Теоремы Объединения [Uniformization]
Вы видели способ преобразования многочлена в параметрической форме в многочлен p(x, y) = 0 в предыдущем примере. Рациональные формы также можно преобразовывать в многочлены. Загвоздка в устранении параметра u из всех параметрических уравнений. Это сложно, но, как говорится, можно. Фактически, с помощью теории исключения, можно преобразовать полиномиальную или рациональную параметрическую форму в многочлен с двумя переменными. Это называется приведением к явному виду [implicitization].
Вопрос: если кривая задана в форме многочлена явно, можно ли найти параметрическую форму, полиномиальную или рациональную, чтобы она описывала ту же самую кривую? К сожалению, нет. То есть, существуют кривые, не имеющие параметрического рационального представления или в виде многочлена (напр., эллиптическая кривая y2 = x3 + ax + c). Это результат теорем объединения.
По этой причине с помощью явных многочленов можно описать больше разных кривых, чем с помощью полиномиальной и рациональной параметрической форм. Почему бы не использовать явные многочлены направо и налево? Дело вот в чем. Параметрические кривые использовать легко. И хоть явные многочлены являются мощным средством, с помощью которого можно описать разные кривые, многие их важные свойства трудно рассчитывать и, вообще, явные многочлены - это тяжело. Поговорим об этом позже.
Спрашивается: зачем нам нужны новые виды параметрических кривых? Наверное, ответ в том, что те кривые, что мы рассматривали в прошлых темах, не очень-то и геометрические. Точнее говоря, по алгебраической записи не скажешь, как будет выглядеть кривая, пока не проанализируешь ее. Коэффициенты не имеют геометрического значения, так что непонятно, как изменится форма кривой, если изменить какие-то коэффициенты. И в итоге разработать вид кривой так, чтобы ее форма соответствовала запросам, очень сложно.
На практике проектировщикам и пользователям вообще фиолетово, что там за математика (и уравнения) у этой кривой. Их больше заботит, сделана ли их работа. Поэтому система, предоставляющая пользователям возможность проектирования кривых должна быть
Интуитивной: В общем, понятной для обезьян и студентов.
Гибкой: Чтобы можно было выполнять больше разных операций над объектами.
Единые Методы: То есть, принципы создания и редактирования разных объектов должны быть едиными.
Инвариантность: Кривая не должна изменять своей геометрии при таких преобразованиях, как перенос, поворот и проецирование.
Эффективность и Численная Устойчивость: Пользователю системы разработки кривых может быть пофигу, что там за геометрия; ему надо, чтобы система выдала нужную ему кривую быстро и точно. А также, большое количество вычислений не должно "исказить" форму кривой (это и есть численная устойчивость).
В этом разделе мы обсудим некоторые техники разработки кривых, соответствующие вышеизложенным критериям. Обсудим кривые Безье, рациональные кривые Безье, кривые B-spline и NURBS. Тема дает следующие возможности:
Пользователь задает набор контрольных точек для системы, чтобы для начала получить кривую, хотя бы более или менее следующей по направлению этого набора точек.
Пользователь может изменять положения некоторых контрольных точек и некоторые другие параметры, чтобы изменить вид кривой.
Если необходимо, пользователь может добавлять какую-то информацию без изменения формы кривой. Таким образом, он получает больше возможностей, так как добавление контрольных точек и другой информации увеличивает количество степеней свободы кривой.
Пользователь также может разрывать кривую на две части для более тщательного редактирования, а затем снова соединять их вместе.
Есть геометрические, интуитивные и численно стойкие алгоритмы для нахождения точек на кривой без знания ее уравнения.
Зная кривые, перейти к поверхностям будет несложно.
И кривые Безье, и B-spline - полиномиальные параметрические кривые Как уже обсуждалось, такие кривые не могут быть использованы для представления некоторых простых кривых, например, окружностей. При введении [homogeneous] координат, делающих их рациональными, кривые Безье и B-spline обобщаются до рациональных кривых Безье и неравномерных рациональных B-сплайнов (Non-Uniform Rational B-splines), сокращенно NURBS. Очевидно, что рациональные кривые Безье более сильные, чем просто кривые Безье, так как с помощью рациональных можно также представлять и окружности и эллипсы. Аналогично, NURBS сильнее B-сплайнов. Вот соотношение между этими четырьмя типами представления кривых.
