- •Введение
- •1Особенности моделирования экономических процессов
- •1.2.1Сущность процесса моделирования
- •1.3.1Характерные особенности математического моделирования в экономике
- •1.4.1Классификация математических моделей
- •1.5.1Этапы исследования экономических процессов
- •2Линейные математические модели
- •2.2.1Примеры постановок задач линейного программирования
- •2.3.1 Формы представления задач линейного программирования
- •Стандартная форма записи
- •Каноническая форма записи
- •Общая форма записи
- •2.4.1 Геометрический метод решения задач линейного программирования
- •2.5.1Модифицированный геометрический метод
- •2.6.1 Геометрический метод решения задач линейного программирования со многими переменными
- •2.7.1 Виды оптимальных решений
- •2.8.1 Основы анализа модели на чувствительность
- •2.9.1 Симплексный метод решения задач линейного программирования
- •Алгоритм метода:
- •Ведущий столбец
- •Ведущая строка
- •2.10.1Особые случаи применения симплекс - метода
- •2.9.1.Вырожденность.
- •2.9.2.Зацикливание.
- •2.9.3.Альтернативные оптимальные решения
- •2.9.4. Неограниченные решения.
- •2.9.5. Отсутствие допустимых решений
- •2.11.1 Интерпретация симплекс-таблиц – анализ модели на чувствительность
- •Статус ресурсов
- •Ценность ресурсов
- •Максимальное изменение коэффициентов удельной прибыли (стоимости)
- •2.12.1 Искусственное начальное решение
- •2.9.1.Метод больших штрафов
- •Алгоритм метода:
- •2.9.2. Двухэтапный метод
- •2.9.3.Двойственный симплекс-метод
- •Алгоритм метода:
- •2.13.1Двойственная задача линейного программирования
- •Примеры формулировок двойственных задач.
- •Основная теорема теории двойственности
- •Список литературы
- •Приложение 1. Блок-схема симплекс-метода
- •Приложение 2. Блок-схема метода больших штрафов
- •П Ввод матрицы условий риложение 3. Блок-схема двойственного симплекс-метода
2.3.1 Формы представления задач линейного программирования
Существуют 3 формы записи задач ЛП. Рассмотрим их на примере 2.1.7.
Стандартная форма записи
Все ограничения записаны в виде неравенств, все переменные неотрицательны.
f =
при ограничениях:
i=1,..,m
xj 0 j=1,..,n
Запишем задачу в векторно-матричном виде
A=
F=C, X max,
При ограничениях:
AX B (2.5)
X 0 (2.6)
где < , >- скалярное произведение векторов.
Каноническая форма записи
Все ограничения заданы в виде равенства, все переменные неотрицательны.
при ограничениях:
i=1,..,m
xj0 j=1,..,n
Все аналитические методы решения задач линейного программирования разработаны для канонической формы записи.
Общая форма записи
Часть ограничений задана в виде равенств, часть ограничений в виде неравенств, не все переменные будут неотрицательными, часть переменных неограниченна в знаке.
i=1,..,l
k=l+1,..,m
xz 0 z=1,..,d
где d<n
Из одной формы записи задач ЛП путем несложного преобразования можно перейти в любую другую.
Например: задана задача в стандартной форме
при ограничениях:
i=1,..,m
xj 0 j=1,..,n
Распишем ограничения:
a11x1+ a12x2+….+ a1nxn b1
a21x1+ a22x2+….+ a2nxn b2
am1x1+ am1x2+….+ amnxn bm
Введем дополнительные переменные такие, что:
xn+1=b1-
xn+2=b2-
…………………
xn+m=bm-
xn+i 0 i=1,…,m
В результате ограничения получим в виде равенств:
a11x1+ a12x2+…+ a1nxn+ xn+1=b1
a21x1+ a22x2+…+ a2nxn +xn+2=b2
…………………………………………………………….
am1x1+ am1x2+…+ amnxn +xn+m =bm
Создаем расширенную матрицу условий А:
a11 |
a12 |
|
a1n |
1 |
0 |
0 |
a21 |
a22 |
|
a2n |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
am1 |
am2 |
|
amn |
0 |
0 |
1 |
Получаем задачу в канонической форме
F0=<C, X> max
AX=B
X 0
Пусть вектор X*=( x1*, x2*,….,xn*, xn+1*,…,xn+m* ) является решением задачи максимизации целевой функции F0. Будем называть вектор Х* оптимальным планом.
Часть вектора X*=( x1*, x2*,….,xn* ) является решением задачи в стандартной форме, при этом значения задач совпадают (значения целевых функций равны)
max F0= max F
Рассмотрим преобразования, необходимые для перехода задачи из одной формы в другую.
Ограничение, заданное в виде равенства можно представить двумя ограничениями – неравенствами.
Н апример:
а11x1+а12x2+... +а1n xn=b1 эквивалентно а11x1+а12x2+... +а1n xn b1
а11x1+а12x2+... +а1n xn b1
Чтобы перейти к однотипным неравенствам достаточно умножить левые и правые части на минус единицу, при этом знак неравенства изменяется на противоположный.
Если переменная xz не ограничена в знаке, то ее можно заменить разностью 2-х положительных переменных
xz=u - v, где u 0; v 0
при этом только одна переменная будет отлична от 0.
Пусть задана задача минимизации функции:
f =
на множестве Д, заданном ограничениями (2.5), (2.6). Пусть X* - оптимальный план. Тогда из определения минимума функции должно выполняться неравенство
F(X*) F (X) (2.7)
для любых векторов X Д.
Умножим неравенство (2.7) на минус единицу.
-F(X*) - F(X) (2.8)
Условие (2.8) является условием максимума функции, т.е. задача минимизации функции сводится к задаче максимизации противоположной функции:
min F = max (-F) (2.9)
При этом оптимальный вектор X* один и тот же, а значения задач отличаются лишь знаком.