Рациональные Кривые

Параметрическое представление с помощью полиномов просто недостаточно, потому что во многих случаях (например, окружности, эллипсы и гиперболы) невозможно представить кривую в таком виде. Один из способов решения проблемы - использование [homogeneous] координат. Например, кривая в пространстве (соотв., на плоскости) представляется четырьмя (соотв., тремя) функциями, а не тремя:

Кривая в пространстве: F(u) = ( x(u), y(u), z(u), w(u) ) Кривая на плоскости : F(u) = ( x(u), y(u), w(u) ) ,

где u - это параметр на каком-то закрытом промежутке [a,b]. Преобразовывая эти кривые к обычному виду, получаем:

Кривая в пространстве: f(u) = ( x(u) / w(u), y(u) / w(u), z(u) / w(u) ) Кривая на плоскости : f(u) = ( x(u) / w(u), y(u) / w(u) )

Очевидно, если w(u) = 1, т.е. постоянная функция, [homogeneous] вид сводится к стандартному.

Параметрическая кривая в [homogeneous] виде называется рациональной кривой. Для отличия, будем называть кривую в виде многочлена полиномиальной кривой.

Пример

Возьмем параметрическую форму второго порядка:

x = f(u) = au² + bu + c y = g(u) = pu² + qu + r

Пусть область u все действительные числа. Затем, пусть u пробегает значения от минус бесконечности до плюс бесконечности. Значения x и y также будут изменяться от минус до плюс бесконечности. Другими словами, кривая, описываемая в вышеуказанном виде, содержит по, крайней мере, одну точку в бесконечности. Так как все точки окружности в конечных пределах, невозможно представить окружность в таком параметрическом виде. Это показывает неудобность параметрического вида.

Того же самого можно достичь при помощи вычислений:

Примем a и p не равными нулю. Делим уравнения соответственно на a и p:

Теперь вычитаем второе из первого, чтобы исключить u². Затем, решая относительно u, получаем:

В итоге, подставляя u обратно в первое уравнение (параметрическую форму), имеем:

Устранив знаменатели и приведя подобные, получим:

,

где

Заметьте, нам не нужны значения D, E and F для описания этой кривой второго порядка. Так как B²-4A×C=0 (см. Простые Кривые и Поверхности), эта кривая - парабола. Задача в разделе "Задачи" разъясняет некоторые недостатки в вышеизложенных вычислениях.

Рациональные Формы Стандартных Кривых

Найдем рациональную форму окружности.

На рисунке - окружность с центром в начале координат и радиусом 1. Пусть u будет параметром для этой окружнотси. Для общей пользы будем использовать ось x для значений u, то есть каждому отдельному значению u соответствует точка (u,0) на оси x. Проведем прямую от (u,0) до низа окружности, (0,-1). Так как прямая пересекает окружность в двух точках, пусть другая точка, не низ окружности, будет (x(u), y(u)). По мере того, как u перемещается по оси x, соответствующая ей точка движется по окружности. Для любого конечного u есть соответствующая точка. Бесконечному значению u соответствует низ окружности. С другой стороны, любая точка на окружности, не являющаяся самой нижней, соотвтетствует значению u на оси x.

Прямая, соединяющая нижнюю точку окружности и (u,0) - x = uy + u. Уравнение окружности - x² + y² = 1. Подставляя уравнение прямой в уравнение окружности и решая его относительно y, получим два корня. Один из них должен быть y = -1, так как эта прямая проходит через нижнюю точку окружности. Другой корень y = (1 - u²) / (1 + u²). Подставляя это значение y в уравнение прямой, получаем x = (2 u) / (1 + u²). Таким образом, для каждого значения u, соответствующая точка на окружности имеет координаты

x = 2 u / (1 + u²) y = (1 - u²) / (1 + u²)

В итоге, окружность имеет рациональную параметризацию. Когда u стремится к бесконечности, x достигает 0, тогда как y достигает -1.

Фактически, это вычисление дает нам еще кое-что. Эта окружность имеет тригонометрическую параметрическую форму ( cos(t), sin(t) ), где t в пределах от 0 до 2PI. Таким образом, точка на окружности может иметь два различных представления, значения которых одинаковы. То есть, ( cos(t), sin(t) ) = ( (2 u) / (1 + u²), (1 - u²) / (1 + u²) ) для некоторого u. Таким образом, тригоном. функции cos(t) и sin(t) могут быть параметризованы следующим образом:

cos(t) = 2 u / (1 + u²) sin(t) = (1 - u²) / (1 + u²)

Используя параметризацию для cos(t) и sin(t), можно легко найти рациональную параметризацию для эллипса и гиперболы. Гиперболу рассмотрим сейчас, а эллипс оставим как упражнение. Гипербола в нормальной форме имеет уравнение след. вида:

x²/a² - y²/b² = 1 ,

где a и b - это длины главной и второстепенной полуосей. Легко проверить, что это правильная параметризация для гиперболы:

x = a sec(t) y = b tg(t)

Так как tg(t) = sin(t) / cos(t), а sec(t) = 1 / cos(t), подставив рациональную параметризацию для sin(t) и cos(t) в эти уравнения, преобразовываем их от тригонометрической параметрической формы в рациональную:

x = a (1 + u²) / (2u) y = b (1 - u²) / (2u)