Выбор Параметров : Обзор [Parameter Selection Overview]

Входными данными для алгоритма интерполяции/аппроксимации B-spline обычно является набор точек. Таким образом, первый шаг заключается в том, чтобы найти набор параметров, который бы "фиксировал" эти точки в определенных значениях. Говоря точнее, если данные точки - это d₀, ..., d_n, то нужно найти n+1 параметров t₀, ..., t_n на области определения кривой, чтобы данная точка d_k соответствовала параметру t_k для k между 0 и n. Это значит, что, если p(u) - это кривая, проходящая через все данные точки в определенном порядке, то имеем d_k = p(t_k) для всех 0 <= k <= n. На рисунке ниже, семь исходных точек (т.e. n = 6) и семь параметров, которые нужно найти, чтобы получить искомое.

Есть бесконечное количество вариантов выбора этих параметров. Например, можно разделить пополам область кривой или случайным образом выбрать n+1 значений на области. Тем не менее, плохо выбранные параметры могут привести к неожиданным результатам. Следующий рисунок показывает четыре исходных точки и три интерполированных кривых, каждая из которых получена по своему набору параметров. Одна из них сильно выгибается наружу и получается ненужная выпуклость. Только одна из них достаточно точно следует по направлению исходных точек.

Таким образом, выбор параметров влияет на форму кривой, и, как следствие, влияет на параметризацию кривой.

На нескольких следующих страницах мы обсудим несколько методов выбора параметров, включая Метод Равномерного Распределения [Uniformly Spaced Method], Метод Длины Хорды [Chord Length Method] и Центростремительный Метод [Centripetal Method]. Получив набор параметров, нужно вычислить узловой вектор. Подробности смотрите в Получение Узлового Вектора [Knot Vector Generation] Также обсудим Универсальный Метод [Universal Method], в котором выбирается равномерно разделенный узловой вектор и затем с его помощью находятся параметры Пожалуйста, имейте в виду, что есть еще и другие методы выбора параметров.

Метод Равномерного Распределения

Самым простым методом выбора параметров является метод равномерного распределения. Пусть область, как обычно, будет [0,1] и нужно n+1 равномерно распределенных параметров. Первый и последний параметры должны быть равны 0 и 1, так как мы хотим, чтобы кривая проходила через первую и последнюю исходные точки. Таким образом, имеем t₀ = 0 и t_n = 1.

Так как n+1 точек равномерно делят интервал [0,1] на n подинтервалов, длина каждого из которых должна быть равна 1/n, то делящие точки - это 0, 1/n, 2/n, 3/n, ..., (n-1)/n и 1. Таким образом, имеем

Например, если нужны 5 параметров, то n = 4 и равномерно распределенные параметры равны 0, 1/4, 1/2, 3/4 and 1. Если нужны 8 параметров, то n = 7 и равномерно распределенные параметры равны 0, 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7 и 1.

А что, если область, например, [a,b], а не [0,1]? В этом случае [a,b] делится на n интервалов n+1 делящими точками, включая a и b. Так как длина этого интервала равна b - a, то длина подинтервала равна (b-a)/n. Следовательно, делящие точки (т.e. параметры) - это

Из-за того, что метод равномерного распределения прост, он иногда дает неудовлетворителные результаты. Например, когда иходные точки неравномерно распределены, равномерно распределенные параметры могут выдать репредсказуемые формы, например, большие выпуклости, острые пики или кольца. Ниже, на рисунке (а) показано кольцо в исходной точке 3. На рисунке (b) кривая виляет, проходя по исходным точкам 1, 2 и 3. Хоть и нельзя сказать, что эти проблемы есть только у данного метода, но в нем они встречаются гораздо чаще, чем в других методах.

(a)	(b)