Глобальная Интерполяция Кривых

Простейший способ получения кривой B-spline, проходящей по исходным точкам, - это метод глобальной интерполяции. Почему интерполяция "глобальная", станет ясно позже на этой странице.

Пусть есть n+1 исходных точек d₀, d₁, ..., d_n и нужно по ним провести кривую B-spline степени p, где p <= n - это входные данные. С помощью метода, обсужденного в Выборе Параметров и Получении Узлового Вектора, можно выбрать набор значений параметров t₀, t₁, ..., t_n. Заметьте, что количество параметров равно количеству исходных точек, потому что параметр t_k соответствует исходной точке d_k. Из этих параметров вычисляется узловой вектор из m + 1 узлов, где m = n + p + 1. Таким образом, у нас есть узловой вектор и степень, и единственная недостающая деталь - это набор из n+1 контр. точек! Глобальная интерполяция - это простой способ нахождения этих контр. точек.

Нахождение Решения

Пусть желаемая интерполированная кривая B-spline степени p следующая:

Эта кривая B-spline имеет n + 1 неизвестных контр. точек. Так как параметр t_k соответствует исходной точке d_k, то, подставляя t_k в вышеуказанное уравнение, получим следующее:

Так как в вышеуказанном уравнении n + 1 базисных функций B-spline (т.e. N_0,p(u), N_1,p(u), N_2,p(u), ... и N_n,p(u), и n + 1 параметр (т.e. t₀, t₁, t₂, ... и t_n), то , подставив эти t_k в N_i,p(u) получим (n+1)² значений. Эти значения можно записать в виде матрицы N размера (n+1)×(n+1), в которой k-й ряд содержит значения N_0,p(u), N_1,p(u), N_2,p(u), ... и N_i,p(u) для t_k, как показано ниже:

Давайте также соберем векторы d_k и p_i в дае матрицы D и P следующим образом:

Здесь будем считать, что исходная точка d_k является вектором в s-мерном пространстве (т.e. d_k = [ d_k1, ... , d_ks]) и стоит в k-м ряду матрицы D. Аналогично, считаем p_i вектором в s-мерном пространстве (т.e. p_i = [ p_i1, ... , p_is]) и что она находится в i-м ряду матрицы P. Заметьте, что в трехмерном пространстве s = 3, а на плоскости s = 2. Также заметьте, что матрицы D и P - обе размера (n+1)×s. Затем, нетрудно проверить, что соотношение между значениями d_k и t_i преобразуется к такому более простому виду:

Так как матрица D содержит исходные точки и матрица N получены вычислением базисных функций B-spline по данным параметрам, то D и N - обе известны, а неизвестно только P. Так как это просто система линейных уравнений с неизвестным P, то, решая относительно P, получим контр. точки и желаемая интерполированная кривая B-spline станет доступной. Таким образом, задача интерполяции кривой решена!

Алгоритм

Матрицы D и P - не являются матрицами-столбцами, но это не большая проблема. Можно решать систему по столбцам. Говоря точнее, пусть i-й столбец D и i-й столбец P будут dⁱ и pⁱ, соответственно. Из вышеуказанной системы линейных уравнений, получаем следующее:

Затем, решая относит. pⁱ из N и dⁱ даст i-й столбец P. Проделываем это для каждого i в пределах от 0 до h, и получим в итоге P. Таким образом, все контр. точки найдены. Как вы, наверное, заметили, это очень неэффективно. К счастью, многие вычислительные библиотеки имеют процедуры решения систем линейных уравнений, которые подходят для эффективного решения уравнения D = N^.P. Получается, провести кривую B-spline по n+1 точкам не так уж сложно. Оно сводится к решению системы линейных уравнений. Следующий алгоритм объединяет все сказанное:

Вход: n+1 исходных точек d₀, ..... d_n и степень p Выход: Кривая B-spline степени p, содержащая все эти исходные точки в данном порядке. Алгоритм:

Выбираем метод для нахождения набора из n+1 параметров t₀, ..., t_n; Заодно получим и узловой вектор U; for i := 0 to n do

for j := 0 to n do

Вычисляем [Evaluate] N_j,p(t_i) и ставим в ряд i и столбец j матрицы N;

/* матрица N найдена */ for i := 0 to n do

Помещаем исходную точку d_i в ряд i матрицы D;

/* матрица D построена */ Решаем систему уравнений и находим P из D = N^.P Ряд i матрицы P - это контр. точка p_i; Контр. точки p₀, ..., p_n, узловой вектор U и степень p определяют интерполированную кривую B-spline;

Ниже, на рисунке (а), показан пример. Здесь 9 исходных точек, показаны черным. Найденные контр. точки показаны синим. Маленькие красные точки на интерполированной кривой - это точки, соответствующие узлам, вычисленным по методу длины хорды. В этом случае, эти "узловые точки" находятся довольно близко к исходным точкам и контр. ломаная также проходит близко к исходной, хоть и не всегда. Например, на рисунке (b), исходная и контрольная ломаные очень отличаются.

(a)	(b)

Важно отметить, что матрица N целиком положительна и окружена полосой с половиной ширины меньше [banded with a semi-bandwidth less than] p (т.e. N_i,p(t_k) = 0, если |i - k| >= p), если узлы вычисляются по среднему значению от p последовательных параметров. Это было доказано de Boor в 1978 г. Подробности в Получении Узлового Вектора. Это значит, что система линейных уравнений, полученная по вышеизложенному алгоритму, может быть решена методом исключения Гаусса без вращения [центрирования ? pivoting].