Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Часть1_Линейное программирование1.doc
Скачиваний:
18
Добавлен:
03.09.2019
Размер:
2.9 Mб
Скачать

2.9.1.Метод больших штрафов

Для построения требуемой схемы вычислений можно применить следующий прием: наложить штраф за использование искусственных переменных, равный сумме искусственных переменных, умноженный на очень большое число М (М>>1).

При поиске минимума штраф прибавляется к целевой функции.

,

при поиске максимума f вычитается из нее

.

Алгоритм метода:

1) Добавить искусственные переменные Ri в ограничения вида “=” и “ ”. Из ограничений “ ” предварительно следует вычесть избыточную переменную.

2) Выразить Ri из соответствующего ограничения через небазисные переменные и подставить в штраф.

3) Решить задачу симплекс-методом. Если в оптимальной симплекс–таблице искусственные переменные остались в базисе и не равны нулю, то это означает, что исходная задача не имеет решения.

Пример 2. 11.1:

В стандартной форме

В канонической форме

f0= 4x1 + x2 min

f0= 4x1 + x2 min

при ограничениях

При ограничениях

1 + х2 = 3 (1)

3 х1+ х2 = 3

1 + 3х 6 (2)

1 + 3х2-x3= 6

х1 + 2х2 4 (3)

х1 + 2х2+x4= 4

х1, х2 0

хi 0, i=1,2,...,4

В первом и втором уравнениях нет переменных, выполняющих роль остаточных. Поэтому введем в каждое из этих уравнений по одной искусственной переменной R1 и R2.

3х1 + х2+R1 = 3

4х1 + 3х2 - x3+R2 =6

За использование R1 и R2 в состав целевой функции можно ввести штраф, приписывая переменным R1 и R2 достаточно большой положительный коэффициент M (М>>1). При поиске mах f этот штраф, равный

,

где е – число искусственных переменных,

вычитается из целевой функции, а при поиске min f прибавляется к целевой функции.

f = 4x1 + x2 + MR1 + MR2 min

при ограничениях

3 х1 + х2+R1 = 3 R1=3 – 3x1 – x2

4х1 + 3х2 - x3+R2= 6 R2=6 – 4x1-3x2+x3

x1+2x2+x4= 4

x1, x2, x3, x4, R1, R20

n = 6, m = 3,

n - m = 3 - число небазисных переменных.

Небазисные переменные х1, х2, х3 равны нулю, тогда начальный базис R1 = 3; R2=6;, x4 = 4.

Так как мы имеем дело с задачей минимизации f, то в оптимальном решении переменные R1 и R2, обратятся в нуль. Заметим, что все промежуточные итерации, предшествующие получению минимума, с точки зрения окончательного результата, не имеют значения.

Далее следует выразить переменные R1 и R2 из (1) и (2) уравнений через небазисные переменные и подставить в целевую функцию. Получим следующее выражение для целевой функции.

f = 4x1+x2+M(3–3x1x2)+M(6–4x1–3x2+x3)

f = (4-7M)x1+(1-4M)x2+Mx3+9M

В начальном базисе

fур (- 4 + 7M)x1 + (-1 + 4M)x2 – Mx3= 9M

результаты вычислений приведены в табл.38

Таблица 36

№ итер

Ба-зис

х1

х2

х3

х4

R1

R2

Знач

Отнош

Формула

№=0

х1 вв,

R1 искл

fур

-4+7M

-1+1M

-M

0

0

0

9M

R1

3

1

0

0

1

0

3

3:3=1

R2

4

3

-1

0

0

1

6

6:4=1,5

x4

1

2

0

1

0

0

4

4:1=4

№=1

х2 вв, R2 искл.

fур

0

-M

0

0

2M+4

fур=fур+(4-M)х1

х1

1

1/3

0

0

1/3

0

1

1: 1/3=3

х1=R1:3

R2

0

5/3

-1

0

-4/3

1

2

2: =1,2

R2=R2-4х1

х4

0

5/3

0

1

-1/3

0

3

3: =1,8

х441

№=2

х3 вв., х4 искл

fур

0

0

1/5

0

-M+8/5

- -M

18/5

fур=fур-(5M+2

х1

1

0

1/5

0

3/5

-1/5

3/5

х11-1/3х2

х2

0

1

-3/5

0

-4/5

3/5

6/5

х2=R2:5/3

х4

0

0

1

1

1

-1

1

х44- х2

№=3

оптимум

fур

0

0

0

-1/5

-M+7/5

-M

17/5

fур= fур -1/5х3

х1

1

0

0

-1/5

2/5

0

2/5

х11-1/5х3

х2

0

1

0

3/5

-1/5

0

9/5

х22+3/5х3

х3

0

0

1

1

1

-1

1

х34

Оптимальное решение:

х1*= 2/5; х2*= 9/5; х3*= 1;

min f0*= 17/5 (R1*, R2*, X4* = 0), т.е. Х*(2/5; 9/5; 1; 0)

Так как в оптимальном решении отсутствуют искусственные переменные (они равны нулю), то данное решение является допустимым.

Если задача не имеет допустимого решения, то в полученном оптимальном решении, по крайней мере, одна искусственная переменная останется в базисе и будет отлична от нуля.