Кинетический момент тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью (рис. 8.3). Тело можно считать неизменной системой, состоящей из множества МТ. Поэтому кинетический момент тела относительно оси вращения
. (9.13)
Из рисунка видно
.
Тогда
,
где при и
имеем
,
(9.14)
то есть кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на его угловую скорость.
Теорема об изменении кинетического момента системы
Напишем теорему об изменении момента количества движения относительно центра О для к-той точки
.
(9.15)
Составляя аналогичные соотношения для других МТ и суммируя их, получим
.
Заметим, что
.
Так как сумма
моментов внутренних сил относительно
центра равна нулю
,
то
,
(9.16)
то есть производная по времени от кинетического момента системы относительно центра O равна главному моменту внешних сил, действующих на систему, относительно этого центра.
Для проекций аналогично. Например,
,
тогда
,
,
,
(9.17)
то есть производная
по времени от кинетического момента
системы
(
)
относительно неподвижной оси
(
)
равна главному моменту всех внешних
сил, действующих на систему, относительно
этой оси.
Следствие. Закон сохранения кинетического момента системы.
Если
,
то
,
(9.18)
то есть если главный момент внешних сил, действующих на систему, относительно центра в течение некоторого времени равен нулю, то ее кинетический момент относительно центра в течение этого времени остается постоянным.
Это же справедливо
и для проекций на оси: если
,
,
,
то, соответственно,
,
,
.
Если в течение некоторого времени главный момент внешних сил, действующих на систему, относительно какой-либо неподвижной оси равен нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси будет постоянным.
Внутренние силы системы не могут изменить ее кинетический момент.
Примером служит скамья Жуковского. Если человек, сидящий на ней, раздвигает гантели (увеличивается момент инерции системы относительно оси вращения), то скорость вращения скамьи уменьшается, а при их сближении она увеличивается (момент инерции уменьшается), что соответствует соотношению
.
Лекция 10
Дифференциальные уравнения поступательного, вращательного и плоского движения твердого тела. Физический маятник.
Поступательное движение
В поступательном движении твердого тела все его точки движутся так же, как и его центр масс. Поэтому дифференциальные уравнения его движения являются дифференциальными уравнениями поступательного движения тела
,
,
(10.1)
,
где m – масса тела, ∑X(е), ∑Y(е), ∑Z(е) – алгебраические суммы проекций внешних сил на координатные оси, Rx(е), Ry(е), Rz(е) - проекции главного вектора внешних сил на эти оси.
С помощью этих уравнений можно решать два основных типа задач.
1. По заданному
движению тела найти главный вектор
внешних сил
.
2. По заданным внешним силам, действующим на тело, найти кинематические уравнения его движения, если известно, что оно поступательное.
Таким образом, изучение поступательного движения тела сводится к изучению движения отдельной материальной точки, имеющей такую же массу, как и тело.