Теорема о движении центра масс системы

На основании (9.4), с учетом того, что , имеем

.

Здесь - ускорение центра масс, поэтому

. (9.9)

Получена теорема о движении центра масс системы: центр масс системы движется так же, как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и на которую действуют все внешние силы, приложенные к системе.

Аналогично для проекций на координатные оси

, , , (9.10)

где - координаты центра масс.

Следствия.

1. Если , то , то есть если главный вектор внешних сил, действующих на систему, в течение какого-либо времени равен нулю, то вектор скорости центра масс системы за это время есть величина постоянная. Это же справедливо и для проекций. Например, если , то .

2. Если при этом и скорость центра масс вначале равнялась нулю, то в течение этого времени центр масс не изменяет своего положения. Внутренние силы при отсутствии внешних сил не могут изменять движения центра масс системы, как не могут изменить и ее общего количества движения. Например, человек скользком на льду при отсутствии сил трения не может сделать ни шага, как и автомобиль не может сдвинуться с места.

Пример 1. На неподвижной воде (на озере, пруду) в безветрие стоит лодка. В ее носовой части находится рыбак. Как поведет себя лодка, если рыбак вдоль ее продольной оси переместится в кормовую часть? Сопротивление воды пренебрежимо мало.

Ответ. Поскольку между рыбаком и лодкой действуют внутренние силы, а начальная скорость равна нулю, то лодка переместится так, что общий центр масс системы «лодка-рыбак» останется на месте (количество движения системы равно нулю, как и до начала движения).

Пример 2. При игре на биллиарде шаром бьют по неподвижно стоящему шару. Как поведут себя шары после соударения? Удар считать прямым центральным, абсолютно упругим (лекция 16).

Ответ. Шары обмениваются скоростями, так как количество движения системы сохраняется постоянным из-за отсутствия внешних сил.

Пример 3. В безвоздушном пространстве летит артиллерийский снаряд. В какой-то момент он взрывается. Что характерно для движения облака осколков?

Ответ. Так как разрыв снаряда происходит под действием внутренних сил, то центр масс «облака» осколков продолжает двигаться по той же траектории, что и центр масс снаряда до разрыва. Нарушение этой закономерности произойдет в тот момент, когда хотя бы один осколок не упадет на землю или не столкнется с целью.

Кинетический момент системы относительно центра и оси

Кинетическим моментом системы относительно центра О называется главный момент количества движения системы относительно этого центра. Другими словами, вектор равен сумме векторов моментов количества движения всех точек системы относительно этого центра

. (9.11)

Кинетическим моментом системы относительно оси, например, называется главный момент количества движения системы относительно этой оси, равный алгебраической сумме моментов количества движения всех точек системы относительно этой оси

.

Так же, как и для векторных моментов относительно центра и оси, проходящих через этот центр, справедливо соотношение

, (9.12)

где - угол между направлением положительным направлением оси . Проекция вектора кинетического момента системы относительно центра на какую-либо ось, проходящую через него, равна кинетическому моменту данной системы относительно этой оси.