Лекция 7

Механическая система. Классификация сил, действующих на

механическую систему. Масса системы. Центр масс системы и его координаты. Главный вектор и главный момент внутренних сил.

Моменты инерции системы и твердого тела относительно

плоскости, оси и полюса. Радиус инерции. Теорема Штейнера-Гюйгенса. Примеры вычисления моментов инерции тел

Механическая система. Классификация сил

Механической системой (в дальнейшем просто системой) называется совокупность МТ, взаимодействующих между собой. Эти МТ находятся во взаимосвязи, и движение и положение каждой из них определяется движением и положением всех остальных МТ.

Система считается свободной, если движение ее МТ не ограничено какими-либо связями, и несвободной, если такие связи имеются.

Системы делятся на изменяемые и неизменяемые. Неизменяемые системы те, в которых расстояния между любыми двумя точками остаются постоянными при движении (например, абсолютно твердое тело) Если эти расстояния изменяются, то система называется изменяемой (например, деформируемое тело).

В статике силы разделялись на активные и реакции связей. В динамике силы делят на внешние и внутренние.

Внешними силами механической системы называются силы взаимодействия точек этой системы с телами и точками, не входящими в состав механической системы (обозначаются ).

Внутренними силами механической системы называются силы взаимодействия между точками системы (обозначаются ).

Деление сил на внешние и внутренние имеет условный характер и определяется постановкой задачи. По отношению к снаряду, движущемуся по стволу орудия, сила давления пороховых газов является внешней, а в отношении системы «орудие-снаряд» она внутренняя.

По закону равенства сил действия и противодействия, силы, которыми действуют две любые МТ друг на друга, равны по модулю, противоположно направлены, линии их действия совпадают. Рассматривая попарно силы взаимодействия всех МТ системы, можно сделать выводы.

1. Главный вектор внутренних сил системы и его проекции на координатные оси (алгебраические суммы проекций этих сил на оси) равны нулю (рис. 7.1).

Так как

, то .(7.1)

В проекциях на оординатные оси

,

, (7.2)

.

2. Главный момент внутренних сил относительно любого центра и главный момент (алгебраическая сумма моментов) этих сил относительно любой оси равны нулю. Из рис. 7.1 видно, что

. (7.3)

Обе силы имеют одинаковые модули и противоположные направления.

Главный момент относительно точки О состоит из векторной суммы этих выражений, равных нулю, следовательно,

. (7.4)

В проекциях также

,

, (7.5)

.

Хотя эти уравнения схожи с уравнениями равновесия, но не являются ими, так как силы приложены к разным МТ, которые под их действием могут перемещаться. Они уравновешиваются в случае абсолютно твердых тел (то есть когда все МТ принадлежат твердому телу).

Центр масс механической системы

Центр масс имеет важное значение в динамике. Его положение определяется радиусом-вектором

, (7.6)

г де , - масса и радиус-вектор -той МТ, - масса системы.

Координаты центра масс

, , , (7.7)

откуда

, , , .

Выражение называется статическим моментом массы системы относительно полюса О, а , , – статическими моментами массы системы относительно плоскостей , соответственно.

Если полюс совпадает с центром масс, то статический момент относительно него равен нулю

.

То же касается и статических моментов относительно плоскостей, проходящих через центр масс.

Предположим, что система находится вблизи Земли. Умножив числитель и знаменатель выражения (7.6) на g, имеем

, (7.8)

где - вес к-той МТ.

У поверхности Земли центр тяжести и центр масс совпадают. Понятие центра тяжести не имеет смысла вне поля земного тяготения, а центр масс существует и в этом случае. Центр масс является более общим понятием, чем центр тяжести.