- •Введение
- •1Особенности моделирования экономических процессов
- •1.2.1Сущность процесса моделирования
- •1.3.1Характерные особенности математического моделирования в экономике
- •1.4.1Классификация математических моделей
- •1.5.1Этапы исследования экономических процессов
- •2Линейные математические модели
- •2.2.1Примеры постановок задач линейного программирования
- •2.3.1 Формы представления задач линейного программирования
- •Стандартная форма записи
- •Каноническая форма записи
- •Общая форма записи
- •2.4.1 Геометрический метод решения задач линейного программирования
- •2.5.1Модифицированный геометрический метод
- •2.6.1 Геометрический метод решения задач линейного программирования со многими переменными
- •2.7.1 Виды оптимальных решений
- •2.8.1 Основы анализа модели на чувствительность
- •2.9.1 Симплексный метод решения задач линейного программирования
- •Алгоритм метода:
- •Ведущий столбец
- •Ведущая строка
- •2.10.1Особые случаи применения симплекс - метода
- •2.9.1.Вырожденность.
- •2.9.2.Зацикливание.
- •2.9.3.Альтернативные оптимальные решения
- •2.9.4. Неограниченные решения.
- •2.9.5. Отсутствие допустимых решений
- •2.11.1 Интерпретация симплекс-таблиц – анализ модели на чувствительность
- •Статус ресурсов
- •Ценность ресурсов
- •Максимальное изменение коэффициентов удельной прибыли (стоимости)
- •2.12.1 Искусственное начальное решение
- •2.9.1.Метод больших штрафов
- •Алгоритм метода:
- •2.9.2. Двухэтапный метод
- •2.9.3.Двойственный симплекс-метод
- •Алгоритм метода:
- •2.13.1Двойственная задача линейного программирования
- •Примеры формулировок двойственных задач.
- •Основная теорема теории двойственности
- •Список литературы
- •Приложение 1. Блок-схема симплекс-метода
- •Приложение 2. Блок-схема метода больших штрафов
- •П Ввод матрицы условий риложение 3. Блок-схема двойственного симплекс-метода
2.9.1.Метод больших штрафов
Для построения требуемой схемы вычислений можно применить следующий прием: наложить штраф за использование искусственных переменных, равный сумме искусственных переменных, умноженный на очень большое число М (М>>1).
При поиске минимума штраф прибавляется к целевой функции.
,
при поиске максимума f вычитается из нее
.
Алгоритм метода:
1) Добавить искусственные переменные Ri в ограничения вида “=” и “ ”. Из ограничений “ ” предварительно следует вычесть избыточную переменную.
2) Выразить Ri из соответствующего ограничения через небазисные переменные и подставить в штраф.
3) Решить задачу симплекс-методом. Если в оптимальной симплекс–таблице искусственные переменные остались в базисе и не равны нулю, то это означает, что исходная задача не имеет решения.
Пример 2. 11.1:
В стандартной форме |
В канонической форме |
f0= 4x1 + x2 min |
f0= 4x1 + x2 min |
при ограничениях |
При ограничениях |
3х1 + х2 = 3 (1) |
3 х1+ х2 = 3 |
4х1 + 3х 6 (2) |
4х1 + 3х2-x3= 6 |
х1 + 2х2 4 (3) |
х1 + 2х2+x4= 4 |
х1, х2 0 |
хi 0, i=1,2,...,4 |
В первом и втором уравнениях нет переменных, выполняющих роль остаточных. Поэтому введем в каждое из этих уравнений по одной искусственной переменной R1 и R2.
