силовые факторы, направленные противоположно ускорениям (рис. 13.1-б).

Сообщим системе возможное перемещение. Только теперь можно показать на чертеже силу трения и момент сопротивления качению , направленные противоположно перемещениям тел.

Напишем общее уравнение динамики

(13.11)

Установим связь между возможными перемещениями. Удобно перемещения тел выражать через перемещение того тела, ускорение которого нужно найти по условию.

,

Соотношения между ускорениями (они аналогичны соотношениям между перемещениями)

, , , .

Силовые инерционные факторы

Сила трения

момент сопротивления качению колеса 4 (N4=P4)

.

Найденные значения подставляем в исходное выражение (13.11)

После приведения подобных получим

,

откуда находим искомое ускорение тела 4

.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]