Базисные Функции b-spline: Определение

Базисные функции Безье использовались в качестве весов. Базисные функции B-spline будут использоваться так же; тем не менее, они гораздо более сложны. Есть два интересных свойства, которые не являются частью базисных функций Безье, а именно: (1) интервал разделяется узлами, и (2) базисные функции не являются ненулевыми на всем интервале. Фактически, каждая базисная функция B-spline является ненулевой на нескольких смежных под-интервалах и, в итоге, базисные функции B-spline являются вполне "локальными".

Пусть U - это последовательность m + 1 неубывающих действительных чисел, u₀ <= u₂ <= u₃ <= ... <= u_m. Числа u_i называются узлами, последовательность U - узловым вектором, а полуоткрытый интервал [u_i, u_i+1) - i-м узловым диапазоном. Заметьте, так как некоторые u_i могут быть равны, то соответствующих узловых диапазонов может не существовать. Если узел u_i появляется k раз (i.e., u_i = u_i+1 = ... = u_i+k-1), где k > 1, u_i называется множественным узлом k-й множественности, пишется u_i(k). Иначе, если u_i появляется лишь однажды, это - простой узел. Если узлы равномерно разделены (т.e. u_i+1 - u_i постоянно для 0 <= i <= m - 1), узловой вектор или последовательность узлов называется однородной(-ым); иначе, неоднородной.

Узлы можно представить как точки, делящие интервал [u₀, u_m] на узловые интервалы. Все базисные функции B-spline должны иметь область определения на [u₀, u_m]. Таким образом, используем u₀ = 0 и u_m = 1, чтобы преобразовать интервал в [0,1].

Чтобы описать базисные функции B-spline, нужен еще один параметр, степень этих базисных функций, p. i-я базисная функция B-spline степени p (пишется N_i,p(u) ), описывается рекурсивно:

Вышеуказанное уравнение обычно называют рекурсивной формулой Cox - de Boor. Это определение выглядит сложным. Но оно просто для понимания. Если степень равна нулю (т.e., p = 0), эти базисные функции являются скачковыми и это как раз то, о чем говорит первое выражение в формуле. То есть, базисная функция N_i,0(u) равна 1, если u лежит на i-м узловом интервале [u_i, u_i+1). Например, если есть четыре узла u₀ = 0, u₁ = 1, u₂ = 2 и u₃ = 3, узловые интервалы 0, 1 и 2 - это [0,1), [1,2), [2,3) и базисные функции 0 степени - это N_0,0(u) = 1 на [0,1) и 0 в других случаях, N_1,0(u) = 1 на [1,2) и 0 в других случаях, и N_2,0(u) = 1 на [2,3) и 0 в других случаях. Это показано ниже:

Чтобы понять принцип расчета N_i,p(u) для p больше 0, вернемся к треуголной схеме расчета. Все узловые интервалы - в левом (первом) столбце, а все базисные функции нулевой степени - во втором. Это показано на следующей диаграмме.

Чтобы вычислить N_i,1(u), нужно N_i,0(u) и N_i+1,0(u). Таким образом, мы можем вычислить N_0,1(u), N_1,1(u), N_2,1(u), N_3,1(u) и так далее. Все эти N_i,1(u) записываются в третий столбец. Когда будут найдены N_i,1(u), можно будет вычислить N_i,2(u) и записать их в четвертый столбец. Продолжаем в том же духе, пока не вычислим все нужные N_i,p(u).

Выше мы нашли N_0,0(u), N_1,0(u) и N_2,0(u) для узлового вектора U = { 0, 1, 2, 3 }. Давайте вычислим N_0,1(u) и N_1,1(u). Чтобы вычислить N_0,1(u), так как i = 0 и p = 1, по определению имеем

N_0,1(u) = (u - u₀) / (u₁ - u₀ ) N_0,0(u) + (u₂ - u) / (u₂ - u₁ ) N_1,0(u)

Так как u₀ = 0, u₁ = 1 и u₂ = 2, вышеизложенное преобразуется к виду

N_0,1(u) = u N_0,0(u) + (2 - u) N_1,0(u)

Так как N_0,0(u) не равно нулю на [0,1), а N_1,0(u) не равно нулю на [1,2), когда u лежит на [0,1) (соотв., на [1,2) ), только N_0,0(u) (соотв., N_1,0(u) ) влияет на [? contributes to] N_0,1(u). Таким образом, когда u в пределах [0,1), N_0,1(u) равно uN_0,0(u) = u, а когда u в пределах [1,2), N_0,1(u) равно (2 - u)N_1,0(u) = (2 - u). Простые вычисления дают N_1,1(u) = u - 1, если u лежит на [1,2), а N_1,1(u) = 3 - u, если u лежит на [2,3). На следующем рисунке черные и красные линии - это соответственно N_0,1(u) и N_1,1(u). Заметьте, что N_0,1(u) (соотв., N_1,1(u)) не равно нулю на [0,1) и [1,2) (соотв., на [1,2) и [2,3)).

Как только будут найдены N_0,1(u) и N_1,1(u), можно вычислить N_0,2(u). Из определения следует:

N_0,2(u) = (u - u₀) / (u₂ - u₀ ) N_0,1(u) + (u₃ - u) / (u₃ - u₁ ) N_1,1(u)

Подставляя эти значения узлов, имеем

N_0,2(u) = 0.5u N_0,1(u) + 0.5 (3 - u) N_1,1(u)

Заметьте, что N_0,1(u) не равно нулю на [0,1) и [1,2), а N_1,1(u) не равно нулю на [1,2) и [2,3). Таким образом, имеем три случая:

1. u в пределах [0,1): В этом случае, только N_0,1(u) влияет на значение N_0,2(u). Так как N_0,1(u) равно [is] u, имеем

N_0,2(u) = 0.5u².

2. u в пределах [1,2): В этом случае, и N_0,1(u), и N_1,1(u) влияют на N_0,2(u). Так как на [1,2), N_0,1(u) = 2 - u и N_1,1(u) = u - 1, имеем

N_0,2(u) = (0.5u)(2 - u) + 0.5(3 - u)(3 - u) = 0.5(-3 + 6u - 2u²)

3. u в пределах [2,3): В этом случае, только N_1,1(u) влияет на N_0,2(u). Так как N_1,1(u) = 3 - u на [2,3), имеем

N_0,2(u) = 0.5(3 - u)(3 - u) = 0.5(3 - u)²

Если нарисовать отрезок кривой для каждого из трех случаев, то станет видно, что два смежных отрезка кривых соединяются, образуя кривую по узлам. Говоря точнее, отрезки первого и второго случаев соединяются при u = 1, а второго и третьего случаев - при u = 2. Это показано на рисунке ниже. Заметьте, что образованная кривая, изображенная на рисунке, является гладкой. Но в общем случае это не так, если, например, мы имеем дело с множественными узлами.