
- •Лекция 1
- •Основные законы динамики
- •Каждую из сил можно представить , а так как , то , откуда , то есть модули ускорений, сообщаемых друг другу материальными точками при взаимодействии, обратно пропорциональны их массам.
- •Системы единиц
- •Дифференциальные уравнения движения материальной точки Пользуясь основным законом динамики, можно вывести дифференциальные уравнения движения мт в различных системах координат.
- •Две основные задачи динамики материальной точки
- •Проекции силы на оси
- •Лекция 2
- •Вторая задача динамики точки
- •Частные случаи прямолинейного движения материальной точки
- •Прямолинейные колебания материальной точки
- •Свободные колебания
- •Лекция 3
- •Затухающие колебания
- •Апериодическое движение
- •Вынужденные колебания без учета сопротивления
- •Явление резонанса
- •Лекция 4
- •Лекция 5
- •Количество движения материальной точки
- •Импульс силы
- •Теорема об изменении количества движения мт
- •Момент количества движения мт относительно центра и оси
- •Теорема об изменении момента количества движения мт
- •Движение мт под действием центральной силы
- •Лекция 6
- •Работа силы
- •Мощность
- •Частные случаи определения работы силы
- •Работа линейной силы упругости
- •Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки
- •Лекция 7
- •Механическая система. Классификация сил
- •Центр масс механической системы
- •Моменты инерции
- •Теорема Штейнера-Гюйгенса
- •М оменты инерции однородных тел
- •Лекция 8
- •Работа внутренних сил
- •Работа и мощность сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси
- •Кинетическая энергия механической системы
- •Вычисление кинетической энергии твердого тела в различных случаях его движения
- •Теорема об изменении кинетической энергии механической системы
- •Лекция 9
- •Количество движения системы
- •Теорема об изменении количества движения системы
- •Теорема о движении центра масс системы
- •Кинетический момент системы относительно центра и оси
- •Кинетический момент тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
- •Теорема об изменении кинетического момента системы
- •Лекция 10
- •Поступательное движение
- •Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси
- •Плоское движение
- •Физический маятник
- •Лекция 11
- •Силы инерции. Принцип Даламбера для мт
- •Принцип Даламбера для механической системы
- •Главный вектор и главный момент сил инерции
- •Частные случаи
- •Лекция 12
- •Связи и их уравнения
- •Классификация связей
- •Возможное (виртуальное) перемещение
- •Идеальные связи
- •Принцип возможных (виртуальных) перемещений
- •Лекция 13
- •Условия равновесия в обобщенных координатах
- •Общее уравнение динамики
- •Лекция 14
- •Уравнение Лагранжа II-го рода
- •Лекция 15
- •Устойчивость равновесия и движения механической системы
- •Теорема Лагранжа-Дирихле
- •Малые колебания механической системы с одной степенью свободы
- •Лекция 16
- •Явление удара
- •Действие ударной силы на мт
- •Теорема об изменении количества движения системы
- •Удар шара о неподвижную поверхность. Коэффициент восстановления
- •Лекция 17
- •Прямой центральный удар двух тел
- •Потеря кинетической энергии (теорема Карно)
- •Частные случаи прямого центрального удара двух тел
- •Теорема об изменении кинетического момента системы
- •Действие ударных сил на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси. Центр удара
- •Заключение
Теорема об изменении кинетического момента системы
Теорема: изменение кинетического момента системы относительно какой-либо точки за время удара равно векторной сумме моментов внешних ударных импульсов, приложенных к системе, относительно той же точки.
Применим теорему об изменении кинетического момента системы
,
где
- кинетический момент системы относительно
неподвижной точки
,
- главный момент внешних сил, действующих
на систему.
Тогда
.
Интегрируем это выражение в пределах от 0 до
.
Левая часть
представляет собой изменение кинетического
момента системы за время удара
.
