ТВедущий столбец
Ведущая строка
аблица 16
№ итер. |
Базис |
хЕ |
хI |
S1 |
S2 |
S3 |
S4 |
Значение |
Отношение |
Формула |
N=0 хE ввод., S2 искл. |
fур |
-3 |
-2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
S1 |
1 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
6 |
6:1=6 |
|
|
S2 |
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
8 |
8:2=4 |
|
|
S3 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
не рассчит. |
|
|
S4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
2 |
не рассчит. |
|
|
N=1 xI ввод., S1 искл. |
fур |
0 |
- |
0 |
|
0 |
0 |
12 |
|
fур= fур+3хЕ |
S1 |
0 |
|
1 |
- |
0 |
0 |
2 |
2: |
S1= S1 -хЕ |
|
хE |
1 |
|
0 |
|
0 |
0 |
4 |
4: |
хЕ= S2:2 |
|
S3 |
0 |
|
0 |
|
1 |
0 |
5 |
5:
= |
S3= S3+хЕ |
|
S4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
2 |
2:1=2 |
S4= S4 |
|
N=2 оптим план |
fур |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
12
|
|
fур= fур+ хI |
xI |
0 |
1 |
|
- |
0 |
0 |
|
|
хI= S1: |
|
хE |
1 |
0 |
- |
|
0 |
0 |
|
|
хЕ=хE - хI |
|
S3 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
1 |
0 |
3 |
|
S3= S3 - хI |
|
S4 |
0 |
0 |
- |
|
0 |
1 |
|
|
S4= S4-хI |
=
=8
Оптимальный
суточный план производства краски Е в
количестве
,
краски I
–
, максимизирующий прибыль mах
f
=
тыс. дол., причем S1=0;
S2=0,
т.е. продукты А и В расходуются полностью,
остаточные переменные спроса S3=3;
S4=2/3.
Пример 2. 8. 1.
Два механизма могут выполнить два вида земляных работ. В таблице 17 указаны ресурсы рабочего времени ti каждого из механизмов в машино-часах и их производительности λij в м3/ машино-час.
Таблица 17
Механизмы |
Производительность i-го механизма λij при выполнении j-ой работы. |
ti |
|
1 вид работы |
2 вид работы |
||
I |
20 (х11) |
10 (х12) |
330 |
II |
40 (х21) |
30 (х22) |
440 |
Требуется распределить временные ресурсы так, чтобы механизмы смогли выполнить максимальный объем работ, соблюдая при этом следующее соотношение объемов проделанной работы 1-го и 2-го вида: 2/4.
При данных условиях выгодно ли увеличение производительности I механизма при выполнении 2 вида работ до 20 м3/ машино-час?
Составим целевую функцию:
f = 20х11+10х12+40х21+30х22→mах
Ограничения по времени:
х
11+х12
≤ 330
х21+х22 ≤ 440
Решим симплексным методом:
Распишем пропорцию и выразим х11:
80 х11+160 х21= 20 х12+60 х22 (:80)
х11=
х12+
х22
-2 х21
Исходя из нового значения х11, запишем выражение для целевой функции:
f=20(
х12+
х22
-2х21
)+ 10х12
+40х21+30х22
= 15х12
+ 45х22→мах
Ограничения примут вид:
х12 +
х22
- 2х21 + х1=330
х21 + х22 + х2=440
Таблица 18
№ итер. |
Базис |
х 12 |
х 21 |
х 22 |
х1 |
х2 |
Значе-ние |
Отнош |
Формула |
№ = 0 х2-искл. х22-ввод. |
f ур |
-15 |
0 |
-45 |
0 |
0 |
0 |
|
|
х1 |
5/4 |
-2 |
¾ |
1 |
0 |
330 |
440 |
|
|
х2 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
440 |
440 |
|
|
№ =1 х1–искл. х12-ввод. |
f ур |
-15 |
45 |
0 |
0 |
45 |
19800 |
|
fур= fур+45.х22 |
х1 |
5/4 |
-11/4 |
0 |
1 |
-3/4 |
0 |
0 |
х1=х1 – х22 .3/4 |
|
х22 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
440 |
440 |
х22 = х2 : 1 |
|
№ = 2 оптимум |
f ур |
0 |
12 |
0 |
12 |
36 |
19800 |
|
fур=fур+ 15.х22 |
х12 |
1 |
-11/5 |
0 |
4/5 |
-3/5 |
0 |
|
х12 = х1:5/4 |
|
х22 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
440 |
|
|
Симплекс-таблица
оптимальна, т.к. все коэффициенты при
fур неотрицательны.
х11=
.
0+
440
-20=330
х12=0; х21=0; х22=440,
т.е. механизм I в течение 330 часов выполняет 1-ю работу, а механизм II в течение 440 часов выполняет 2-ю работу.
Если увеличить производительность механизма I при выполнении 2-го вида работ до 20 м3/машино-час, то оптимальный план был бы таков:
х11=0, х12=330, х21=440 и х22=0
max f =20.0+20 .330+40 .440+30.0=23200 (м3),
т.е. был бы выполнен больший объем работ, чем в исходной задаче.
Пример 2. 8. 2.
Стальные прутья длиной 110 см необходимо разрезать на заготовки длиной 45, 35 и 50 см. Требуемое количество заготовок данного вида составляет соответственно 40, 30 и 20 штук. Возможные варианты разреза и величина отходов при каждом из них приведены в табл.19.
Таблица 19
Длина заготовки, (см) |
Варианты разреза |
|||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
45 |
2 |
1 |
1 |
‑ |
‑ |
‑ |
35 |
‑ |
1 |
‑ |
3 |
1 |
‑ |
50 |
‑ |
‑ |
1 |
‑ |
1 |
2 |
Величина отходов (см) |
20 |
30 |
15 |
5 |
25 |
10 |
Определить, сколько прутьев по каждому из возможных вариантов следует разрезать, чтобы получить не менее нужного количества заготовок каждого вида при минимальных отходах.
Математическая модель
Обозначим: хj (j=1, 2,..,6) – количество прутьев разрезаемых по j варианту
zi (i=1,..,3) – количество лишних заготовок длиной 45, 35 и 50 см соответственно.
f =20х1+30х2+15х3+5х4+25х5+10х6+45z1+35z2+50z3min
при ограничениях:
2
х1+х2+х3
-z1=40
х2+3х4+х5 -z2=30
х3+х5+2х6-z3=20
хj 0; zi0; j=1, 2,...,6; i=1,...,3
Так как переменные х1, х4 и х6 входят только в одно ограничение, то их можно взять за базисные, выразив их через небазисные переменные, подставим в f, получим:
х1=20
-
х2
-
х3+
z1
х4=10
-
х2
-
х5+
z2
х6=10 - х3- х5+ z3
f
=400 -10х2
-10х3
+ 10z1
+ 30х2
+15х3+50
-
х2
-
х5
+
z2
+
25х5+100
-5х3 -5x5
+ 5z3
+ 45z1
+ 35z2
+ 50z3
min
f
=550+
х2+
х5+55z1+
z2+55z3
min
Все коэффициенты при небазисных переменных х2, х5, z1, z2 и z3 (равных нулю) положительны, и решается задача минимизации, следовательно переменные х2, х5, z1, z2 и z3 увеличивать не стоит.
min f =550 при плане Х*=(20; 0; 0; 10; 0; 10) при этом потерь за счет лишних заготовок не будет, т.е.zi=0 (i=1,..,3).