2.9.3.Альтернативные оптимальные решения

Появляются, если линия уровня целевой функции параллельна прямой (или гиперплоскости), соответствующей связывающему ограничению. В этом случае целевая функция принимает одно и тоже оптимальное значение в некоторой совокупности точек пространства решений.

Пример 2. 9. 2. Бесконечное множество решений

В стандартной форме	В канонической форме
f0 = 2х1+ 4х2 maх	fур -2х1- 4х2=0
при ограничениях	при ограничениях
х 1 + 2х2 5 (1)	х 1 +2х2+х3=5
х1 + х2  4 (2)	х1 + х2 + х4=4
х 1, х2 0	хi0 i=1,2,...,4

Рис. 22.

Н айдем координаты вершины B из решения системы линейных уравнений: х₁+2х₂=5 х₁=3; х₂=1

х₁+х₂=4

Координаты вершин B (3;1) и A(0;2,5).

Оптимум (т. A) получим на первой итерации. Как по результатам симплекс таблицы узнать о наличии альтернативных решений? Для этого следует анализировать коэффициенты в f-уравнении при базисных переменных. В первой итерации коэффициент при небазисной переменной х₁ равен нулю, значит увеличение х₁, то есть включение х₁ в базис, не изменит значение целевой функции, но приведет к изменению значений других переменных.

Таблица 22

№ итер.	базис	х1	х2	х3	х4	Знач	Отнош	формула
N=0 х2 ввод., х3 искл.	fур	-2	-4	0	0	0
	х3	1	2	1	0	5	5:2=5/2
	х4	1	1	0	1	4	4:1=4
N=1 х1 ввод., х4 искл. (т. А)	fур	0	0	2	0	10		fур=fур+4x1
	х2	1/2	1	1/2	0	5/2	5/2:1/2=5	x2=x3:2
	х4	1/2	0	-1/2	1	3/2	3/2:1/2=3	x4=x4 –x2
N=2 альтер. оптимум (т. В)	fур	0	0	2	0	10		fур=fур-0x1
	х2	0	1	1	-1	1		x2=x2 -1/2 x1
	х1	1	0	-1	2	3		x1=x4:1/2

Любое другое решение (х₁, х₂), принадлежащее отрезку АВ, можно определить, как положительно - взвешенное среднее двух полученных оптимальных базисных решений, соответствует вершинам А и В, по следующим формулам.

где 0   1

Значение  =0 соответствует вершине В,

 =1 соответствует вершине А.

Информация о наличии альтернативных оптимумов очень полезна при решении практических задач, так как лицо, принимающее решение, может в этом случае выбрать вариант, который в наибольшей степени отвечает сложившейся производственной ситуации. Если бы рассмотренный пример относился к задаче оптимизации многономенклатурного производства, то с учетом конкуренции на рынках сбыта предпочтительнее выпускать продукцию не одного, а двух видов, поэтому следовало выбрать решение, соответствующее вершине В.