Кривые b-spline/nurbs: Введение Узла

Значение введения узла в добавлении нового узла в существующий узловой вектор без изменения формы кривой. Этот новый узел может быть равен существующему и тем самым увеличить его множественность на единицу. Из-за фундаментального равенства m = n + p + 1, после введения нового узла значение m увеличивается на единицу и, следовательно, либо количество контр. точек, либо степень кривой нужно увеличить на единицу. Изменение степени изменит форму всей кривой, а это нам не подходит. Поэтому вместо этого добавляем контр. точку. Фактически, некоторые существующие контр. точки удалятся и заменятся новыми при отсечении углов.

Хотя введение узла не выглядит очень интересным, оно является одним из самых важных алгоритмов для кривых B-spline и NURBS, так как многие прочие полезные алгоритмы будут основываться на введении узла. Таким образом, начинаем с алгоритмов введения узла. Далее идет алгоритм введения единичного узла.

Ниже на рисунке слева показана фиксированная кривая B-spline 4 степени с равномерно распределенными узлами. На рисунке справа показан результат введения узла u = 0.5. Как видите, форма кривой не изменилась; тем не менее, изменилась исходная контр. ломаная. Фактически, четыре новых контр. точки (показаны красным) заменили старые контр. точки p₄, p₅ и p₆, а три отрезка (показаны желтым) отсекли углы в p₄, p₅ и p₆.

Введение Одиночного Узла

Дана последовательность n+1 контр. точек p₀, p₁, ..., p_n, узловой вектор из m+1 узлов U = { u₀, u₁, ..., u_m } и степень p, нам нужно ввести новый узел t в узловой вектор без изменения формы кривой B-spline.

Пусть новый узел t лежит на узловом интервале [u_k, u_k+1). Из свойства сильного огранич. многоугольника p(t) лежит в огранич. многоугольнике контр. точек p_k, p_k-1, ..., p_k-p, а все остальные базисные функции равны нулю. Отсюда, расчет введения узла можно ограничить контр. точками p_k, p_k-1, ..., p_k-p. Способ введения t - это нахождение p новых контр. точек q_k на сегменте p_k-1p_k, q_k-1 на сегменте p_k-2p_k-1, ..., и q_k-p+1 на сегменте p_k-pp_k-p+1, чтобы старая ломаная от p_k-p до p_k (показана черным) заменилась на p_k-pq_k-p+1...q_kp_k (показана оранжевым) путем отсечения углов в вершинах p_k-p+1, ..., p_k-1. Все остальные контр. точки остаются без изменений. Заметьте, что p-1 контр. точек исходной ломаной удаляются и змаеняются на p новых контр. точек.

К счастью, положения новых контр. точек q_i легко рассчитать. Формула для вычисления новой контр. точки q_i на сегменте p_i-1p_i следующая:

,

где отношение a_i определяется так:

В итоге, чтобы ввести новый узел t, мы сначала находим узловой интервал [u_k, u_k+1) , на котором лежит этот новый узел. С найденным k можно найти p новых контр. точек q_k-p+1, ..., q_k по вышеуказанной формуле. В конце концов, исходная ломаная от p_k-p до p_k заменяется на новую, построенную по точкам p_k-p, q_k-p+1, q_k-p+2, ..., q_k-1, q_k и p_k. Заметьте, что после введения нового узла узловой вектор становится равен u₀, u₁, ..., u_k, t, u_k+1, ..., и u_m. Если новый узел t равен u_k, то множественность u_k увеличивается на единицу.

Вышеуказанную схему вычислений можно проиллюстрировать с помощью следующей диаграммы. Сначала переписываем все зависимые точки в столбец слева. Затем рассчитанные новые контр. точки пишем во второй столбец. Заметьте, их количество меньше на единицу. Для вычисления новой контр. точки q_i, где k-p+1 <= i <= k, нужно две исходных точки p_i-1 и p_i с коэффициентами 1-a_i и a_i, соответственно. После вычисления мы будем использовать точки, окруженные синей точечной линией, чтобы заменить те, которые вне области. Все не зависмиые от этого точки сохраняются. Таким образом, исходная последовательность точек p_k-p, p_k-p+1, ..., p_k-1, p_k заменяется на p_k-p, q_k-p+1, ..., q_k-1, p_k.

Посмотрим на геометрическую интерпретацию a_i. Из определения a_i - это отношение, в котором разделен интервал [u_i, u_i+p) значением t, как показано ниже:

Есть k значений a_i, каждое из которых покрывает p узловых интервалов (т.e. [u_i, u_i+p) ). Если соединить эти интервалы вместе и выровнять [align at] в значении t, получим следующую диаграмму:

Таким образом, положение t делит узловые интервалы [u_k, u_k+p), [u_k-1, u_k+p-1), ..., [u_k-p+1, u_k+1) в отношениях a_k, a_k-1, ..., a_k-p+1, которые, в свою очередь, дают те же отношения в делении сегментов p_kp_k-1, p_k-1p_k-2, ... p_k-pp_k-p+1.