Nurbs: Важные Свойства

Дана последовательность n+1 контр. точек p₁, p₂, ..., p_n, каждая из которых связана с неотрицательным значением веса w_i (т.e. p_i имеет вес w_i >= 0), и узловой вектор U = { u₀, u₁, ..., u_m } из m+1 узлов, кривая NURBS степени p определяется так:

,

где R_i,p(u) равно

Причина другого символьного обозначения в том, что нам нужно переписать определение NURBS как можно ближе к определению B-spline. В вышеуказанном определении все R_i,p(u) - это базисные функции NURBS.

Важные Свойства Базисных Функций nurbs

Так как NURBS - это обобщение B-spline, то они имеют те же важные свойства. Далее - некоторые важные свойства базисных функций NURBS. Пожалуйста, сравните их со свойствами базисных функций B-spline.

1. R_i,p(u) - это рациональная функция p степени от u.

2. Неотрицательность -- для всех I и p, Ri,p(u) неотрицательно

3. Локальная Поддержка -- R_i,p(u) не равно нулю на [u_i,u_i+p+1) Так как N_i,p(u) не равно нулю на [u_i,u_i+p+1), то же самое и с R_i,p(u). Заметьте, что приняли все w_i не равными нулю.

4. На любом узловом интервале [u_i, u_i+1), самое большее p+1 базисных функций степени p не равны нулю, а именно: R_i-p,p(u), R_i-p+1,p(u), R_i-p+2,p(u), ..., и R_i,p(u)

5. Деление Единства -- Сумма всех ненулевых базисных функций степени p на интервале [u_i, u_i+1) равна 1:

6. Есликоличество узлов равно m+1, степень базисных функций равна p, а количество базисных функций степени p равно n+1, то m = n + p + 1 :

7. Базисная функция R_i,p(u) является составной кривой, составленной из рациональных функций степени p с точками соединения в узлах на [u_i, u_i+p+1 )

8. В узле множественности k базисная функция R_i,p(u) является C^p-k-непрерывной. Таким образом, увеличение множественности уменьшает уровень непрерывности, а увеличение степени его увеличивает.

9. Если w_i = c для всех i, где c - это ненулевая константа, R_i,p(u) = N_i,p(u) Таким образом, базисные функции B-spline - это особый случай базисных функций NURBS, когда все весы являются ненулевыми константами. Мы обсуждали особый случай для c = 1.

Важные Свойства Кривых nurbs

Далее перечисляются важные свойства кривых NURBS. Пожалуйста, сравните их со свойствами кривых B-spline. Заметьте, что NURBS могут быть открытыми, фиксированными и замкнутыми. Как и с кривыми B-spline, если первые p+1 и последние p+1 узлов равны левой и правой границам области определения, кривая называется фиксированной.

1. Кривая nurbs p(u) - это кусочная кривая, каждый компонент которой - это рациональная кривая степени p

2. Равенство m = n + p + 1 должно выполняться

3. Фиксированная кривая nurbs p(u) проходит через две крайние контр. Точки p0 и pn

4. Свойство Сильного Огранич. Многоугольника: кривая NURBS содержится в огранич. многоугольнике ее контр. точек. Более того, если u находится на интервале [u_i,u_i+1), то p(u) находится в огр. многоугольнике контр. точек p_i-p, p_i-p+1, ..., p_i Мы очень ясно покзали, что все весы должны быть неотрицательными. Если некоторые из них отрицательны, то свойство сильного огранич. многоугольника, а может быть, даже просто огранич. многоугольника, не будет выполняться. Далее, на рисунке слева показана кривая NURBS 2 степени с n = 2, m = 5 и фиксированными тремя первыми и последними узлами. Весы контр. точек на обоих концах равны 1, а вес средней контр. точки равен 0.5. Получается эллиптическая дуга. Отрезок кривой лежит в огранич. многоугольнике.

На среднем рисунке вес средней точки равен нулю. Так как эта контр. точка не имеет эффекта, то результат - это отрезок прямой с концами в крайних точках. Он также лежит внутри огранич. многоугольника.

Если вес сделать равным -0.5, отрезок кривой не будет лежать внутри огранич. многоугольника, поэтому свойство не будет выполняться.

5. Схема Локального Изменения: измененние положения контр. точки p_i влияет на кривую p(u) только на интервале [u_i, u_i+p+1) Это следует из свойства локального изменения базисных функций кривых B-spline. Вспомните, что R_i,p(u) не равно нулю на интервале [u_i, u_i+p+1). Если u не лежит на этом интервале, так как R_i,p(u) равно нулю и R_i,p(u)p_i не влияет на вычисление p(u). С другой стороны, если u находится в указанном интервале, R_i,p(u) не равно нулю и, если R_i,p(u)p_i изменить, то изменится и p(u).

Эта схема локального изменения очень важна для разработки кривых, потому что мы можем менять кривую локально, без изменения формы кривой в целом. Более того, если нужно точное изменение кривой, можно ввести побольше узлов (а значит, и контр. точек) так, чтобы нужная область сжалась до более узкой. Мы поговорим о введении узлов позже.

6. p(u) является C^p-k-непрерывной в узле с множественностью k Если u не является узлом, то p(u) лежит в середине криволинейного отрезка степени p и поэтому является бесконечно дифференцируемой. Если u - это узел в ненулевой области определения R_i,p(u), то из-за того, что R_i,p(u) только C^p-k-непрерывна, то то же самое и с p(u).

7. Свойство Уменьшения Изменчивости : Свойство уменьшения изменчивости также подходит для кривых NURBS. Если кривая находится в плоскости (соотв., в пространстве), то это значит, что не существует прямой, (соотв., плоскости), пересекающей эту кривую в большем количестве мест, чем ее контр. ломаную.

8. Кривые B-spline и Кривые Безье - это Особые Случаи Кривых NURBS. Если все весы равны, кривая NURBS становится кривой B-spline. Если к тому же n = p (т.e. степень кривой B-spline равна n, количество контр. точек минус 1) и всего 2(p + 1) = 2(n + 1) узлов, p + 1 из которых фиксированы на обоих концах, то эта кривая NURBS вырождается в кривую Безье.

9. Проекционная Инвариантность [Invariance] Если к кривой NURBS применяются проекционные преобразования, то результат можно получить из проекционных преобразований контр. точек. Это полезное свойство. В общем, почти то же самое, что и в случае с кривыми B-spline и Безье.

Заметьте, что кривые Безье и B-spline удовлетворяют только свойству инвариантности преобразований подобия в отличие от проекционных преобразований. Это из-за того, что только кривые NURBS поддерживают проекционные преобразования.