3х1 + х2+R1 = 3
4х1 + 3х2 - x3+R2 =6
За использование R1 и R2 в состав целевой функции можно ввести штраф, приписывая переменным R1 и R2 достаточно большой положительный коэффициент M (М>>1). При поиске mах f этот штраф, равный
,
где е – число искусственных переменных,
вычитается из целевой функции, а при поиске min f прибавляется к целевой функции.
f = 4x1 + x2 + MR1 + MR2 min
при ограничениях
3 х1 + х2+R1 = 3 R1=3 – 3x1 – x2
4х1 + 3х2 - x3+R2= 6 R2=6 – 4x1-3x2+x3
x1+2x2+x4= 4
x1, x2, x3, x4, R1, R20
n = 6, m = 3,
n - m = 3 - число небазисных переменных.
Небазисные переменные х1, х2, х3 равны нулю, тогда начальный базис R1 = 3; R2=6;, x4 = 4.
Так как мы имеем дело с задачей минимизации f, то в оптимальном решении переменные R1 и R2, обратятся в нуль. Заметим, что все промежуточные итерации, предшествующие получению минимума, с точки зрения окончательного результата, не имеют значения.
Далее следует выразить переменные R1 и R2 из (1) и (2) уравнений через небазисные переменные и подставить в целевую функцию. Получим следующее выражение для целевой функции.
f = 4x1+x2+M(3–3x1–x2)+M(6–4x1–3x2+x3)
f = (4-7M)x1+(1-4M)x2+Mx3+9M
В начальном базисе
fур (- 4 + 7M)x1 + (-1 + 4M)x2 – Mx3= 9M
результаты вычислений приведены в табл.38
Таблица 36
№ итер |
Ба-зис |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
R1 |
R2 |
Знач |
Отнош |
Формула |
№=0 х1 вв, R1 искл |
fур |
-4+7M |
-1+1M |
-M |
0 |
0 |
0 |
9M |
|
|
R1 |
3 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
3 |
3:3=1 |
|
|
R2 |
4 |
3 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
6 |
6:4=1,5 |
|
|
x4 |
1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
4 |
4:1=4 |
|
|
№=1 х2 вв, R2 искл. |
fур |
0 |
|
-M |
0 |
|
0 |
2M+4 |
|
fур=fур+(4-M)х1 |
х1 |
1 |
1/3 |
0 |
0 |
1/3 |
0 |
1 |
1: 1/3=3 |
х1=R1:3 |
|
R2 |
0 |
5/3 |
-1 |
0 |
-4/3 |
1 |
2 |
2: =1,2 |
R2=R2-4х1 |
|
х4 |
0 |
5/3 |
0 |
1 |
-1/3 |
0 |
3 |
3: =1,8 |
х4=х4-х1 |
|
№=2 х3 вв., х4 искл |
fур |
0 |
0 |
1/5 |
0 |
-M+8/5 |
- -M |
18/5 |
|
fур=fур-(5M+ )х2 |
х1 |
1 |
0 |
1/5 |
0 |
3/5 |
-1/5 |
3/5 |
|
х1=х1-1/3х2 |
|
х2 |
0 |
1 |
-3/5 |
0 |
-4/5 |
3/5 |
6/5 |
|
х2=R2:5/3 |
|
х4 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
-1 |
1 |
|
х4=х4- х2 |
|
№=3 оптимум |
fур |
0 |
0 |
0 |
-1/5 |
-M+7/5 |
-M |
17/5 |
|
fур= fур -1/5х3 |
х1 |
1 |
0 |
0 |
-1/5 |
2/5 |
0 |
2/5 |
|
х1=х1-1/5х3 |
|
х2 |
0 |
1 |
0 |
3/5 |
-1/5 |
0 |
9/5 |
|
х2=х2+3/5х3 |
|
х3 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
-1 |
1 |
|
х3=х4 |
Оптимальное решение:
х1*= 2/5; х2*= 9/5; х3*= 1;
min f0*= 17/5 (R1*, R2*, X4* = 0), т.е. Х*(2/5; 9/5; 1; 0)
Так как в оптимальном решении отсутствуют искусственные переменные (они равны нулю), то данное решение является допустимым.
Если задача не имеет допустимого решения, то в полученном оптимальном решении, по крайней мере, одна искусственная переменная останется в базисе и будет отлична от нуля.