- •Введение
- •1Особенности моделирования экономических процессов
- •1.2.1Сущность процесса моделирования
- •1.3.1Характерные особенности математического моделирования в экономике
- •1.4.1Классификация математических моделей
- •1.5.1Этапы исследования экономических процессов
- •2Линейные математические модели
- •2.2.1Примеры постановок задач линейного программирования
- •2.3.1 Формы представления задач линейного программирования
- •Стандартная форма записи
- •Каноническая форма записи
- •Общая форма записи
- •2.4.1 Геометрический метод решения задач линейного программирования
- •2.5.1Модифицированный геометрический метод
- •2.6.1 Геометрический метод решения задач линейного программирования со многими переменными
- •2.7.1 Виды оптимальных решений
- •2.8.1 Основы анализа модели на чувствительность
- •2.9.1 Симплексный метод решения задач линейного программирования
- •Алгоритм метода:
- •Ведущий столбец
- •Ведущая строка
- •2.10.1Особые случаи применения симплекс - метода
- •2.9.1.Вырожденность.
- •2.9.2.Зацикливание.
- •2.9.3.Альтернативные оптимальные решения
- •2.9.4. Неограниченные решения.
- •2.9.5. Отсутствие допустимых решений
- •2.11.1 Интерпретация симплекс-таблиц – анализ модели на чувствительность
- •Статус ресурсов
- •Ценность ресурсов
- •Максимальное изменение коэффициентов удельной прибыли (стоимости)
- •2.12.1 Искусственное начальное решение
- •2.9.1.Метод больших штрафов
- •Алгоритм метода:
- •2.9.2. Двухэтапный метод
- •2.9.3.Двойственный симплекс-метод
- •Алгоритм метода:
- •2.13.1Двойственная задача линейного программирования
- •Примеры формулировок двойственных задач.
- •Основная теорема теории двойственности
- •Список литературы
- •Приложение 1. Блок-схема симплекс-метода
- •Приложение 2. Блок-схема метода больших штрафов
- •П Ввод матрицы условий риложение 3. Блок-схема двойственного симплекс-метода
2.5.1Модифицированный геометрический метод
Линия уровня целевой функции – линия, вдоль которой f сохраняет свое значение при переменных х1, х2. Для линейной функции (n=2) семейство линий уровня – семейство параллельных прямых.
Из курса высшей математики известно, что градиент функции всегда перпендикулярен линии уровня f(x1,x2) =const и показывает направление возрастания функции f
, где , – единичные орты, ориентированные вдоль соответствующих осей.
Алгоритм метода:
1),2) Аналогично алгоритму графического метода.
3) Строим линию уровня целевой функции для произвольной константы.
4) Определяем направление градиента.
5) Перемещаем линию уровня параллельно самой себе вдоль ОДР по направлению градиента при поиске max целевой функции (при поиске min f по направлению антиградиента). Последняя точка касания линии уровня с ОДР и даст оптимальную вершину.
6) Рассчитать координаты оптимальной вершины.
Риc. 7. Решение задачи модифицированным графическим методом
Построим линию уровня для примера 2.3.1.
df
dx2
при х1=0, х2=20
х2=0, х1=11
Изобразим на линии уровня градиент, выбрав произвольную точку N.
По оси х1 откладываем 20, по оси х2 откладываем 11. И строим вектор grad f, как сумму двух векторов. Градиент направлен слева–направо вверх. По grad f продвигаем линию уровня параллельно самой себе до последней точки касания ОДР, т.е. в данном случае это точка В, она и будет оптимальна.
Пример 2.4.1.
Мясокомбинат выпускает два вида продукции А1 и А2. Продукт А1 изготовляется с помощью механизма В1, продукт А2 с помощью механизма В2. Затем оба продукта упаковываются на специальном оборудовании. Производительность механизма В1 равна 4 т/ч, потери сырья при этом составляют 15%, суточная же производительность механизма В2 равна 3,5 т/ч, потери сырья достигают 20%. В течение суток механизмы В1 и В2 могут работать не более 18 час и 20 час соответственно; 1 час работы этих механизмов обходится мясокомбинату в 300 и 250 долларов. Специальное оборудование может работать не более 10 час. в сутки, упаковывая за 1 час 12 т продукта А1 или 10 т продукта А2. Один час его использования обходится мясокомбинату в 200 долл. Стоимость 1 кг сырья равна 3 долл. Упаковка продукта А1 весом 4/5 кг продается на рынке по 6 долл., упаковка же продукта А2 весом 3/5 кг – по 5 долл. Необходимо порекомендовать мясокомбинату такие суточные потребления сырья для производства продукции А1 и А2, при которых чистая прибыль была бы максимальной. Предполагается, что рынок сбыта для каждого вида продукции практически неограничен.
Рис. 8. Технологическая схема производства
Математическая формулировка задачи
Обозначим:
(т) – количество продукта А1 и А2 соответственно;
– количество упаковок продукта вида А1;
– количество упаковок продукта вида А2;
– время работы механизма В1; – время работы механизма В2.
- время работы специального оборудования.
100% +15% в долях равна 1,15 – кол-во сырья для механизма В1,
100% + 20% в долях равна 1,2 – кол-во сырья для механизма В2,
Чистая прибыль f равна доходу от продажи упаковок продуктов А1 и А2 за вычетом стоимости сырья и работы механизмов В1 и В2 и специального оборудования.
Математическая модель:
при ограничениях:
≤ 18 (1)
≤ 20 (2)
≤ 10 (3)
хi≥0 i=1,2
или после несложных преобразований:
х1 ≤ 72 (1)
х2 ≤ 70 (2)
5х1 + 6х2 ≤ 600 (3)
Находим отрезки, отсекаемые по осям координат прямой 5х1 + 6х2 =600 (ограничение 3):
при х1 = 0, х2 = 100
при х2 = 0, х1 = 120
Рис.9. Графическое решение задачи
Находим координаты вершин ОДР из решения системы прямых, образующих этих вершины.
т. A (0,70); т. D (72,0)
Координаты вершины С определяем из системы:
5 х1 + 6х2 ≤ 600
х1=72,
отсюда С (72;40)
Координаты вершины В находим из системы:
5х1 + 6х2 ≤ 600
х1=70,
отсюда В(36;70)
Рассчитаем значения целевой функции в вершинах:
f(A)=3958,40+464270=324940
f(В)=3958,436+464270=467442,4
f(C)=3958,472+464240=470684,8 max f
f(D)=3958,472+46420=285004,8
Получаем, что оптимальной вершиной будет С (72,40), то есть для получения максимальной прибыли на механизм В1 следует подать 1,1572 =82,8 (т) сырья, на механизм В2 – 1,2440= 48 (т)