Кривые b-spline/nurbs: Множественное Введение Узла

Во многих приложениях, которые мы обсудим позже, один узел нужно ввести несколько раз. Простой способ введения того же самого узла несколько раз - это повторно применить алгоритм введения узла. Но в этом случае исходный узловой вектор и исходный набор конт. точек нужно изменять после каждого введения, а это утомительно. К счастью, изучив поведение алгоритма введения узла, можно найти гораздо более простой способ сделать то же самое.

Замечание (Наблюдение) I: Коэффициенты для Вычисления Новых Контр. Точек

Начнем с простого случая. Пусть t вводится в середине узлового интервала [u_k, u_k+1) и пусть степень будет равна p. Коэффициенты a_i,1, где k-p+1 <= i <= k, вычисляются следующим образом:

a_i,1 = (t - u_i) / (u_i+p - u_i)

После введеиня t, он становится узлом, а узлы u_k+1, u_k+2, ..., u_m сдвинутся на одну позицию вправо. Говоря точнее, новые узлы, v₀, v₁, ..., v_k, v_k+1, ..., v_m и v_m+1 - это

v0	v1	.....	vk	vk+1	vk+2	.....	vm	vm+1
u0	u1	.....	uk	t	uk+1	.....	um-1	um

Пожалуйста, заметьте, что v_k+1 делит новый узловой вектор на две половины. Узлы слева от v_k+1 = t равны соответствующим значениям исходных узлов, а справа от t удовлетворяют отношению v_h = u_h-1.

Если t вводится снова, то он лежит на узловом интервале [v_k+1,v_k+2). Так как t равно левому краю, то это второе введние делает v_k+1 двойным узлом. Коэффициенты a_i,2 для этого второго введения, основываясь на новой узловой последовательности, вычисляются так:

a_i,2 = ( t - v_i ) / ( v_i+p - v_i ) ,

где i меньше или равно k+1. Переписывая вышеуказанное выражение через u, получим

a_i,2 = ( t - u_i ) / ( u_i+p-1 - u_i )

Пожалуйста, заметьте, что u_i находится слева от t = v_k+1, а u_i+p - справа от v = v_k+1.

Пусть эта новая последовательность узлов будет w_i. Соотношение с началом координат будет таким:

w0	w1	.....	wk	wk+1 = wk+2	wk+3	.....	wm+1	wm+2
v0	v1	.....	vk	vk+1	vk+2	.....	vm	vm+1
u0	u1	.....	uk	t	uk+1	.....	um-1	um

Пусть t вводится третий раз, при этом узел w_k+1 становится тройным. Несложно увидеть, что коэффициенты a_i,3 для этого третьего введения вычисляются так:

a_i,3 = ( t - w_i) / ( w_i+p - w_i)

Это можно переписать так:

a_i,3 = ( t - u_i) / ( u_i+p-2 - u_i)

Обобщая эту идею, получим, что a_i,h, коэффициенты для h-го введения, вычисляются так:

a_i,h = ( t - u_i) / ( u_i+p-(h-1) - u_i)

Что, если исходный узловой вектор u_k - это множественный узел множественности s и t вводится в u_k? Изменит ли это вышеуказанную формулу? К счастью, ничего не изменится. Посмотрим, почему. Если u_k - это множественный узел множественности s, то u_k = u_k-1 = u_k-2 = ... = u_k-s+1:

w0	w1	.....	wk-s+1 = ... = wk-2 = wk-1 = wk = wk+1 = wk+2	wk+3	.....	wm+1	wm+2
v0	v1	.....	vk-s+1 = ... = vk-2 = vk-1 = vk = vk+1	vk+2	.....	vm	vm+1
u0	u1	.....	uk-s+1 = ... = uk-2 = uk-1 = uk = t	uk+1	.....	um-1	um

Из-за того, что все они лежат слева от t и из-за того, что сдвиг индексов влияет только на узлы, лежащие справа от t, формула вычисления a_i,h не будет изменяться. Таким образом, мы заключаем, что

Если новый узел t вводится в узловой интервал [uk, uk+1) h раз, то коэффициенты ai,h могут быть рассчитаны так: ai,h = ( t - ui ) / ( ui+p-(h-1) - ui )