2.9.4. Неограниченные решения.

Условия некоторых задач линейного программирования могут допускать бесконечное увеличение значений переменных без нарушения ограничений. Это свидетельствует о том, что пространство допустимых решений, по крайней мере, в одном направлении, неограниченно. В таких случаях целевую функцию можно сделать бесконечно большой (при решении задачи mах f₀) и бесконечно малой (min f₀). Тогда говорят, что оптимальное значение целевой функции не ограничено.

Неограниченность решения задачи линейного программирования свидетельствует о том, что разработанная модель недостаточно точна.

Ведь бессмысленно использовать, например модель, прогнозирующую бесконечную прибыль.

Типичные ошибки, приводящие к построению моделей такого рода, состоят в том, что:

1. Не учтено одно (или несколько) ограничение, не являющееся избыточным.

2. Не точно оценены параметры, фигурирующие в соответствующих ограничениях.

В следующем примере показано, как можно выявить неограниченность пространства решений и целевой функции, используя симплекс - таблицу.

Пример 2. 9. 3: Неограниченная целевая функция.

В стандартной форме	В канонической форме
f0 = х1 +2х2 maх	fур - х1 -2 х2=0
при ограничениях	п ри ограничениях
х 1 – х2  10 (1)	х1 – х2 +х3= 10
х1  20 (2)	х1+х4= 20
х1, х2  0	хi0 i=1,2,...,4

Таблица 23

№ итер.	Базис	х1	х2	х3	х4	Знач.	Отнош	Формула
№=0	fур	-1	-2	0	0	0
	Х3	1	-1	1	0	10	не рассчит
	Х4	1	0	0	1	20	20/0=

Рис. 23

Во всех ограничениях коэффициенты при х₂ либо отрицательны, либо равны нулю. Это означает, что не нарушая ни одного из ограничений модели можно соответственно увеличивать х₂. Так как при бесконечном увеличении х₂, целевая функция будет неограниченно увеличиваться.

Правило. Если на некоторой итерации небазисная переменная имеет в ограничениях неположительные (равны 0 или отрицательные) коэффициенты, то пространство решений соответствующей задачи в данном направлении неограниченно. Если при этом, коэффициент при этой переменной в f - уравнении отрицательный, а f₀ подлежит максимизации или данный коэффициент положительный, а f₀ подлежит минимизации, то целевая функция так же неограничена.

Неограниченность может обнаружиться не сразу, а на какой - либо из последующих итераций.

Пример 2. 9. 5: Область допустимых решений неограниченна, а оптимальное значение целевой функции конечно.

В стандартной форме	В канонической форме
f0 = 6х1 – 2х2 maх	fур - 6х1 + 2х2=0
при ограничениях	П ри ограничениях
2х1 – х2  2 (1)	2х1 – х2+х3 = 2
х1  4 (2)	х1+х4= 4
х1, х2  0 i=1,2	хi 0 i=1,2,...,4

Таблица 24

№ итер.	базис	х1	х2	х3	х4	Знач.	Отнош.	Формула
N=0 х1 ввод., х3 искл.	fур	-6	2	0	0	0
	х3	2	-1	1	0	2	2:2=1
	х4	1	0	0	1	4	4:1=4
N=1 х2 ввод., х4 искл.	fур.	0	-1	3	0	6		fyp=fyp+6x1
	х1	1	-1/2	1/2	0	1	не рассч.	x1=x3:2
	х4	0	1/2	-1/2	1	3	3:1/2=6	x4=x4 -x1
N=2 оптимум (т. В)	fур	0	0	2	2	12		fyp=fyp+x2
	х1	1	0	0	1	4		x1=x1+1/2x2
	х2	0	1	-1	2	6		x2=x4:1/2

mах f₀*=12, оптимальный план Х*=(4;6;0;0)

Пространство решений в направлении оси х₂ не ограниченно, но так как х₂ фигурирует в f -уравнении с положительным коэффициентом, то нельзя сделать вывод о неограниченности целевой функции.

Фактором, который определяет, будет ли целевая функция ограниченной, является наклон линии уровня.

Рис. 24.