Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Для к-той точки системы применим теорему об изменении кинетической энергии МТ

, (8.11)

где - кинетическая энергия точки, соответственно, в конце и начале некоторого перемещения системы, – работа на том же перемещении равнодействующей всех сил, действующих на данную точку.

Написав аналогичные соотношения для каждой точки системы и сложив их почленно, получим

,

где , - кинетическая энергия механической системы в конце и начале данного ее перемещения, соответственно.

Следовательно, с учетом работ внешних и внутренних сил, имеем

, (8.12)

то есть изменение кинетической энергии системы при ее перемещении из одного положения в другое равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему, на этом перемещении.

Частный случай. Для абсолютно твердого тела сумма работ всех внутренних сил равна нулю

,

Следовательно,

, (8.13)

то есть изменение кинетической энергии твердого тела при каком-либо перемещении равно сумме работ всех внешних сил, действующих на тело, на соответствующих перемещениях точек при его перемещении.

Таким образом, в отличие от других общих теорем динамики системы, в эту теорему входят внутренние силы. Работа внутренних сил, вообще, не равна нулю, так как материальные точки системы под их действием могут перемещаться, то есть эти силы работают. Однако они не входят в теорему, если тело абсолютно твердое или система неизменяемая, а также, когда на систему наложены идеальные связи (лекция 12).

Теоремой об изменении кинетической энергии удобно пользоваться, если в число параметров, известных и неизвестных, по условию задачи входят силы, перемещения и скорости.

Эта теорема применима в задачах, где определяются скорости. Вместе с тем, справедлива теорема в дифференциальной форме: дифференциалы кинетической энергии системы и работы равны между собой, то есть

. (8.14)

С ее помощью определяются ускорения. После дифференцирования по времени имеем

, (8.15)

то есть производная по времени от кинетической энергии равна мощности.

Для членов, входящих в выражение кинетической энергии и относящихся к поступательно движущимся телам,

.

.

Мощность

.

Приравнивая правые части этих выражений, получим

,

откуда находим ускорение

.

Аналогично для членов, относящихся к вращающимся телам,

.

Мощность

.

Приравниваем правые части между собой

,

откуда угловое ускорение

. (8.16)

Очевидно, в том и другом случае с исключением скоростей происходит переход к ускорениям, которые легко находятся.

Лекция 9

Теорема об изменении количества движения системы. Теорема о движении центра масс. Кинетический момент системы относительно центра и оси. Кинетический момент твердого тела относительно неподвижной оси вращения. Теорема об изменении кинетического

момента системы.