Изопараметрические Кривые
Так как параметрическая поверхность описывается как
f(u,v) = ( x(u,v), y(u,v), z(u,v) )
Изопараметрическая кривая для u, фиксированного в a - это кривая, определяемая как f(a,v). Заметьте, у этой функции только одна переменная v и поэтому она представляет кривую в направлении v. Аналогично, изопараметрическая кривая в направлении u для фиксированного v = b - это f(u,b).
Изопараметрические кривые на поверхности Безье, да и вообще на любой [tensor] поверхности, имеют очень простую структуру. В уравнении поверхности Безье базисная функция Bm,i(u) зависит только от индекса i и может быть исключена из суммирования по j. Таким образом, уравнение приобретает следующий вид:
Выражение в скобках включает в себя базисные функции Bn,j(u) и контр. точки pi,j. Заметьте, базисные функции не зависят от i, а контр. точки - зависят. Таким образом, мы можем определить новую функцию qi(v), отражающую этот факт:
Ясно, что каждое qi(v) - это кривая Безье, описываемая контр. точками pi0, pi1, ..., pin (т.e., i-м рядом контр. точек). В результате имеем m+1 новых точек q0(v), q1(v), ..., qm(v). Так как v фиксировано и может считаться константой, точки q0(v), q1(v), ..., qm(v) не изменят положения при изменении u. Следовательно, уравнение поверхности становится
Так как v фиксировано, то p(u,v) получается параметрическим уравнением с одной переменной - u - и поэтому описывает кривую на поверхности. Это кривая Безье от u, описываемая m+1 контр. точками q0(v), q1(v), ..., qm(v). .
Таким образом, заключаем, что любая изопараметрическая кривая с фиксированным v - это кривая Безье, описываемая набором контр. точек, который можно вычислить из уравнения поверхности. Обменяв ролями u и v, получим к тому же заключению для направления v. Далее изображен рисунок, иллюстрирующий изопараметрические кривые на поверхности Безье в обоих направлениях.
Граничные [Boundary] Кривые
Существует четыре особых вида изопараметрических кривых: p(0,v), p(1,v), p(u,0) и p(u,1). Это граничные кривые, так как они проецируют границу квадратной области (т.e. области определения поверхности) на поверхность. Устанавливая u равным 0 и 1, и v равным 0 и 1, получим следующие уравнения граничных кривых:
Таким образом, граничная кривая, сответствующая u = 0 и u = 1 - это кривые Безье, описываемые 0-м и m-м рядом данных контр. точек. Аналогично, граничная кривая, соответствующая v = 0 и v = 1 - это кривые Безье, описываемые контр. точками 0-го и n-го столбцов.
Направление u и направление V
Мы знаем, что все контрольные точки выстроены в m+1 рядов и n+1 столбцов. Какое соотношение между рядами и столбцами и направлениями u и v? Вспомним, что направление v - это кривая с фиксированным u. В этом случае уравнение можно переписать в следующем виде:
Таким образом, при изменении v, выражение в скобках определяет кривую Безье с контр. точками pi,0, pi,1, ..., pi,n. Это те точки, что находятся на i-м ряду. Таким образом, кривая в направлении v расположена горизонтально и, аналогично, кривая в направлении u расположена вертикально. К примеру, граничные кривые p(0,v) и p(1,v) - это кривые в направлении v и описываются соответственно 0-м и n-м рядами, а граничные кривые p(u,0) и p(u,1) - в направлении u и поэтому описываются 0-м и m-м столбцами.