Проблемы с Параметрическим Представлением

C^k непрерывность кажется удобным инструментом для проверки на гладкость соединения кривых. Но и тут есть проблема. Пусть даны следующие отрезки кривых:

f(u) = A + u(B - A) g(v) = B + v(C - B) ,

где A, B и C - три коллинеарные (лежащие на одной прямой) точки, как показано на рисунке.

Когда u (соотв., v) изменяется от 0 до 1, f(u) (соотв., g(v)) пробегает от A до B (соотв., от B до C). Отрезки f(u) и g(v), очевидно, C⁰ непрерывны в точке соединения B. А C¹ непрерывны ли они?

f'(u) = B - A g'(v) = C - B

Таким образом, f'(u) = B - A в общем случае не равно g'(v) = C - B и, следовательно, два этих отрезка не C¹ непрерывны в точке соединения B!

Странно? Это все из-за параметризации. Если заменить направляющие векторы B - A и C - B на единичные векторы и изменить интервалы параметров u и v, проблема пропадет. Таким образом, уравнения нужно изменить на следующие:

F(u) = A + u(B - A)/ | B - A | G(v) = B + v(C - B)/ | C - B | ,

где u в пределах от 0 до | B - A | , а v в пределах от 0 до | C - B |. Теперь, так как мы имеем F'(u) = G'(v) = единичному вектору в направлении от A до C, отрезки C¹ непрерывны. То есть, параметризация отрезков кривых - хорошая вещь 8).

Вот еще один пример, здесь PI равно 3.1415926, u и v в границах [0,1].

f(u) = ( -cos(u² PI/2), sin(u² PI/2), 0 ) g(v) = ( sin(v² PI/2), cos(v² PI/2), 0 )

Когда u изменяется от 0 до 1, f(u) проходит левую часть полукруга. Аналогично с правой частью. Они соединяются в точке, показаной красным, (0,1,0) = f(1) = g(0). Имеем следующее:

f'(u) = ( PI u sin(u² PI/2), PI u cos(u² PI/2), 0 ) f''(u) = ( PI² u² cos(u² PI/2), -PI² u² sin(u² PI/2), 0 ) f'(u) × f''(u) = ( 0, 0, -PI³ u³ ) | f'(u) | = PI u | f'(u) × f''(u) | = PI³ u³ k(u) = 1 g'(v) = ( PI v cos(v² PI/2), -PI v sin(v² PI/2), 0 ) g''(v) = ( -PI² v² cos(v² PI/2), -PI² v² cos(v² PI/2), 0 ) g'(v) × g''(v) = ( 0, 0, -PI³ u³ ) | g'(v) | = PI v | g'(v) × g''(v) | = PI³ v³ k(v) = 1

Заметьте, что и g'(0), и g''(0) - вектора нулевой длины, и поэтому неопределены. В итоге мы вообще не можем ничего сказать о непрерывности; но по рисунку "кажется", что они непрерывны, хотя бы потому, что у них общая касательная в точке соединения.

Как вы уже, наверное, догадались, щас будем опять все это дело перепараметризовывать. ( Жуткое слово, согласен. - прим. перев.) Заменим u² на p в f(u) и v² на q в g(v). Получим такие уравнения:

f(p) = ( -cos(p PI/2), sin(p PI/2), 0 ) g(q) = ( sin(q PI/2), cos(q PI/2), 0)

Их производные:

f'(p) = ( (PI/2) sin(p PI/2), (PI/2) cos(p PI/2), 0 ) f''(p) = ( (PI/2)² cos(p PI/2), -(PI/2)² sin(p PI/2), 0 ) g'(q) = ( (PI/2) cos(q PI/2), -(PI/2) sin(q PI/2), 0 ) g''(q) = ( -(PI/2)² sin(q PI/2), -(PI/2)² cos(q PI/2), 0 ) f'(p) × f''(p) = g'(q) × g''(q) = ( 0, 0, -(PI/2)³ ) | f'(p) × f''(p) | = | g'(q) × g''(q) | = (PI/2)³ | f'(p) | = | g'(q) | = PI/2 k(p) = k(q) = 1

Следовательно, после замены переменных и f'(1) и g'(0) равны ( PI/2, 0, 0 ) и поэтому они являются C¹ непрерывными. Более того, и f''(1) и g''(0) равны ( 0, -(PI/2)², 0 ), и поэтому они C² непрерывны! Они также непрерывны по кривизне, так как их кривизна везде равна 1 (это окружности). Вот она какая, эта перепараметризация. 8)