Алгоритм метода:

1) Используя модель в канонической форме, определяют начальное допустимое базисное решение, путем приравнивания к нулю n-m небазисных переменных, в качестве которых удобно выбирать управляемые переменнные.

2) По условию оптимальности из числа текущих небазисных переменных (равных нулю) выбирается включаемая в новый базис переменная, увеличение которой обеспечит наибольшее увеличение целевой функции. Если такой переменной нет, то вычисления прекращаются и текущее базисное решение объявляется оптимальным. Иначе переходим к пункту 3.

3) Из числа переменных текущего базиса (по условию допустимости) выбирается исключаемая переменная, которая должна будет принять нулевое значение (стать небазисной) при введении в состав новой базисной переменной.

4) Находится новое базисное решение, соответствующее новому составу базисных и небазисных переменных, по правилам 1 и 2, затем переход к пункту 2.

Рассмотрим алгоритм на примере: 2.7.1

перепишем целевую функцию в виде уравнения: f₀ – 3x_Е- 2x_I = 0

x _E + 2x_I + S₁= 6

2x_E + x_I + S₂= 8

-x_E + x_I + S₃ = 1

x_I + S₄= 2

Число переменных, которое должно быть равным нулю, равно:

n-m =6–4=2.

Это обеспечит единственность и допустимость получаемого решения.

Возьмем, например х_E = х_I = 0 это приведет к следующему базисному решению S₁ = 6, S₂ = 8, S₃  = 1, S₄ = 2 (этот начальный базис соответствует вершине O).

Величина f₀ в вершине О равна нулю, так как х_E и х_I = 0, то есть в качестве начального базиса выбраны остаточные переменные.

Полученные результаты можно представить в виде симплекс - таблицы. Симплекс - таблица интерпретируется следующим образом.

Таблица 15

№ итерации	базисн. перемен.	xE	xI	S1	S2	S3	S4	значение	отношение bi /ai
№=0 хЕ вводим, S2 исключ.	f0	-3	-2	0	0	0	0	0
	S1	1	2	1	0	0	0	6	6:1=6
	S2	2	1	0	1	0	0	8	8:2=4
	S3	-1	1	0	0	1	0	1	не рассчит.
	S4	0	1	0	0	0	1	2	не рассчит.

Второй столбец содержит базисные переменные, значения которых приведены в столбце “значение”. При этом подразумевается, что не базисные переменные х_E и х_I, которых нет в первом столбце равны нулю. (х_E=0 и х_I=0)

Значение целевой функции равно: f₀= 3x_E + 2x_I + 06 + 08 + 01 + 02 = 0 что и показано в столбце “значение”.

Как определить, является ли данное базисное решение оптимальным?

Анализируя первую строку f₀ – уравнения, видно, что обе не базисные переменные х_E и х_I имеют отрицательные коэффициенты. Это эквивалентно положительным коэффициентам в целевой функции. Так как мы решаем задачу максимизации, то значение f₀ может быть увеличено при увеличении как х_E, так и х_I.

Однако всегда выбирается переменная с большим абсолютным значением отрицательного коэффициента в f - уравнении, так как в этом случае оптимум достигается быстрее.

Условие оптимальности при поиске максимума f.

Если все не базисные переменные в f - уравнении имеют неотрицательные (положительные или равные 0) коэффициенты, то полученное решение является оптимальным. В противном случае, в качестве новой базисной переменной следует выбрать ту, которая имеет наибольший по абсолютной величине отрицательный коэффициент.

Условие оптимальности при поиске минимума f

Если все небазисные переменные в f - уравнении имеют неположительные коэффициенты, то полученное решение является оптимальным. В противном случае, в качестве новой базисной переменной следует выбрать переменную с наибольшим положительным коэффициентом в f – уравнении.

Применяя условие оптимальности к симплекс - таблице видим, что включаемой в базис переменной является х_Е (т.к. -3>-2). Исключаемая переменная должна быть выбрана из совокупности переменных S₁ , S₂ , S₃ , S₄.

Условие допустимости.

Столбец симплекс - таблицы определяющий вводимую в базис переменную называется ведущим столбцом.

В качестве исключаемой переменной выбирается та из переменных текущего базиса, которая первой обращается в нуль при увеличении включаемой переменной х_Е вплоть до значения, соответствующего смежной экстремальной вершине ОДР

mах f₀= 3x_Е+ 2x_I mах

Максимальное допустимое значение переменной х_E соответствует той из точек пересечения оси х_E с прямыми, представляющими ограничения модели, которая имеет наименьшую положительную координату.

Каждая из точек пересечения оси х_E с прямыми определяется отношением правой части уравнения - ограничения к соответствующему положительному коэффициенту при включаемой в базис переменной х_Е.

Если коэффициент при х_E имеет в ограничениях отрицательное или нулевое значение, то эта прямая не пересекается с осью х в области положительных значений, действительно:

х_E = =-1< 0 (вершина М вне ОДР); х_E = = 4 (вершина Е в ОДР);

х_E = = 6 (вершина N вне ОДР) (рис.16.)

Таким образом переменная х_E достигает максимально допустимого значения, равного 4, в точке Е. При этом переменная S₂ станет равной 0 и подлежит исключению из базиса. В столбце “отношение“ будем рассчитывать значение новой переменной, равное b_i/a_{i вед.столб}>0, где i – номер уравнения ограничения;

a_{i вед.столб} – коэффициент, стоящий в ведущем столбце i-го ограничения, причем отношение рассчитывается только для положительных коэффициентов а_{iвед.столб}.

Строку, соответствующую исключаемой переменной называют ведущей строкой.

Исключаемой переменной будет та переменная текущего базиса, для которой отношение b_i/a_{i вед.столб.} минимально:

min ( )=min (6;4)= 4.

Элемент таблицы, который стоит на пересечении ведущей строки и ведущего столбца называется ведущим элементом.

После определения ведущих строки, столбца и элемента поиск нового базисного решения осуществляется методом исключения переменных (методом Гаусса - Жордана). Этот метод состоит из вычислительных процедур двух типов.

1. Получение коэффициентов новой ведущей строки по правилу:

Термин "соответствующий коэффициент" следует понимать как коэффициент при той же переменной.

2. Формирование всех остальных строк симплекс - таблицы, включая и f – уравнение (кроме “новой” ведущей строки).

Выполнение процедуры 1 приводит к тому, что в новой ведущей строке ведущий элемент становится равный 1, а в столбце "значение" в симплекс-таблице будет стоять значение введенной в базис переменной (см. табл.16).

В результате процедуры 2 все остальные коэффициенты ведущего столбца становятся равные 0, что соответствует исключению введенной в базис переменной из f – уравнения и остальных ограничений.