2.9.3.Двойственный симплекс-метод

Двойственный симплекс – метод широко используется:

1. при решении целочисленных задач ЛП;

2. если ограничение задачи в виде неравенств “”. В этом случае в качестве начального выбирается базис в недопустимой области (базисные переменные отрицательные) и с помощью двойственного симплекс – метода осуществляется переход в ОДР.

3. если решение задачи уже получено, но появилось новое ограничение, которое не выполняется для оптимального плана.

Алгоритм метода:

1) Если все базисные переменные положительны, то далее используется симплекс – метод, иначе из базиса исключается переменная с наибольшим по модулю отрицательным значением.

2) В строке исключаемой переменной (ведущей) отыскивается наибольший по модулю отрицательный коэффициент и соответствующая ему свободная переменная вводится в базис. Если все коэффициенты ведущей строки положительны, то это означает, что исходная задача не имеет решения.

3) Симплекс – таблица преобразовывается по известным правилам, переходим на пункт 1.

Пример 2. 11. 3.

f₀=2х₁+4х₂→maх

при ограничениях:

3х₁+4х₂+х₃=1700

2х₁+5х₂+х₄=1600

получили следующее оптимальное решение:

Таблица 40

№ итерации	Базис	х2	х2	х3	Х4	Значение
№=2 оптимум	fур	0	0	2/7	4/7	1400
	х1	1	0	5/7	-4/7	300
	х2	0	1	-2/7	3/7	200

Спрос на изделие х₁ и х₂ упал. Недельная продажа изделий обоих видов ограничена 450 шт., то есть необходимо включать в модель дополнительное ограничение: х₁+х₂ 450. Это ограничение нарушается при оптимальном решении: х₁+х₂ = 500 >450.

Можно воспользоваться полученными результатами и применить двойственный симплексный метод. Из оптимальной симплексной таблицы можно записать следующие ограничения:

х₁+ х₃ х₄=300  х₁=300 х₃+ х₄

х₂ х₃+ х₄=200  х₂=200+ х₃ х₄

Выражения для х₁ и х₂ подставляем в дополнительном ограничении, записанное в канонической форме:

х₁+х₂+х₅ = 450

300 х₃+ х₄+200+ х₃ х₄+ х₅=450

- х₃ х₄ + х₅ = 450500 =50

Добавляем к симплекс–таблице столбец х₅ и строку нового ограничения. Базисная переменная имеет недопустимое отрицательное значение х₅ =-50, так как х₃=х₄=0. Согласно двойственному симплекс – методу х₅ подлежит удалению из базиса, а вместо нее вводится в базис х₃. Свободная переменная, которая включается в базис вместо х₅, отыскивается по строке х₅ симплексной таблицы среди переменных с отрицательными коэффициентами.

Таблица 41

№ Итер.	базис	х1	х2	х3	х4	х5	Знач	Отнош	Формула
N=0 x3-вв, х5-искл.	fур	0	0	2/7	4/7	0	1400
	х1	1	0	5/7	-4/7	0	300
	х2	0	1	-2/7	3/7	0	200
	х5	0	0	-3/7	1/7	1	-50	-50:(-3/7)
N=1 Оптимум	fур	0	0	0	2/3	2/3	4100/3		fур=fур2/7х3
	х1	1	0	0	-1/3	5/3	650/3		х1=х15/7х3
	х2	0	1	0	1/3	-2/3	700/3		х2=х2+2/7х3
	х3	0	0	1	-1/3	-7/3	350/3		х3=х5:(3/7)

Получили новое оптимальное решение, которое удовлетворяет введенному дополнительному ограничению х₁+х₂ 450:

mах f = =1366,67 при плане Х*=(216,67;233,33).