Кривые b-spline: Перемещение Контрольных Точек

Перемещение контрольных точек - самый очевидный способ изменения формы кривой B-spline. Схема локального изменения, обсуждавшаяся ранее, говорит о том, что изменение позиции контр. точки p_i влияет на кривую p(u) только на промежутке [u_i, u_i+p+1), где p - это степень кривой B-spline. Фактически, измененние формы является переместительным в направлении смещенной контр. точки. Говоря точнее, если контр. точка p_i сместилась в каком-то направлении а новое положение q_i, то точка p(u), где u лежит на [u_i, u_i+p+1), сместится в том же направлении от p_i до q_i. Тем не менее, расстояние смещения различается среди разных точек. На следующих рисунках, контр. точка p₄ перемещается из положения на первом рисунке в новое положение, показанное на среднем рисунке, и затем в конечное положение (правый рисунок). Как видите, точки, соответствующие узлам (помечены тпеугольниками), перемещаются в том же направлении.

Давайте присмотримся детальнее. Допустим, p(u) - это данная кривая B-spline степени p, определяемая как

Пусть контр. точка p_i перемещается в новое положение p_i + v. Тогда новая кривая B-spline степени p имеет вид:

Таким образом, новая кривая C(u) - это просто сумма исходной кривой p(u) и вектора переноса N_i,p(u)v. Так как N_i,p(u) не равно нулю на интервале [u_i,u_i+p+1), то, если u не на этом интервале, то член выражения, отвечающий за перенос, равняется нулю и не влияет на форму кривой. Таким образом, для кривых B-spline, перемещение контр. точки влияет только на форму одной секции. Изображенная ниже кривая слева - это кривая B-spline 4 степени (т.e. p = 4), построенная по 13 контр. точкам (т.e. n = 12) и 18 узлам (т.e. m = 17). Эти 18 узлов являются простыми и описывают фиксированную кривую (т.e., u₀ = u₁ = u₂ = u₃ = u₄ = 0 и u₁₃ = u₁₄ = u₁₅ = u₁₆ = u₁₇ = 1). Остальные узлы образуют 9 узловых интервалов, и, следовательно, 9 отрезков кривой, как показано на рисунке. Эти девять узловых интервалов и отрезков кривой обозначены так:

Интервал	[u4,u5)	[u5,u6)	[u6,u7)	[u7,u8)	[u8,u9)	[u9,u10)	[u10,u11)	[u11,u12)	[u12,u13)
Отрезок	1	2	3	4	5	6	7	8	9

Теперь давайте переместим p₆. Результат показан на рисунке справа. Как видите, кривая сместилась в том же направлении, что и контр. точка p₆. Коэффициент при p₆ - это N_6,4(u), а это не равно нулю на [u₆, u₁₁). Таким образом, перемещение p₆ влияет на отрезки кривой 3, 4, 5, 6 и 7. Отрезки 1, 2, 8 и 9 остаются неизменными.

Некоторые Полезные Следствия Свойства Сильного Ограничивающего Многоугольника

Вспомним из свойства сильного ограничивающего многоугольника, что, если u лежит на [u_i,u_i+1), то p(u) лежит в ограничивающем многоугольнике, описываемом контр. точками p_i, p_i-1, ..., p_i-p+1, p_i-p. Это поможет нам решить следующие задачи в проектировании кривых:

1. Сделаем криволинейный отрезок отрезком прямой: пусть p+1 контр. точек будут коллинеарными Если u лежит на узлово интервале [u_i,u_i+1), то p(u) лежит внутри ограничивающего многоугольника для p+1 контрольных точек p_i, p_i-1, ..., p_i-p+1, p_i-p. Так как это верно для всех u на этом интервале, то отрезок кривой, находящийся на этом узловом интервале, лежит целиком в этом оганичивающем многоугольнике. Все эти p+1 контрольных точек являются коллинеарными (т.e. лежат на одной прямой), ограничивающий многоугольник вырождается в отрезок прямой, то же самое. происходит и с содержащимся в нем отрезком кривой. В итоге, отрезок кривой на узловом интервале [u_i,u_i+1) становится отрезком прямой. Заметьте, что в этом случае отрезком прямой становится только этот отрезок кривой. Остальные отрезки остаются криволинейными.