Преобразуем правую часть
=
,
где перемещениям
и во время удара пренебрегаем, то есть
.
Так как
- внешний ударный импульс, то
.
(17.7)
Окончательно имеем
.
(17.8)
Соотношение (17.8) справедливо и в проекциях на любую ось, например,
,
то есть изменение кинетического момента относительно какой-либо оси за время удара равно алгебраической сумме моментов внешних ударных импульсов относительно той же оси.
Следствие.
При
,
то есть, если сумма моментов внешних
ударных импульсов, приложенных к системе,
относительно какой-либо точки равна
нулю, то кинетический момент системы
относительно этой точки при ударе не
изменяется.
Это справедливо также по отношению к любой оси.
Действие ударных сил на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси. Центр удара
Если произвести
удар с ударным импульсом
по телу, имеющему ось вращения, то можно
установить условия, при выполнении
которых н
е
возникает ударных реакций в подшипниках,
расположенных на оси вращения.
Допустим, тело до
удара вращалось вокруг неподвижной оси
с
угловой скоростью
(рис. 17.2).
Положим, к телу приложили ударный импульс , и оно стало вращаться с угловой скоростью .
Освободим тело от
связей и заменим их импульсными реакциями
и
,
применив к явлению удара теоремы об
изменении количества движения и
кинетического момента системы
,
(17.9)
,
где
и
-
векторы количества движения и кинетического
момента системы.
По формуле Эйлера скорость точки
.
Тогда
,
где
-
масса тела,
- радиус-вектор центра масс тела.
Так как
и
направлены по оси вращения, то
.
(17.10)
Проекции кинетического
момента на оси координат находим по
формулам для тела, имеющего одну
закреплённую точку, при условии
,
,
,
.
Следовательно,
,
,
(17.11)
.
Проектируем (17.9) на оси координат с учетом (17.10) и (17.11)
,
,
,
,
(17.12)
,
.
Из системы (17.12)
находятся импульсы
и
и изменение угловой скорости
для заданного импульса
.
Найдём условия,
при которых
.
Из (17.12) в этом случае имеем
,
,
,
,
(17.13)
,
.
Из (17.13) очевидно,
что если
,
то ударный импульс параллелен плоскости
.
Выберем начало координат О так,
чтобы этот вектор
лежал в самой плоскости
,
а ось
направим параллельно вектору
.
Тогда вектор
пересечёт ось
в точке K. При таком
выборе координат моментных осей
,
,
,
.
Поэтому из (17.13) из
второго уравнения
,
из четвёртого
,
из пятого
,
то есть центр масс находится в плоскости
и ось вращения является главной осью
инерции.
Так как вектор параллелен оси , то, следовательно, он перпендикулярен плоскости , проходящей через ось вращения и центр масс.
Обозначим
,
тогда
(при
>
).
Исключая , находим
.
(17.14)
При выбранной
системе координат
- расстояние от центра масс до оси
вращения. Назовём его
,
тогда
.
Получена формула для вычисления
приведённой длины физического маятника.
Точка
пересечения линии действия ударного
импульса с плоскостью, проходящей через
ось вращения и центр масс, при отсутствии
ударных реакций в подшипниках, называется
центром удара.
Любой ударный
импульс
,
линия действия которого проходит через
точку К перпендикулярно к плоскости,
соединяющей ось вращения и центр масс,
не вызывает ударных реакций в подшипниках,
если ось вращения является главной осью
инерции для точки О (точки пересечения
оси вращения с перпендикулярной
плоскостью, содержащей ударный импульс
).
Расстояние от оси вращения до линии
ударного импульса
равно приведённой длине физического
маятника. Центр удара К и центр масс
C лежат по одну сторону
от оси вращения.
Если центр масс
лежит на оси вращения
,
то центр удара находится в бесконечности.
Тогда
по формуле (17.10), то есть
,
откуда
.
Ударный импульс, приложенный к телу,
полностью передается на подшипники.