- •Введение
- •1Особенности моделирования экономических процессов
- •1.2.1Сущность процесса моделирования
- •1.3.1Характерные особенности математического моделирования в экономике
- •1.4.1Классификация математических моделей
- •1.5.1Этапы исследования экономических процессов
- •2Линейные математические модели
- •2.2.1Примеры постановок задач линейного программирования
- •2.3.1 Формы представления задач линейного программирования
- •Стандартная форма записи
- •Каноническая форма записи
- •Общая форма записи
- •2.4.1 Геометрический метод решения задач линейного программирования
- •2.5.1Модифицированный геометрический метод
- •2.6.1 Геометрический метод решения задач линейного программирования со многими переменными
- •2.7.1 Виды оптимальных решений
- •2.8.1 Основы анализа модели на чувствительность
- •2.9.1 Симплексный метод решения задач линейного программирования
- •Алгоритм метода:
- •Ведущий столбец
- •Ведущая строка
- •2.10.1Особые случаи применения симплекс - метода
- •2.9.1.Вырожденность.
- •2.9.2.Зацикливание.
- •2.9.3.Альтернативные оптимальные решения
- •2.9.4. Неограниченные решения.
- •2.9.5. Отсутствие допустимых решений
- •2.11.1 Интерпретация симплекс-таблиц – анализ модели на чувствительность
- •Статус ресурсов
- •Ценность ресурсов
- •Максимальное изменение коэффициентов удельной прибыли (стоимости)
- •2.12.1 Искусственное начальное решение
- •2.9.1.Метод больших штрафов
- •Алгоритм метода:
- •2.9.2. Двухэтапный метод
- •2.9.3.Двойственный симплекс-метод
- •Алгоритм метода:
- •2.13.1Двойственная задача линейного программирования
- •Примеры формулировок двойственных задач.
- •Основная теорема теории двойственности
- •Список литературы
- •Приложение 1. Блок-схема симплекс-метода
- •Приложение 2. Блок-схема метода больших штрафов
- •П Ввод матрицы условий риложение 3. Блок-схема двойственного симплекс-метода
2.4.1 Геометрический метод решения задач линейного программирования
Задачу ЛП можно решать аналитическими и графическими методами. Аналитические методы являются основой для решения задачи на ЭВМ. Их единственный недостаток заключается в том, что в отличие от графических методов они недостаточно наглядны. Графические методы достаточно наглядны, но они пригодны лишь для решения задач на плоскости.
Теорема Вейерштрасса:
Непрерывная функция определяется на замкнутой области допустимых решений (ОДР) и достигает своих экстремальных значений либо внутри ОДР (в стационарных точках, в которых все частные производные обращаются в нуль), либо на ее границе.
Для линейной функции:
.
Поэтому линейная функция достигает своих экстремальных (максимальных, минимальных) значений на границе ОДР, как правило, в вершинах ОДР.
Алгоритм метода:
1) Построить систему ограничений в виде прямых.
2) Определить допустимую область, в которой ограничение выполняется. Для этого координаты произвольной точки подставляем в ограничение. Если неравенство выполняется, значит выбранная точка лежит в допустимой полуплоскости. Недопустимую полуплоскость будет зачеркивать
3) Определить область допустимых решений (ОДР), в которой выполняются все ограничения одновременно.
4) Рассчитать координаты вершин ОДР, из решения систем 2-х линейных уравнений, образующих эту вершину.
5) Вычислить значение критерия в каждой вершине. Из сопоставления полученных значений определить оптимальную вершину.
Пример 2. 3.1.
Трикотажное ателье изготавливает два вида изделий из шерстяной пряжи. Трудоемкость изготовления изделия вида A1 в 2,5 раза выше трудоемкости изготовления изделия вида А2. Если бы ателье выпускало только изделия вида А1, суточный объем производства мог бы составлять 26 изделий. Суточный объем сбыта изделий вида А1 ограничен до 17 изделий: изделий вида А2 – до 35 штук. Прибыль от продажи изделия вида А1 равна 20 дол., а изделия вида А2 – 11 долл. Определить, какое количество изделий каждого вида следует изготовлять ателье, чтобы получить максимальную прибыль.
Математическая формулировка задачи
х1 – количество изделий вида А1, х2 – количество изделий вида А2.
Получим ограничения на совместный выпуск продукции.
Так как трудоемкость изготовления изделий вида А2 в 2,5 раза ниже, то если бы ателье изготавливало только изделия вида А2, то ателье выпустило бы в 2,5 раза больше изделий, а именно 65 изделий вида А2 (2,526= 65).
Уравнение прямой, проходящей через точки К(26;0) и М(0;65)
; ;
65х1-2665=-26х2
65х1+26 х2=1960 /13
5х1+2х2=130
тогда ограничение на совместный выпуск изделий примет вид
5х1+2х2 130
Математическая модель задачи
f=20х1+11х2max
х 117 (1)
х235 (2)
5х1+2х2 130 (3)
хi0, i=1,2
Находим отрезки, которые прямая 5х1+2х2=130 (3) отсекает по осям:
при х1=0 50+2х2 =130; х2= =65
при х2=0 5х1+20 =130; х1= =26
Рис.6. Графическое решение задачи
Допустимую область, в которой выполняется неравенство находим путем подстановки координат любой точки, например точки О(0;0) в неравенство. Если неравенство выполняется для точки, то эта точка принадлежит допустимой области. 5.0+2.0=0<130. Допустимая область лежит на прямой (3) и ниже. Зачеркиваем недопустимую область решений.
Переменная х1 0 в первом и четвертом квадранте, поэтому зачеркиваем второй и третий квадрант.
Переменная х2 0 в первом и втором квадранте, зачеркиваем недопустимые третий и четвертый квадранты.
Область допустимых решений - это многоугольник ОАВСД.
Найдем координаты вершины В из решения системы уравнений прямых (2) и (3).
х 2=35 (2)
5х1+2х2=130 (3)
х1=
Н айдем координаты вершины С из решения системы уравнений прямых (1) и (3)
х1=17 (1)
5х1+2х2=130 (3)
х1=
Координаты каждой точки ОДР представляют допустимое решение этой задачи.
Рассчитаем координаты вершин:
()О (0;0) f(О)=0
()А (0;35) f(А)=200+1135=385
()В (12;35) f(В)=2012+1135=625 max f
()С (17;22,5) f(С)=2017+22,535=587,5
()Д(17;0) f(D)=20х1+11х2=2017+110=340
Оптимальная точка В, тогда оптимальный план выпуска изделий
Х* (12;35)