А вот вам и пример. На рисунках изображены кривые, для которых n = 15 (т.e. 16 контр. точек), p = 3 (степень равна 3), а m = 19 (т.e. 20 узлов). Заметьте, что первые четыре и последние четыре фиксированы. На рисунке слева в верхнем ряду исходная кривая. Давайте-ка сделаем p₉, p₈, p₇ и p₆ колинеарными. Таким образом, отрезок кривой [u₉,u₁₀) лежит внутри огр. многоугольника точек p₉, p₈, p₇ и p₆. Так как этот многоугольник является отрезком прямой, то криволинейный отрезок также становится линейным. Но надо помнить, что первые четыре узла фиксированы и поэтому первых трех узловых интервалов нет. Так как [u₉,u₁₀) - это седмой узловой интервал, седьмой сегмент вырождается в отрезок прямой p₇p₈. Это показано на втором, третьем и четвертом рисунках.

Но почему вырождается только отрезок кривой на [u₉,u₁₀) ? Взгляните на второй рисунок. Темная область - это огранич. многоугольник прямо перед вхождением u в [u₉,u₁₀). Этот огранич. многоугольник образуется точками p₈, p₇, p₆ и p₅, и еще не является отрезком прямой. Как только u входит в [u₉,u₁₀), отрезок кривой вырождается (третий рисунок). Сразу после того, как u выходит из [u₉,u₁₀), появляется новый огранич. многоугольник (четвертый рисунок).

На пятом рисунке p₅ коллинеарна со следующими за ней четырьмя точками. На этой кривой еще один линейный отрезок. На шестом рисунке p₁₀ коллинеарна с предшествующими ей пятью точками; тем не менее, она перемещена в положение между p₈ и p₉. Это должно сделать часть соответствующего отрезка кривой линейным (почему?)

2. Сделаем так, чтобы кривая B-spline проходила через контрольную точку: пусть p смежных контрольных точек будут одинаковыми Возьмем контр. точку p_i. Так как отрезок кривой на узловом интервале [u_i, u_i+1) лежит целиком внутри огранич. многоугольника точек p_i, ..., p_i-p+1,p_i-p, то, если сделать первые p контр. точек одинаковыми (т.e. p_i = p_i-1 = ... = p_i-p+1), то огр. многоугольник сожмется до отрезка прямой p_i-pp_i, а кривая должна будет пройти через точку p_i.

Степень кривой на левом рисунке равна 3. Если p₅ переместить и сделать одинаковой с p₆, кривая сместится ближе к p₆, но все же не пройдет через нее. Это показано на среднем рисунке. Заметьте, что количество отрезков кривой от этого перемещения не изменяется; тем не менее, маленькая треугольная отметка рядом с p₅ двигается ближе кp₆.

Если p₄ сместить и сделать одинаковой с p₆ = p₅, кривая пройдет через p₆, а точка, соответствующая узлу, станет идентичной контрольной точке p₄ из-за этого перемещения.

3. Сделаем кривую B-spline касательной сегменту контрольной ломаной: пусть p_i-p, p_i-p+1 = p_i-p+2 = .... = p_i-1 = p_i и p_i+1 будут коллинеарны Здесь p контр. точек делаются одинаковыми. В этой контрольной точке непрерывность C⁰, потому что кривая имеет точку перегиба (или пересечения? блин) (смотри правый рисунок). Тем не менее, когда все узлы простые, кривая является C^p-1-непрерывной в узлах и бесконечно дифференцируемой в остальных местах, поэтому она является C^p-1-непрерывной в контрольнйо точке p_i (сжатая контр. точка, перенумерованная в i) на сегменте p_i-pp_i, а также C^p-1-непрерывной в контрольной точке p_i на сегменте p_ip_i+1. Таким образом, если сделать контр. точки p_i-p, p_i и p_i+1 колинеарными, то из-за того, что два смежных отрезка кривой не имеют точки перегиба в узле, они будут C^p-1-непрерывными в p_i.

На рисунках выше - кривые 2 степени. Если сделать контр. точки 2, 3, 4 и 5 колинеарными, а 3 и 4 совместить, получим правый рисунок. Колинеарность делает отрезок кривой лежащим на прямой, а совмещенные контр. точки дают C^3-1 = C²-непрерывность.